Funkcja η

Ten artykuł dotyczy funkcji specjalnej eta. Zobacz też: funkcja Dirichleta - funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych.

Funkcja eta Dirichletafunkcja określona dla argumentów zespolonych, zdefiniowana jako:

gdzie funkcja dzeta Riemanna.

Lub w postaci równoważnej z wykorzystaniem szeregów nieskończonych:

Można też przedstawić tę funkcję jako obliczenie całki w myśl wzoru:

gdzie funkcja gamma Eulera.

Własności funkcji ηEdytuj

Należy zauważyć, że funkcję η warto rozłożyć na dwie funkcje – jej część rzeczywistą   i część urojoną   Mają one własności:

 
 

gdzie   oznacza sprzężenie zespolone liczby   Z ostatniego równania wynika, że funkcja η przyjmuje wartości rzeczywiste dla rzeczywistych z.

Ponadto możemy zapisać granicę:

 

Wynika z tego bezpośrednio, że   i   co można zaobserwować od razu na wykresie poniżej.

Wykresy funkcji ηEdytuj