Otwórz menu główne

Całka Riemanna

konstrukcja analizy matematycznej
Całka jako „zorientowane pole pod wykresem”: wartością całki z rzeczywistej funkcji na przedziale jest pole powierzchni obszarów zaznaczonych na niebiesko pomniejszone o pole obszaru oznaczonego kolorem żółtym.

Całka Riemanna – konstrukcja analizy matematycznej przedstawiona przez niemieckiego matematyka Bernharda Riemanna w 1854 roku w jego pracy habilitacyjnej na Uniwersytecie w Getyndze pt. Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe („O reprezentowalności funkcji przez szereg trygonometryczny”) jako pierwsza ścisła definicja całki. Istnieje również całkowicie równoważna całce Riemanna konstrukcja całki Darboux, pochodząca od francuskiego matematyka Gastona Darboux, który wprowadził ją w swojej pracy z 1870 roku zatytułowanej Sur les équations aux dérivées partielles du second ordre („O równaniach różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu”) i uzasadnił jej równoważność z całką Riemanna w 1875 roku w pracy pt. Mémoire sur la theorie des fonctions discontinues („Rozprawa o teorii funkcji nieciągłych”).

Głównymi zaletami całki Riemanna są intuicyjność, klarowność definicji i stosunkowa łatwość wprowadzenia wystarczające częstokroć do większości zastosowań praktycznych; konstrukcja Darboux wymaga nieco mniejszej liczby pojęć niezbędnych do jej przeprowadzenia, przez co stanowi atrakcyjną alternatywę dla konstrukcji Riemanna. Do zasadniczych wad tych całek należy względnie mała ilość funkcji całkowalnych, czy konieczność zbieżności jednostajnej ciągu funkcji przy zamianie operatorów granicy i całki[a], co znacząco zawęża zakres zastosowań teoretycznych. Istnieje wiele uogólnień tego pojęcia mających na celu pokonanie różnorakich jego ograniczeń.

W swej interpretacji geometrycznej na płaszczyźnie całka to operator przypisujący danej rzeczywistej funkcji ograniczonej określonej na przedziale (rzeczywistym) pewną liczbę rzeczywistą, którą można rozumieć jako pole powierzchni między jej wykresem a osią odciętych (pole zorientowane: jego znak zależy od znaku wartości funkcji) – istnienie i wartość tej liczby jest równoważne istnieniu i wartości tzw. miary Jordana wspomnianego obszaru (zob. Związek z miarą Jordana). Sama całka Riemanna, podobnie jak miara Jordana, uogólnia się wprost na przestrzenie euklidesowe dowolnego wymiaru, co opisano w osobnej sekcji.

KonstrukcjeEdytuj

 
Przykładowa suma Riemanna z zaznaczonym nieregularnym podziałem z punktami pośrednimi; podprzedział o największej średnicy zaznaczono kolorem czerwonym.
Osobne artykuły: granica ciąguszereg.

Podział przedziałuEdytuj

Podziałem   przedziału   nazywa się każdy (ściśle) rosnący ciąg skończony   elementów nazywanych punktami podziału tego przedziału, w którym pierwszy i ostatni wyraz ciągu wskazują odpowiednio początek i koniec przedziału, tzn.   W każdym z podprzedziałów podziału   można wyróżnić jeden element, nazywany punktem pośrednim: podział   z punktami pośrednimi   przedziału   można zdefiniować jako ciąg skończony   dla którego   oraz   dla   Każda para „sąsiednich” punktów podziału   wyznacza podprzedział   o długości   dla  

Podział   rozdrabnia (lub zagęszcza) podział   jeżeli podział   jest podciągiem podziału   tzn. dla każdego   można wybrać   tak, że   Podobnie definiuje się rozdrobnienie (bądź zagęszczenie) podziału   przez podział   z jedynym zastrzeżeniem, by tak stare, jak i nowe punkty pośrednie należały do nowych podprzedziałów; tzn. dla każdego   można było tak wybrać   by   oraz  

Równoważnie zamiast rozdrobnień (zagęszczeń) podziałów można rozpatrywać tzw. „ciągi normalne” podziałów. Średnicą podziału   nazywa się największą długość przedziału,   Ciąg podziałów   nazywa się normalnym, jeżeli   dla  

Całka DarbouxEdytuj

 
Sumy dolna i górna Darboux oznaczone odpowiednio kolorami zielonym i zielonym z lawendowym dla czterech podprzedziałów.

