Otwórz menu główne

Funkcja liniowa

funkcja wielomianowa co najwyżej pierwszego stopnia
Ten artykuł dotyczy funkcji w matematyce elementarnej. Zobacz też: przekształcenie liniowe w matematyce wyższej.

Funkcja liniowafunkcja wielomianowa co najwyżej pierwszego stopnia[a], tj. postaci

gdzie są pewnymi stałymi liczbowymi (parametrami). W artykule rozpatrywane są funkcje zbioru liczb rzeczywistych w siebie, choć można wykorzystać liczby zespolone.

O dwóch zmiennych, z których każda jest funkcją liniową drugiej, mówi się, że są liniowo zależne lub w zależności liniowej.

Nazwa funkcji jest pochodzi od kształtu jej wykresu, który jest linią prostą daną równaniem Jednak w algebrze liniowej „liniowość” definiuje nie w oparciu o własności geometryczne, lecz o własności algebraiczne zachowujące strukturę tzw. przestrzeni liniowych. Funkcje mające tę własność nazywa się przekształceniami liniowymi lub odwzorowaniami liniowymi, a określenie „funkcja liniowa” rezerwuje się dla funkcji opisywanych w tym artykule. Funkcja liniowa jest przekształceniem liniowym, jeśli jest funkcją jednorodną, tj. gdy mają one wówczas postać proporcjonalności prostej

Funkcje liniowe mają wiele zastosowań związanych z ich regularną strukturą i znanymi własnościami – w szczególności geometrycznymi: korzysta się z nich podczas linearyzacji bardziej skomplikowanych zagadnień, np. przybliżania liniowego; w statystyce korzysta się z metody estymacji (szacowaniu) zależności między dwoma zbiorami danych nazywaną regresją liniową (popularną jej metodą jest metoda najmniejszych kwadratów), w której poszukuje się właśnie zależności będącej funkcją liniową przy jak najmniejszym błędzie standardowym.

Spis treści

DefinicjaEdytuj

Zobacz też: funkcja.

Niech   będzie funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych (o rzeczywistych dziedzinie i przeciwdziedzinie). Funkcję   nazywa się liniową, jeżeli dana jest wzorem

 

gdzie   i   są ustalonymi stałymi rzeczywistymi. Niektóre źródła[1] wymagają dodatkowo, aby   była niezdegenerowana, tj.

 

Większość źródeł nie stawia takich wymagań.

Współczynnik   nazywany jest współczynnikiem kierunkowym, współczynnik   wyrazem wolnym.

WłasnościEdytuj

Jeśli   to   jest nieograniczona, nieokresowa i monotoniczna: rosnąca dla   i malejąca dla   ponadto jest różnowartościowa i „na”, a co za tym idzie wzajemnie jednoznaczna. Jest więc odwracalna (jej funkcja odwrotna również jest liniowa). Jeśli   to   jest nieparzysta.

Jeśli   to   jest funkcją stałą i jako taka jest ograniczona, parzysta, nie jest również różnowartościowa ani „na”, czyli wzajemnie jednoznaczna. Nie jest więc odwracalna. Jeśli dodatkowo   to jest jednocześnie parzysta.

Jeśli   to   ma dokładnie jedno miejsce zerowe postaci   Jeśli   to   nie ma miejsc zerowych, gdy   i ma nieskończenie miejsc zerowych, gdy  

Funkcję liniową wystarczy określić dla dowolnych dwóch różnych argumentów. Istotnie, jeśli   to:

 

Funkcja liniowa (jako funkcja wielomianowa) jest ciągła i różniczkowalna (a więc także gładka), przy czym pierwsza pochodna jest równa   a kolejne są tożsamościowo równe zeru.

Wykres funkcji liniowejEdytuj

 
Wykresy trzech funkcji liniowych. Funkcje o równoległych wykresach zaznaczonych kolorami czerwonym i niebieskim mają ten sam współczynnik kierunkowy, z kolei funkcje o wykresami w kolorach czerwonym i zielonym mają równe wyrazy wolne, skąd mają ten sam punkt przecięcia z osią  

W układzie współrzędnych prostoliniowych (na płaszczyźnie) funkcja liniowa   ma wykres będący prostą, przy czym

  • przecina ona oś   w punkcie  
  • przecina ona oś   w punkcie   dla   nie przecina tej osi, gdy  

W układzie współrzędnych prostokątnych (tzn. o prostopadłych osiach) z równymi jednostkami (tzn. wektorami jednostkowymi definiującymi osie) zachodzi

 

gdzie   jest kątem skierowanym między wykresem i osią  

Oznacza to, że współczynnik kierunkowy jest tangensem kąta skierowanego   co tłumaczy nazwę tego współczynnika.

