Całka niewłaściwa – rozszerzenie pojęcia całki Riemanna na przedziały nieograniczone albo takie, w których całkowana funkcja jest nieograniczona. W obu przypadkach jest to granica pewnej funkcji zdefiniowanej przez całkę[1].
Pole pod wykresem funkcji na przedziale nieskończonym jest skończone, równe
nazywa się całką niewłaściwą funkcji w granicach od do Jeżeli granica ta istnieje i jest skończona, to mówi się, że całka ta jest zbieżna, w przeciwnym przypadku mówi się, że jest rozbieżna. Analogicznie określa się całkę niewłaściwą w granicach od do i od do
Można udowodnić, że ostatnie wyrażenie (jeżeli ta granica istnieje) jest równe
gdzie jest dowolną liczbą rzeczywistą. Oprócz tego, istnienie obu całek z wyrażenia powoduje istnienie granicy z jeżeli te całki nie są równe nieskończonościom różnych znaków. Więc całkę można zdefiniować przez wyrażenie
będzie funkcją, która jest ograniczona i całkowalna w dowolnym przedziale gdzie oraz jest nieograniczona w każdym przedziale na lewo od punktu (punkt taki nazywany jest punktem osobliwym funkcji ). Granicę
nazywa się całką niewłaściwą funkcji w przedziale Gdy granica ta jest skończona, to mówi się, że całka ta jest zbieżna – w przeciwnym przypadku – tj. gdy jest nieskończona bądź nie istnieje, mówi się, że jest ona rozbieżna. Analogicznie określa się przypadek, gdy punkt jest punktem osobliwym.
W przypadku, gdy oba punkty są punktami osobliwymi, metoda definiowania jest analogiczna jak w podanej wyżej definicji całki tj. można wykorzystać granicę podwójną albo napisać, że
Analogicznie, z pomocą rozbicia przedziału, definiuje się całka o skończonej liczbie punktów osobliwych wewnątrz odpowiedniego przedziału. Tę samą metodę stosuje się do definiowania całki, w której i przedział jest nieskończony, i funkcja jest nieograniczona.
gdy ze zbieżności całki wynika zbieżność całki (a to, przez kontrapozycję, jest równoważne temu, iż z rozbieżności drugiej całki wynika rozbieżność pierwszej),
gdy z rozbieżności całki wynika rozbieżność całki (czyli ze zbieżności drugiej wynika zbieżność pierwszej).
Ostatecznie, w przypadku, gdy obie całki są albo jednocześnie zbieżne, albo jednocześnie rozbieżne.
Wszystkie funkcje wymierne których mianownik nie ma pierwiastków rzeczywistych, a licznik jest co najmniej o dwa stopnie niższy niż mianownik, można obliczyć metodami analizy na liczbach zespolonych.
W obliczeniach będziemy stosowali pojęcie residuum funkcji. Jeżeli wewnątrz zamkniętej krzywej całkowania znajdą się bieguny funkcji i ta funkcja jest analityczna we wszystkich innych punktach obszaru ograniczonego tą krzywą, to wartość całki wyniesie:
gdzie to krzywa gładka, skierowana odwrotnie do ruchu wskazówek zegara.
Oznacza to, że całkę postaci
możemy rozpatrywać jako sumę całek od do wzdłuż osi rzeczywistej oraz po półokręgu o promieniu przechodzącym przez punkty i skierowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Kontynuując, można wykazać, że wartość tej całki będzie wynosiła:
przy założeniu, że wszystkie punkty znajdują się w górnej półpłaszczyźnie liczb zespolonych (ich część urojona jest większa od 0). Punkty leżące w dolnej półpłaszczyźnie liczb zespolonych ignorujemy.
Całka funkcji wymiernej z funkcjami trygonometrycznymi
napisać tę sekcję tak, żeby było jasno, o co chodzi. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tej sekcji. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tej sekcji.
Całki funkcji postaci bądź liczy się podobnie do całek z funkcji niewymiernych. Niezbędne jest jednak ich inne przekształcenie na całkę zespoloną: