Całka Henstocka-Kurzweila

W analizie matematycznej całką Henstocka-Kurzweila lub uogólnioną całką Riemanna, całką cechowania – znaną również jako (wąska) całka Denjoy (wym. [dɑ̃ˈʒwa], nie mylić z bardziej ogólną całką Denjoy), całka Łuzina lub całka Perrona – nazywamy uogólnienie całki Riemanna, a w niektórych przypadkach także całkę ogólniejszą niż całka Lebesgue’a. W szczególności funkcja jest całkowalna w sensie Lebesgue’a wtedy i tylko wtedy, gdy ta funkcja oraz jej wartość bezwzględna są całkowalne w sensie Henstocka-Kurzweila.

Całkę tę po raz pierwszy zdefiniował Arnaud Denjoy (1912). Denjoy był zainteresowany całką, która pozwoliłaby na całkowanie takich funkcji, jak

Ta funkcja ma osobliwość w zerze i nie jest całkowalna w sensie Lebesgue’a. Naturalnym pomysłem wydaje się jednak obliczenie tej całki na zbiorze dla pewnych a następnie dokonanie przejścia granicznego

Próbując stworzyć ogólną teorię, Denjoy użył indukcji pozaskończonej nad możliwymi typami osobliwości, co mocno skomplikowało definicję. Inne definicje podał Nikołaj Łuzin (przy użyciu pojęcia ciągłości bezwzględnej) oraz Oskar Perron. Po pewnym czasie zrozumiano, że całki Perrona i Denjoya są w istocie identyczne.

Później, w 1957 roku, czeski matematyk Jaroslav Kurzweil stworzył nową definicję tej całki, elegancko naśladującą pierwotną definicję Riemanna, którą nazwał całką cechowania. Teoria tej całki została opisana przez została opracowana przez Ralpha Henstocka, z tego powodu jest ona obecnie powszechnie znana jako całka Henstocka-Kurzweila. Prostota definicji Kurzweila sprawiła, że niektórzy pedagodzy opowiadają się za tym, aby ta całka zastąpiła całkę Riemanna we wprowadzających kursach z rachunku różniczkowego[1].

DefinicjaEdytuj

Niech   oznacza podział przedziału   to znaczy zbiór punktów   takich, że

 

razem z punktowaniami   spełniającymi warunek

 

Wówczas definiujemy sumę riemannowską funkcji

 

jako

 

Niech   będzie funkcją dodatnią

 

którą nazywamy cechowaniem. Mówimy, że podział   jest  -drobny, jeśli

 

Liczbę   nazwiemy całką Henstocka-Kurzweila funkcji  , jeśli dla każdego   istnieje cechowanie   takie, że jeśli   jest  -drobny, to

 

Jeśli takie   istnieje, to mówimy, że   jest całkowalna w sensie Henstocka-Kurzweila na przedziale  [2].

Twierdzenie Cousina stwierdza, że dla każdego cechowania   taki  -drobny podział   przedziału   istnieje, więc warunek jest spełniony[3].

Od razu można zauważyć, że całka Riemanna jest szczególnym przypadkiem całki Henstocka-Kurzweila, bo jest to przypadek, kiedy dopuszczamy tylko stałe funkcje  [4].

WłasnościEdytuj

  • Niech   Dla ustalonych   funkcja   jest całkowalna w sensie Henstocka-Kurzweila przedziale   wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowalna w sensie Henstocka-Kurzweila na obu przedziałach   i   wówczas też
 [4].
  • Całki Henstocka-Kurzweila są liniowe. Dla dowolnych funkcji   i liczb rzeczywistych   wyrażenie   jest całkowalne i zachodzi równość
 [4].
  • Jeśli   jest całkowalna w sensie Riemanna lub Lebesgue’a, to jest ona również całkowalna w sensie Henstocka-Kurzweila, a wartość każdej z całek jest taka sama. Twierdzenie Hake’a stwierdza, że
 

o ile tylko obydwie strony równości istnieją. Analogiczny wzór zachodzi dla granicy prawostronnej w lewym końcu przedziału. Oznacza to, że jeśli   całkowalna jako całka niewłaściwa w sensie Henstocka-Kurzweila, to jest też całkowalna w sensie Henstocka-Kurzweila jako całka właściwa. W szczególności niewłaściwe całki Riemanna lub Lebesgue’a postaci

 

są również właściwymi całkami Henstocka-Kurzweila. Badanie niewłaściwej całki Henstocka-Kurzweila o skończonych granicach nie miałoby sensu. Wartościowe jest jednak jest rozważenie niewłaściwych całek Henstocka-Kurzweila na przedziałach nieograniczonych, takich jak

