Funkcja η
Ten artykuł od 2017-03 wymaga zweryfikowania podanych informacji. |
Funkcja eta Dirichleta – funkcja określona dla argumentów zespolonych, zdefiniowana jako:
gdzie – funkcja dzeta Riemanna.
Lub w postaci równoważnej z wykorzystaniem szeregów nieskończonych:
Można też przedstawić tę funkcję jako obliczenie całki w myśl wzoru:
gdzie – funkcja gamma Eulera.
Własności funkcji η
edytujNależy zauważyć, że funkcję η warto rozłożyć na dwie funkcje – jej część rzeczywistą i część urojoną Mają one własności:
gdzie oznacza sprzężenie zespolone liczby Z ostatniego równania wynika, że funkcja η przyjmuje wartości rzeczywiste dla rzeczywistych z.
Ponadto możemy zapisać granicę:
Wynika z tego bezpośrednio, że i co można zaobserwować od razu na wykresie poniżej.
Wykresy funkcji η
edytuj-
Wykres funkcji η(x) dla osi rzeczywistej. Część urojona jest równa zeru.
-
Wykres funkcji η(z) dla całej płaszczyzny zespolonej. Odcień oznacza argument funkcji, zaś nasycenie reprezentuje jej moduł (im bliższy 0 tym ciemniejszy). Oś rzeczywista – poziomo, oś urojona – pionowo.