Funkcja η
Ten artykuł od 2017-03 wymaga zweryfikowania podanych informacji. |
Funkcja eta Dirichleta – funkcja określona dla argumentów zespolonych, zdefiniowana jako:
gdzie – funkcja dzeta Riemanna.
Lub w postaci równoważnej z wykorzystaniem szeregów nieskończonych:
Można też przedstawić tę funkcję jako obliczenie całki w myśl wzoru:
gdzie – funkcja gamma Eulera.
Własności funkcji ηEdytuj
Należy zauważyć, że funkcję η warto rozłożyć na dwie funkcje – jej część rzeczywistą i część urojoną Mają one własności:
gdzie oznacza sprzężenie zespolone liczby Z ostatniego równania wynika, że funkcja η przyjmuje wartości rzeczywiste dla rzeczywistych z.
Ponadto możemy zapisać granicę:
Wynika z tego bezpośrednio, że i co można zaobserwować od razu na wykresie poniżej.
Wykresy funkcji ηEdytuj
Wykres funkcji η(x) dla osi rzeczywistej. Część urojona jest równa zeru.
Wykres funkcji η(z) dla całej płaszczyzny zespolonej. Odcień oznacza argument funkcji, zaś nasycenie reprezentuje jej moduł (im bliższy 0 tym ciemniejszy). Oś rzeczywista – poziomo, oś urojona – pionowo.