 [4].
  • Dla wielu rodzin funkcji całka Henstocka-Kurzweila nie jest bardziej ogólna niż całka Lebesgue’a. W szczególności, jeżeli   jest funkcją ograniczoną o nośniku zwartym, to następujące stwierdzenia są równoważne:
  1.   jest całkowalna w sensie Henstocka-Kurzweila,
  2.   jest całkowalna w sensie Lebesgue’a,
  3.   jest mierzalna względem miary Lebesgue’a[4].
  • Ogólnie rzecz biorąc, każda funkcja całkowalna w sensie Henstocka-Kurzweila jest mierzalna, a   jest całkowalna w sensie Lebesgue’a wtedy i tylko wtedy, gdy zarówno   jak i   są całkowalne w sensie Henstocka-Kurzweila. Oznacza to, że całkę Henstocka-Kurzweila można traktować jako nie będącą zbieżną bezwzględnie wersję całki Lebesgu’a. Oznacza to również, że całka Henstocka-Kurzweila spełnia odpowiednie wersje twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej (bez wymogu nieujemności funkcji) i twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej (gdzie warunek ograniczoności jest osłabiony do   dla pewnych funkcji całkowalnych  )[4].
  • Jeśli   jest funkcją wszędzie różniczkowalną (poza być może przeliczalnie wieloma punktami), to pochodna   jest całkowalna w sensie Henstocka-Kurzweila, a jej całka nieoznaczona Henstocka-Kurzweila to   Jest to mocne twierdzenie, gdyż   nie musi być całkowalna w sensie Lebesgue’a. Innymi słowy, otrzymujemy prostszą i bardziej satysfakcjonującą wersję podstawowego twierdzenia rachunku całkowego: każda funkcja różniczkowalna jest, z dokładnością do stałej, całką swojej pochodnej:
 

Odwrotnie, twierdzenie Lebesgue’a o różniczkowaniu obowiązuje także dla całki Henstocka-Kurzweila: jeśli   jest całkowalna w sensie Henstocka-Kurzweila na   oraz

 

wtedy równość   zachodzi prawie wszędzie na   (w szczególności   jest różniczkowalna prawie wszędzie)[4].

Całka McShane’aEdytuj

Całkę Lebesgue’a na prostej można również zmodyfikować w podobny sposób.

Jeśli weźmiemy powyższą definicję całki Henstocka-Kurzweila i pominiemy warunek

 

to otrzymamy definicję całki McShane’a, która jest odpowiednikiem całki Lebesgue’a. Warto zwrócić uwagę na to, że warunek

 

nadal zachodzi, jedynie dodatkowo żądamy, aby   żeby   było dobrze określone.

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Robert G. Bartle: A Modern Theory of Integration. T. 32. American Mathematical Society, 2001, seria: Graduate Studies in Mathematics. ISBN 978-0-8218-0845-0. (ang.)
  • Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert: Introduction to Real Analysis. Wyd. 3. Wiley, 1999. ISBN 978-0-471-32148-4. (ang.)
  • V.G. Čelidze, A.G. Džvaršeǐšvili: The Theory of the Denjoy Integral and Some Applications. T. 3. World Scientific Publishing Company, 1989, seria: Series in Real Analysis. ISBN 978-981-02-0021-3. (ang.)
  • A.G. Das: The Riemann, Lebesgue, and Generalized Riemann Integrals. Narosa Publishers, 2008. ISBN 978-81-7319-933-2. (ang.)
  • Russell A. Gordon: The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock. T. 4. Providence, RI: American Mathematical Society, 1994, seria: Graduate Studies in Mathematics. ISBN 978-0-8218-3805-1. (ang.)
  • Ralph Henstock: Lectures on the Theory of Integration. T. 1. World Scientific Publishing Company, 1988, seria: Series in Real Analysis. ISBN 978-9971-5-0450-2. (ang.)
  • Jaroslav Kurzweil: Henstock–Kurzweil Integration: Its Relation to Topological Vector Spaces. T. 7. World Scientific Publishing Company, 2000, seria: Series in Real Analysis. ISBN 978-981-02-4207-7. (ang.)
  • Jaroslav Kurzweil: Integration Between the Lebesgue Integral and the Henstock–Kurzweil Integral: Its Relation to Locally Convex Vector Spaces. T. 8. World Scientific Publishing Company, 2002, seria: Series in Real Analysis. ISBN 978-981-238-046-3. (ang.)
  • Solomon Leader: The Kurzweil–Henstock Integral & Its Differentials. CRC, 2001, seria: Pure and Applied Mathematics Series. ISBN 978-0-8247-0535-0.
  • Peng-Yee Lee: Lanzhou Lectures on Henstock Integration. T. 2. World Scientific Publishing Company, 1989, seria: Series in Real Analysis. ISBN 978-9971-5-0891-3. (ang.)
  • Lee Peng-Yee, Rudolf Výborný: Integral: An Easy Approach after Kurzweil and Henstock. Cambridge University Press, 2000, seria: Australian Mathematical Society Lecture Series. ISBN 978-0-521-77968-5. (ang.)
  • Robert M. McLeod: The generalized Riemann integral. T. 20. Washington, D.C.: Mathematical Association of America, 1980, seria: Carus Mathematical Monographs. ISBN 978-0-88385-021-3. (ang.)
  • Charles W. Swartz: Introduction to Gauge Integrals. World Scientific Publishing Company, 2001. ISBN 978-981-02-4239-8. (ang.)
  • Charles W. Swartz, Douglas S. Kurtz: Theories of Integration: The Integrals of Riemann, Lebesgue, Henstock–Kurzweil, and McShane. T. 9. World Scientific Publishing Company, 2004, seria: Series in Real Analysis. ISBN 978-981-256-611-9. (ang.)