Niech dana będzie funkcja ograniczona   Kresy dolny i górny funkcji   w danym podprzedziale   podziału   przedziału   oznaczane będą odpowiednio symbolami

 

różnicę tych liczb

 

nazywa się oscylacją funkcji   na przedziale  

Odpowiednio sumą dolną i górną (Darboux) nazywa się liczby

 

Wielkości te umożliwiają zdefiniowanie całki dolnej i górnej (Darboux) funkcji   jako odpowiednio

 

oraz

 

O funkcji   mówi się, że jest całkowalna w sensie Darboux lub krótko D-całkowalną, jeżeli   wówczas tę wspólną wartość   całki dolnej i górnej Darboux nazywa się po prostu całką Darboux.

Całka RiemannaEdytuj

 
Przykład sum Riemanna przy wyborze punktu pośredniego w prawym końcu podprzedziału (niebieski), w wartości minimalnej (czerwony) i maksymalnej (zielony) funkcji w podprzedziale i lewego końca podprzedziału (żółty). Wartość wszystkich czterech przypadków zbliża się do 3,76 przy powiększaniu liczby podprzedziałów od 2 do 10 (w domyśle, również nieograniczenie).

Niech dana będzie funkcja ograniczona   Sumą częściową (Riemanna) nazywa się liczbę

 

Funkcję   nazywa się całkowalną w sensie Riemanna lub krótko R-całkowalną, jeśli dla dowolnego ciągu normalnego   podziałów przedziału   istnieje (niezależna od wyboru punktów pośrednich) granica[b]

 

nazywana wtedy całką Riemanna tej funkcji. Równoważnie: jeżeli istnieje taka liczba   że dla dowolnej liczby rzeczywistej   istnieje taka liczba rzeczywista   że dla dowolnego podziału   o średnicy   bądź też w języku rozdrobnień: że dla dowolnej liczby rzeczywistej   istnieje taki podział   przedziału   że dla każdego podziału   rozdrabniającego   zachodzi

 

Funkcję   nazywa się wtedy całkowalną w sensie Riemanna (R-całkowalną), a liczbę   jej całką Riemanna.

RównoważnośćEdytuj

 
Po rozdrobnieniu podziału suma dolna zwiększa się, zaś suma górna zmniejsza się.

Jeżeli   jest rozdrobnieniem   to   oraz   Jeżeli   są dwoma podziałami przedziału   to istnieją ich rozdrobnienia   (podział złożony z punktów   i  ), mamy więc   skąd  

Sumy Riemanna funkcji zawsze leżą między odpowiadającymi im dolnymi i górnymi sumami Darboux, tzn. dla podziału z punktami pośrednimi   i odpowiadającego mu podziału   bez punktów pośrednich odcinka   zachodzi

 

więcej, są to kresy dolne i górne wartości   odpowiadającej podziałowi   z dowolnymi punktami pośrednimi[c].

Stąd jeżeli całka Darboux istnieje, tzn.   to istnieje również   tak więc

 

dla dowolnego podziału   pociąga całkowalność w sensie Riemanna. Nietrudno zauważyć, że istnieje podział z punktami pośrednimi, dla którego całka Riemanna ma wartość dowolnie bliską górnej i dolnej całce Darboux, co oznacza że z istnienia całki Riemanna wynika istnienie całki Darboux.

OznaczeniaEdytuj

 
Różne warianty typograficzne znaku całki – od lewej do prawej: symbolu pochylonego w prawo używa się przede wszystkim w krajach anglojęzycznych, symbol prosty pojawia się w publikacjach Europy Środkowej, symbol pochylony w lewo należy do tradycji rosyjskiej; w polskiej literaturze można spotkać każdy z wariantów.

Symbol całki powstał z minuskuły ſ (tzw. „długiego s”)[d] używanej przez Gottfrieda Leibniza w łacińskim słowie summa, oznaczającym sumę, które pisał on ſumma. Dla funkcji   całki Darboux górną   i dolną   oznacza się zwykle odpowiednio symbolami

 

zaś samą całkę Darboux   oraz całkę Riemanna   dodając przed nimi pierwszą literę nazwiska w nawiasie,

 

Ze względu na równoważność tych konstrukcji zwykle mówi się wyłącznie o całce Riemanna, przy czym zwykle pomija się oznaczenie literowe, jeżeli nie prowadzi to do nieporozumień:

 

WłasnościEdytuj

 
Przedstawienie ciągu sum częściowych Riemanna; liczby w prawym górnym rogu są polami obszaru szarych prostokątów – można zauważyć, że zbiegają one do ustalonej liczby równej całce funkcji.

