Otwórz menu główne
Na tę stronę wskazuje przekierowanie ze „zbiór monotoniczny”. Zobacz też: klasa monotoniczna w teorii mnogości i teorii miary.
Funkcja monotonicznie niemalejąca (silnie po lewej i słabo po prawej).
Funkcja monotonicznie nierosnąca.
Funkcja niemonotoniczna.

Funkcja monotonicznafunkcja, która zachowuje określony rodzaj porządku zbiorów. Pojęcie powstałe pierwotnie na gruncie analizy zostało uogólnione na gruncie teorii porządku.

Analiza matematycznaEdytuj

Niech   będzie dowolną funkcją określoną na zbiorach silnie uporządkowanych   oraz   takich jak np. podzbiory liczb całkowitych, wymiernych, czy rzeczywistych, a   będą dowolnymi elementami   Wówczas funkcję   nazywa się

  • rosnącą lub silnie rosnącą, gdy
     
  • malejącą lub silnie malejącą, gdy
     

Jeżeli zbiory   oraz  słabo uporządkowane, to funkcję   nazywa się

  • niemalejącą lub słabo rosnącą, gdy
     
  • nierosnącą lub słabo malejącą, gdy
     

Aby uczynić definicje przystępniejszymi wprowadza się dodatkowe relacje „większe” i „większe-równe” odwrotne względem powyższych, wówczas warunki po prawych stronach implikacji w drugiej i czwartej definicji mają postać kolejno:   i  

W szczególności symbole   oraz   mogą oznaczać odpowiednio relacje „mniejsze”   oraz „mniejsze-równe”   określone na zbiorach liczb całkowitych, wymiernych, czy rzeczywistych. Podobnie ma się rzecz z relacjami „większe”   i „większe-równe”  

Funkcją monotoniczną nazywa się każdą z powyższych czterech rodzajów funkcji, choć niekiedy czyni się to tylko w stosunku do dwóch pierwszych. Aby uniknąć nieporozumień pierwsze dwie nazywa się czasami silnie monotonicznymi, a dwie pozostałe – słabo monotonicznymi. Można powiedzieć, że funkcje rosnące „zachowują porządek”, zaś funkcje malejące „odwracają” go.

Funkcje silnie monotoniczne są różnowartościowe. Należy zaznaczyć, że dowolna funkcja rosnąca jest niemalejąca, a każda funkcja malejąca jest nierosnąca. Dodatkowo jeśli   jest rosnąca, to   maleje i odwrotnie; podobnie ma się rzecz z funkcjami nierosnącymi i niemalejącymi.

Jeżeli w zbiorze   zdefiniowano relację równości (równoważności; relacja porządku nie jest wymagana), wówczas funkcję   nazywa się

  • stałą, gdy
      dla dowolnych  

Jeżeli   jest dodatkowo zbiorem uporządkowanym, to funkcje stałe są jedynymi funkcjami tak niemalejącymi, jak i nierosnącymi. W związku z tym funkcja stała także bywa zaliczana do klasy funkcji monotonicznych.

PrzykładyEdytuj

  • Funkcja liniowa   jest malejąca, gdy   rosnąca, gdy   jest niemalejąca, gdy   nierosnąca, gdy   i stała, gdy  
  • Funkcja wykładnicza   jest rosnąca, gdy   malejąca, gdy   i stała dla  
  • Funkcja logarytmiczna   rośnie, gdy   (w tym funkcja logarytmu naturalnego) i maleje  
  • Funkcja potęgowa   rośnie na przedziale   gdy   i maleje, gdy  

Przykładami ciągów (które są funkcjami) mogą być:

  • ciąg słów   który jest stały;
  • ciąg liczb naturalnych   który (ściśle) rośnie;
  • ciąg liczb całkowitych   który nie jest monotoniczny.

Własności i zastosowaniaEdytuj

Funkcja monotoniczna przedziałami to funkcja, której dziedzinę można podzielić na przedziały tak, aby w każdym z nich osobno funkcja była monotoniczna (np. wartość bezwzględna, funkcje trygonometryczne, wielomiany; niektóre wielomiany są funkcjami monotonicznymi). Należy zaznaczyć, że większość funkcji rzeczywistych nie jest przedziałami monotoniczna (np. funkcja Dirichleta).