Każda prosta nierównoległa do osi   jest wykresem pewnej funkcji liniowej.

Własności grupowe i reprezentacja macierzowaEdytuj

  • Złożenie dwóch funkcji liniowych jest funkcją liniową. Niech:
 
Wówczas
 
także jest funkcją liniową.
  • Dla funkcji   i   zachodzi
 
  • Ponadto dla funkcji   w której   funkcja   jest funkcją odwrotną:
 

Ponieważ niezdegenerowana funkcja liniowa jest bijekcją, więc działanie składania takich funkcji jest działaniem łącznym. Oznacza to, że zbiór niezdegenerowanych funkcji liniowych jest grupą.

Funkcję liniową   można reprezentować jako macierz postaci:

 

przy tym mnożeniu takich macierzy odpowiada składanie funkcji liniowych.

Własności algebraiczne zbioru funkcji liniowych wynikają z własności pierścienia macierzy górnotrójkątnych powyższej postaci. Jeśli dodatkowo   to macierze te tworzą grupę ze względu na mnożenie[b].

Własności geometryczne i uogólnieniaEdytuj

Niezdegenerowana funkcja liniowa   postaci   jest podobieństwem prostej   na siebie, przy tym   jest skalą tego podobieństwa.

Ponadto:

  • dla   jest to tożsamość,
  • dla   jest to translacja o przesunięciu  
  • dla   jest to symetria środkowa względem punktu  

Dla   jest to podobieństwo parzyste (z zachowaniem orientacji), dla   jest to podobieństwo nieparzyste (ze zmianą orientacji)[c].

Jeśli   nie jest translacją, tj.   to ma ona punkt stały  

Funkcja liniowa niezdegenerowana   ma swoje uogólnienie na płaszczyznę   i ogólniej – na   i nazywa się wówczas przekształceniem afinicznym (w przypadku prostej przekształcenia afiniczne sprowadzają się do podobieństw):

 

gdzie     jest nieosobliwą macierzą  

Jest to najogólniejsza struktura, w której możliwe jest zdefiniowanie funkcji o tym wzorze.

Innym uogólnieniem niezdegenerowanej funkcji liniowej jest funkcja   postaci

 

gdzie nie wszystkie   są zerowe.

Jej wykresem jest pewna hiperpłaszczyzna w przestrzeni  

Przykłady zależności liniowychEdytuj

  • Wartość  -tego wyrazu   ciągu arytmetycznego jest liniową funkcją jego numeru  :
 
gdzie   jest różnicą ciągu,   jego pierwszym wyrazem.
  • Temperatura   w skali Fahrenehita jest liniową funkcją temperatury   w skali Celsjusza:
 
 
gdzie   jest prędkością,   położeniem początkowym.
W ruchu jednostajnie przyspieszonym prędkość   jest liniową funkcją czasu  
 
gdzie   jest przyspieszeniem,   jest prędkością początkową.
  • Efekt Dopplera: jeśli obserwator zbliża się z prędkością   do nieruchomego źródła fali o częstotliwości   to częstotliwość   odbieranej przez niego fali jest funkcją liniową jego własnej prędkości  :
 
gdzie   jest prędkością fali w ośrodku.

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Niektóre źródła wymagają, aby stopień był dokładnie równy 1.
  2. Wszystkie omówione w tej sekcji własności zachowuję się dla dowolnego ciała.
  3. Funkcja liniowa określona dla liczb zespolonych ustala na płaszczyźnie zespolonej podobieństwo parzyste, tj. nie można wygenerować np. symetrii osiowej.

PrzypisyEdytuj

  1. Waliszewski, Encyklopedia szkolna.

BibliografiaEdytuj

  • Jacek Gancarzewicz: Algebra liniowa i jej zastosowanie. Uniwersytet Jagielloński, 2014. ISBN 83-233-1832-8.
  • Włodzimierz Waliszewski: Encyklopedia szkolna. Warszawa: Wydawnictwo Szkolne i Pedagogiczne, 1988. ISBN 83-02-02551-8. s. 312
  • Marek Kordos, Lesław Szczerba: Geometria dla nauczycieli. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.