Niech dla dowolnej funkcji R-całkowalnej   gdzie   będą dane jej kresy dolny i górny oraz kres górny wartości bezwzględnej:

 

Wówczas[e]

 

skąd też[f]

 

zaś dla funkcji   spełniającej   dla wszystkich   zachodzi[g]

 

Całka Riemanna jest operatorem liniowym na przestrzeni funkcji całkowalnych w sensie Riemanna: jeżeli   są R-całkowalne oraz   to funkcja   również jest całkowalna w sensie Riemanna i zachodzi[h]

 

Podstawowe twierdzenie rachunku całkowegoEdytuj

Jeśli   jest całkowalna w sensie Riemanna, to jest ona całkowalna na   dla dowolnego   a funkcja   dana wzorem

 

jest ciągła na   i różniczkowalna w każdym punkcie ciągłości funkcji  

Twierdzenie Newtona-LeibnizaEdytuj

Jeśli   jest ciągła, a   jest jej dowolną funkcją pierwotną, to zachodzi wzór Newtona-Leibniza,

 

Charakteryzacja funkcji całkowalnychEdytuj

Z równoważności konstrukcji funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowalna w sensie Darboux; w tej części artykułu funkcje całkowalne na jeden z tych dwóch sposobów będą nazywane po prostu funkcjami całkowalnymi. Niech dana będzie funkcja   Każda funkcja ciągła   jest całkowalna[i]; podobnie, gdy   jest monotoniczna[j].

Dokładnego wskazania klasy funkcji całkowalnych można dokonać za pomocą teorii miary; niemniej funkcje te można opisać, definiując pojęcie nieodwołujące się do ogólnej teorii: zbiór   nazywa się zaniedbywalnym[k] wtedy i tylko wtedy, gdy można pokryć go (co najwyżej) przeliczalną liczbą dowolnie krótkich odcinków, tzn. dla każdego   istnieje (co najwyżej) przeliczalny ciąg przedziałów   spełniający   oraz   Przykładami takich zbiorów są np. punkt, tj. zbiór jednoelementowy, dowolne zbiory skończone lub przeliczalne; kontrprzykładamiodcinek, czyli przedział, bądź dowolny zbiór otwarty.

Twierdzenie: Funkcja ograniczona określona na przedziale domkniętym jest całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest prawie wszędzie ciągła, tzn. zbiór jej nieciągłości jest zaniedbywalny.

Zatem jest ona tym bardziej całkowalna, gdy ma (co najwyżej) przeliczalny zbiór nieciągłości; w szczególności, gdy jest ciągła (zob. wyżej). Wprost stąd wynika, że wartość bezwzględna   funkcji całkowalnej   jest również całkowalna. Podobnie iloczyn (określony punktowo)   dwóch funkcji całkowalnych   również jest funkcją całkowalną. Jeżeli ciąg funkcji całkowalnych   jest jednostajnie zbieżny do funkcji   to jest ona całkowalna oraz

 

Całka wielokrotnaEdytuj

Osobne artykuły: całka wielokrotnacałka iterowana.
 
„Objętość pod powierzchnią” jako uogólnienie intuicji „pola pod krzywą”.
Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Związek z miarą JordanaEdytuj

Osobny artykuł: miara Jordana.
Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

UogólnieniaEdytuj

 
Różnica ideowa między całką Riemanna/Darboux a całką Lebesgue’a: w pierwszej wprowadza się podział dziedziny, w drugiej – przeciwdziedziny funkcji.

Jako pierwsza formalnie zdefiniowana, całka Riemanna jest prototypem wszystkich innych całek, choć konstrukcje wielu z nich są daleko bardziej ogólne, niż przedstawione wyżej; niemniej zwykle wymaga się, by dane uogólnienie całki dawało dla funkcji całkowalnej w sensie Riemanna/Darboux ten sam wynik, co całka Riemanna/Darboux nazywana dalej po prostu całką Riemanna. Pełniejszą listę całek można znaleźć w osobnym artykule.

Całka Riemanna-StieltjesaEdytuj

Osobny artykuł: całka Riemanna-Stieltjesa.

Zastąpienie w definicji całki Riemanna końców podprzedziałów danego podziału za pomocą ich obrazów w pewnej funkcji prowadzi do uogólnienia znanego jako całka Riemanna-Stieltjesa; dla dość szerokiej klasy funkcji jest ona równa całce Riemanna, jednak w ogólności może dawać ona różne od niej wyniki. Wykazuje ona duży związek z całkowaniem przez podstawienie znajdując zastosowanie w rachunku prawdopodobieństwa (zbudowanym w oparciu o tę całkę).

Całki Lebesgue’a, Daniella-Stone’a, Lebesgue’a-StieltjesaEdytuj

Ważnym uogólnieniem całki Riemanna jest całka Lebesgue’a, która jest równoważna z tzw. całką Daniella-Stone’a: funkcja całkowalna w sensie Riemanna jest też całkowalna w sensie Lebesgue’a (Daniella-Stone’a), a ponadto wartości obu całek wtedy są równe. Przykładem funkcji, która jest całkowalna w sensie Lebesgue’a (Daniella-Stone’a), a nie jest całkowalna w sensie Riemanna jest funkcja Dirichleta. Dalszym uogólnieniem, łączącym w sobie zalety całki Lebesgue’a i Riemanna-Stieltjesa, jest całka Lebesgue’a-Stieltjesa nazywana również całką Lebesgue’a-Radona lub po prostu całką Radona.