Dla   zachodzą następujące własności:

  •   ma granice lewostronną i prawostronną w każdym punkcie dziedziny;
  •   ma granicę w nieskończoności (tak   jak i  ) będącą liczbą rzeczywistą, bądź   lub  
  •   może mieć tylko nieciągłości pierwszego rodzaju;
  •   może mieć (co najwyżej) przeliczalnie wiele punktów nieciągłości w swojej dziedzinie.

Własności te są zasadniczym powodem, dla którego funkcje monotoniczne są użyteczne w analizie matematycznej. Ważnymi faktami dotyczącymi tych funkcji są:

  • jeżeli   jest funkcją monotoniczną na przedziale otwartym   to jest ona prawie wszędzie różniczkowalna na   tzn. zbiór liczb   takich, że   nie jest różniczkowalna w   jest miary zero Lebesgue’a; w szczególności funkcja różniczkowalna na   jest monotoniczna w tym przedziale, gdy jej pochodna nie zmienia tam znaku;
  • jeżeli   jest funkcją monotoniczną określoną na przedziale   to jest ona całkowalna w sensie Riemanna.

Ważnym zastosowaniem funkcji monotonicznych jest dystrybuanta zmiennej losowej   w teorii prawdopodobieństwa:

 

jest funkcją (słabo) rosnącą.

Funkcja unimodalna to funkcja, której wartości monotonicznie rosną do pewnego punktu (mody), a następnie monotonicznie maleją.

Analiza funkcjonalnaEdytuj

W analizie funkcjonalnej (być może nieliniowy) operator   określony na przestrzeni liniowo-topologicznej   nazywa się monotonicznym, jeżeli

dla dowolnych   zachodzi  

Twierdzenie Kaczurowskiego (Качуровский, Kachurowskii) mówi, że pochodne funkcji wypukłych na przestrzeniach Banacha są operatorami monotonicznymi.

Podzbiór   zbioru   nazywany jest zbiorem monotonicznym, jeżeli dla każdych dwóch par   i   z   jest

 

Jeżeli   jest maksymalnym w sensie inkluzji zbiorem monotonicznym, to mówi się, że jest on maksymalnie monotoniczny. Wykres operatora monotonicznego jest zbiorem monotonicznym. Operator monotoniczny nazywa się maksymalnie monotonicznym, jeżeli jego wykres jest zbiorem maksymalnie monotonicznym.

Teoria porządkuEdytuj

Definicja monotoniczności w teorii porządku ma nieco węższy zakres, niż podana wyżej. Jest to spowodowane faktem, iż rozpatrywane tam zbiory nie muszą być całkowicie (liniowo) uporządkowane: bada się częściowe porządki, a nawet praporządki. Z tego powodu unika się tam wyrażeń „rosnący (słabo/silnie)”, czy „malejący (słabo/silnie)”. O funkcji   między zbiorami   oraz   mówi się, że jest monotoniczna, izotoniczna lub zachowuje porządek, jeżeli

 

Jeżeli

 

to funkcję   nazywa się antymonotoniczną, antytoniczną lub odwracającą porządek.

Łatwo można się przekonać, że złożenie dwóch funkcji monotonicznych jest funkcją monotoniczną. Funkcja stała jest zarazem monotoniczna i antymonotoniczna; odwrotnie, jeżeli funkcja jest tak monotoniczna, jak i antymonotoniczna, a dziedzina   jest kratą, to   musi być stała.

Funkcje monotoniczne są morfizmami w kategorii   zbiorów częściowo uporządkowanych.

Funkcje boole’owskieEdytuj

W algebrze Boole’a funkcją monotoniczną nazywa się taką funkcję, że dla wszystkich   takich, że   dla   spełniony jest warunek

 

Monotoniczne funkcje boole’owskie to dokładnie te funkcje, które mogą być zdefiniowane jako złożenia spójników i (koniunkcji), lub (alternatyw), ale bez nie (negacji).

Liczba takich funkcji   zmiennych znana jest jako liczba Dedekinda dla  

Zobacz teżEdytuj