Całka niewłaściwa

rozszerzenie pojęcia całki Riemanna
Improperintegral1.png
Pole pod wykresem funkcji na przedziale nieskończonym jest skończone, równe

Całka niewłaściwa – rozszerzenie pojęcia całki Riemanna na przedziały nieograniczone albo takie, w których całkowana funkcja jest nieograniczona.

Ustalenia wstępneEdytuj

Całki na przedziale nieograniczonymEdytuj

Niech dla każdego   funkcja

 

jest całkowalna w przedziale   Granicę

 

nazywa się całką niewłaściwą funkcji   w granicach od   do   Jeżeli granica ta istnieje i jest skończona, to mówi się, że całka ta jest zbieżna, w przeciwnym przypadku mówi się, że jest rozbieżna. Analogicznie określa się całkę niewłaściwą w granicach od   do   i od   do  

 
 

Można udowodnić, że ostatnie wyrażenie (jeżeli ta granica istnieje) jest równe

 

gdzie   jest dowolną liczbą rzeczywistą. Oprócz tego, istnienie obu całek z wyrażenia   powoduje istnienie granicy z   jeżeli te całki nie są równe nieskończonościom różnych znaków. Więc całkę   można zdefiniować przez wyrażenie  

Całki z funkcji nieograniczonejEdytuj

Niech

 

będzie funkcją, która jest ograniczona i całkowalna w dowolnym przedziale   gdzie   oraz jest nieograniczona w każdym przedziale   na lewo od punktu   (punkt taki nazywany jest punktem osobliwym funkcji  ). Granicę

 

nazywa się całką niewłaściwą funkcji   w przedziale   Gdy granica ta jest skończona, to mówi się, że całka ta jest zbieżna – w przeciwnym przypadku – tj. gdy jest nieskończona bądź nie istnieje, mówi się, że jest ona rozbieżna. Analogicznie określa się przypadek, gdy punkt   jest punktem osobliwym.

W przypadku, gdy oba punkty   są punktami osobliwymi, metoda definiowania jest analogiczna jak w podanej wyżej definicji całki   tj. można wykorzystać granicę podwójną albo napisać, że

 

Analogicznie, z pomocą rozbicia przedziału, definiuje się całka o skończonej liczbie punktów osobliwych wewnątrz odpowiedniego przedziału. Tę samą metodę stosuje się do definiowania całki, w której i przedział jest nieskończony, i funkcja jest nieograniczona.

Warunkowa i bezwarunkowa zbieżność całkiEdytuj

Niech   będzie funkcją określoną na pewnym przedziale   poza, być może, skończoną liczbą punktów osobliwych. Wtedy całkę (niewłaściwą)

 

nazywa się zbieżną bezwzględnie, jeżeli całka

 

istnieje i jest skończona. Gdy istnieje całka   ale nie istnieje całka z modułu, całkę   nazywa się zbieżną warunkowo.

Dla przykładu, całka

 

jest warunkowo zbieżna. Wynika to z następującego kryterium porównywania z szeregiem, zastosowanym dla całki

 

Kryteria zbieżności całek niewłaściwychEdytuj

Badanie zbieżności szereguEdytuj

Całka niewłaściwa   istnieje i jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu   punktów przedziału   gdzie

 

oraz

 

szereg liczbowy

 

jest zbieżny.

Kryterium porównawczeEdytuj

Jeżeli funkcje

 

są nieujemne oraz istnieje taka liczba   że dla każdego   zachodzi nierówność   oraz całka   jest zbieżna, to również całka   jest zbieżna.

Powyższe kryterium można nieco wzmocnić i wypowiedzieć je w sposób następujący:

Kryterium asymptotyczneEdytuj

Jeżeli istnieje granica

 

to

  • gdy   ze zbieżności całki   wynika zbieżność całki   (a to, przez kontrapozycję, jest równoważne temu, iż z rozbieżności drugiej całki wynika rozbieżność pierwszej),
  • gdy   z rozbieżności całki   wynika rozbieżność całki   (czyli ze zbieżności drugiej wynika zbieżność pierwszej).

Ostatecznie, w przypadku, gdy   obie całki są albo jednocześnie zbieżne, albo jednocześnie rozbieżne.

Kryterium AbelaEdytuj

Załóżmy, że funkcje   są takie, że

1)   jest zbieżna;
2) funkcja   jest monotoniczna i ograniczona.

Wówczas całka

 

jest zbieżna.

Kryterium DirichletaEdytuj

Załóżmy, że funkcja   jest całkowalna w każdym przedziale   oraz

1) istnieje taka liczba nieujemna   że dla każdego  
 
2) funkcja   jest zbieżna monotonicznie do   przy  

Wówczas całka

 

jest zbieżna.

Obliczanie całek za pomocą metod analizy zespolonejEdytuj

Jeżeli całka jest zbieżna, to możemy ją próbować obliczyć za pomocą analizy zespolonej.

Całki z funkcji wymiernychEdytuj

Wszystkie funkcje wymierne   których mianownik nie ma pierwiastków rzeczywistych, a licznik jest co najmniej o dwa stopnie niższy niż mianownik, można obliczyć metodami analizy na liczbach zespolonych.

W obliczeniach będziemy stosowali pojęcie residuum funkcji. Jeżeli wewnątrz zamkniętej krzywej całkowania   znajdą się bieguny   funkcji   i ta funkcja jest analityczna we wszystkich innych punktach obszaru ograniczonego tą krzywą, to wartość całki wyniesie:

 

gdzie   to krzywa gładka, skierowana odwrotnie do ruchu wskazówek zegara.

Oznacza to, że całkę postaci

 

możemy rozpatrywać jako sumę całek od   do   wzdłuż osi rzeczywistej oraz po półokręgu o promieniu   przechodzącym przez punkty       i skierowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Kontynuując, można wykazać, że wartość tej całki będzie wynosiła:

 

przy założeniu, że wszystkie punkty   znajdują się w górnej półpłaszczyźnie liczb zespolonych (ich część urojona jest większa od 0). Punkty leżące w dolnej półpłaszczyźnie liczb zespolonych ignorujemy.

Całki z funkcji wymiernych z funkcjami trygonometrycznymiEdytuj

Całki z funkcji postaci   bądź   liczy się podobnie do całek z funkcji niewymiernych. Niezbędne jest jednak ich inne przekształcenie na całkę zespoloną:

 

bądź

 

PrzykładyEdytuj

Przykładem całki na przedziale nieskończonym jest całka

 

Obliczając całkę oznaczoną, mamy:

 

i taka jest wartość szukanej całki.

Przykładem całki funkcji nieograniczonej jest całka

 

Obliczając całkę oznaczoną, mamy:

 

i taka jest wartość szukanej całki.

Całki występujące w definicji niektórych rozkładów prawdopodobieństwaEdytuj

  •   – całka Gaussa, występuje w rozkładzie Maxwella.
  •   – całka występująca w rozkładzie Boltzmanna.
  •   – całka występująca w rozkładzie Bosego-Einsteina.
  •   – całka występująca w rozkładzie Fermiego-Diraca.

W tych przykładach

  – dowolna dodatnia liczba rzeczywista,
 funkcja gamma Eulera,
 funkcja zeta Riemanna,
 funkcja eta Dirichleta.

BibliografiaEdytuj