 
Całka niewłaściwa pozwala na obliczenie pola pod wykresem funkcji nieograniczonej na przedziale ograniczonym i funkcji ograniczonej na przedziale nieograniczonym.

Całka niewłaściwaEdytuj

Osobny artykuł: całka niewłaściwa.

W każdej z powyższych konstrukcji problematyczne bywa całkowanie funkcji na przedziale otwartym, w szczególności gdy funkcja jest nieograniczona przy jednym z jego końców. Mówiąc o całce niewłaściwej, definiowanej jako granica całek określonych na przedziale domkniętym, którego jeden koniec dąży do końca przedziału otwartego, ma się zwykle na myśli uogólnienie całki Riemanna. Niemniej możliwe jest analogiczne uogólnienie całki Lebesgue’a. Rozpatrywanie całki niewłaściwej dla opisanej niżej całki Henstocka-Kurzweila nie ma sensu, gdyż standardowa wersja tej całki daje ten sam wynik, o czym mówi twierdzenie Hake'a. Oddzielnym zagadnieniem całki niewłaściwe są tzw. przedziały niewłaściwe, tzn. których końce nie muszą być liczbami rzeczywistymi.

Całka Henstocka-KurzweilaEdytuj

Osobny artykuł: całka Henstocka-Kurzweila.

Całka Henstocka-Kurzweila znana również jako całka Denjoy, czy Perrona (albo Denjoy-Perrona) jest pewnym uogólnieniem całki Riemanna o konstrukcji znacząco od niej nieodbiegającej. W ogólności teoria Henstocka-Kurzweila umożliwia całkowanie wszystkich funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a oraz funkcji całkowalnych w sposób niewłaściwy w sensie Riemanna, co uważane jest za jej główną zaletę. Istnieje drobna modyfikacja całki Henstocka-Kurzweila, znana jako całka McShane’a, która jest równoważna konstrukcji Lebesgue’a – ma ona tym samym wszystkie jej zalety, a jej definicja nie wymaga przy tym ogólnego aparatu teorii miary.

UwagiEdytuj

  1. W przeciwieństwie np. do całki Lebesgue’a, czy całki Henstocka-Kurzweila (zob. Uogólnienia), które przy dość łagodnych założeniach dodatkowych umożliwiają zamianę granicy z całką przy zbieżności punktowej ciągu funkcyjnego (por. twierdzenia Lebesgue’a i lemat Fatou).
  2. Jeżeli dla każdego ciągu normalnego przedziałów odpowiednie sumy Riemanna są zbieżne, to są one zbieżne to jednej i tej samej granicy. Niech   oraz   będą dwoma normalnymi ciągami podziałów przedziału   Ciąg podziałów   zdefiniowany jako   jest normalny, a ponieważ funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna, więc granica   istnieje i nie zależy od wyboru punktów pośrednich. Zatem dla podciągów   i   granice muszą być takie same (dowolny podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy), więc  
  3. Niech   wyznaczając   tak, by   otrzymuje się
     
    co z dowolności   oraz oszacowania   pociąga tezę dla kresu górnego; podobnie dowodzi się, że   jest kresem dolnym  
  4. Zob. również tzw. „esz” ʃ.
  5. Dla dowolnego podziału   oraz dowolnej sumy   zachodzi     zatem   gdyż  
  6. Wynika wprost z powyższego na mocy nierówności  
  7. Wynika wprost z powyższego, gdyż  
  8. Addytywność   wynika stąd, iż dla ustalonego podziału   zachodzi równość sum częściowych   która wraz ze zbieżnością sum po prawej stronie pociąga zbieżność sum po lewej stronie będących odpowiednio całką Riemanna z sumy funkcji   oraz sumą całek Riemanna z funkcji   i   Podobnie dowodzi się jednorodności  
  9. Funkcja   jest jednostajnie ciągła (jako określona na przedziale domkniętym) wynika, że dla dowolnego   istnieje podział   odcinka   o oscylacjach     stąd   zatem funkcja   jest D-całkowalna.
  10. Niech dla ustalenia uwagi funkcja   będzie niemalejąca; jeśli   jest podziałem   spełniającym   dla dowolnie wybranego   to
       
    czyli
     
    skąd wynika D-całkowalność funkcji  
  11. Dowodzi się, że zbiory zaniedbywalne w powyższym sensie odpowiadają dokładnie tzw. zbiorom miary Lebesgue’a zero, tzn. zbiorom, których miara Lebesgue’a jest równa zeru.

Linki zewnętrzneEdytuj