Ten artykuł od 2017-03 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła, najlepiej w formie
przypisów bibliograficznych .
Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu . Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.
Funkcja gamma (zwana też gammą Eulera) – funkcja specjalna , która rozszerza pojęcie silni [1] na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych . Gdy część rzeczywista liczby zespolonej z jest dodatnia, to całka (całka Eulera):
Γ
(
z
)
=
∫
0
+
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Gamma (z)=\int \limits _{0}^{+\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,dt}
jest zbieżna bezwzględnie. Całkując przez części , można pokazać, że:
Γ
(
z
+
1
)
=
z
⋅
Γ
(
z
)
.
{\displaystyle \Gamma (z+1)=z\cdot \Gamma (z).}
Zważywszy na to, iż Γ(1)=1, z powyższego wzoru wynika, że Γ(n +1)=n ! dla wszystkich liczb naturalnych n .
Drugim sposobem określenia funkcji Γ (dla dowolnych liczb zespolonych) jest:
Γ
(
z
)
=
lim
n
→
+
∞
n
!
n
z
z
(
z
+
1
)
(
z
+
2
)
…
(
z
+
n
)
=
1
z
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
n
)
z
1
+
z
n
.
{\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {n!n^{z}}{z(z+1)(z+2)\ldots (z+n)}}={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}{1+{\frac {z}{n}}}}.}
Możemy także określić odwrotność funkcji Gamma następująco (γ to stała Eulera-Mascheroniego ):
1
Γ
(
z
)
=
z
e
γ
z
∏
n
=
1
∞
[
(
1
+
z
n
)
e
−
z
n
]
.
{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\right].}
Funkcja gamma nie ma miejsc zerowych .
Jest nieciągła w każdym punkcie całkowitym niedodatnim, przyjmując w tych punktach za granice lewostronne i prawostronne przeciwne nieskończoności[potrzebny przypis ] .
Własności funkcji Gamma Edytuj
Γ
(
z
+
1
)
=
z
⋅
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z+1)=z\cdot \Gamma (z)}
Γ
(
z
)
⋅
Γ
(
z
+
1
2
)
=
π
2
2
⋅
z
−
1
⋅
Γ
(
2
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)\cdot \Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2\cdot z\ -1}}}\cdot \Gamma (2z)}
Następujące dwa wzory zachodzą, jeśli mianownik jest niezerowy:
Γ
(
z
)
⋅
Γ
(
1
−
z
)
=
π
sin
π
z
,
{\displaystyle \Gamma (z)\cdot \Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {\pi z}}},}
Γ
(
z
+
1
2
)
⋅
Γ
(
1
2
−
z
)
=
π
cos
π
z
.
{\displaystyle \Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \Gamma \left({\frac {1}{2}}-z\right)={\frac {\pi }{\cos {\pi z}}}.}
Jeśli
−
1
<
Re
(
z
)
<
1
,
{\displaystyle -1<\operatorname {Re} (z)<1,}
to:
Γ
(
z
)
=
1
sin
π
2
z
∫
0
∞
t
z
−
1
sin
t
d
t
.
{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{\sin {{\frac {\pi }{2}}z}}}\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\sin {t}dt.}
Jeśli
0
<
Re
(
z
)
<
1
,
{\displaystyle 0<\operatorname {Re} (z)<1,}
to:
Γ
(
z
)
=
1
cos
π
2
z
∫
0
∞
t
z
−
1
cos
t
d
t
.
{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{\cos {{\frac {\pi }{2}}z}}}\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\cos {t}dt.}
Wzór iloczynowy Gaussa:
Γ
(
n
z
)
=
n
n
z
(
2
π
)
n
−
1
⋅
Γ
(
z
)
⋅
Γ
(
z
+
1
n
)
⋅
Γ
(
z
+
2
n
)
⋅
…
⋅
Γ
(
z
+
n
−
1
n
)
.
{\displaystyle \Gamma (nz)={\frac {n^{nz}}{\sqrt {(2\pi )^{n-1}}}}\cdot \Gamma (z)\cdot \Gamma \left(z+{\frac {1}{n}}\right)\cdot \Gamma \left(z+{\frac {2}{n}}\right)\cdot \ldots \cdot \Gamma \left(z+{\frac {n-1}{n}}\right).}
Dla n całkowitych, dodatnich zachodzi:
Γ
(
n
)
=
(
n
−
1
)
!
,
{\displaystyle \Gamma (n)\ =\ (n-1)!,}
Γ
(
n
+
1
2
)
=
(
2
n
−
1
)
!
!
2
n
π
,
{\displaystyle \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }},}
Γ
(
n
+
1
/
p
)
=
Γ
(
1
/
p
)
(
p
n
−
(
p
−
1
)
)
!
(
p
)
p
n
,
{\displaystyle \Gamma (n+1/p)=\Gamma (1/p){\frac {(pn-(p-1))!^{(p)}}{p^{n}}},}
gdzie
x
!
(
p
)
{\displaystyle x!^{(p)}}
oznacza tzw. silnię wielokrotną p-tą.
Wykres funkcji zespolonej Edytuj
Technika kolorowania dziedziny Edytuj
Rzut przestrzenny modułu kolorowany argumentem Edytuj
Oś
x – część rzeczywista, oś
y – część urojona, oś
z – moduł wyniku,
kolor – argument wyniku
Wybrane wartości funkcji Gamma Edytuj
Γ
(
−
2
)
−
Γ
(
−
3
/
2
)
=
4
π
3
≈
2,363
271801
Γ
(
−
1
)
−
Γ
(
−
1
/
2
)
=
−
2
π
≈
−
3,544
907702
Γ
(
0
)
−
Γ
(
1
/
7
)
≈
6,548
062940
Γ
(
1
/
6
)
≈
5,566
316002
Γ
(
1
/
5
)
≈
4,590
843712
Γ
(
1
/
4
)
≈
3,625
609908
Γ
(
1
/
3
)
≈
2,678
938535
Γ
(
1
/
2
)
=
π
≈
1,772
453851
Γ
(
1
)
=
0
!
=
1
Γ
(
x
m
i
n
)
=
0,885
603194
Γ
(
3
/
2
)
=
π
2
≈
0,886
226925
Γ
(
2
)
=
1
!
=
1
Γ
(
5
/
2
)
=
3
π
4
≈
1,329
340388
Γ
(
3
)
=
2
!
=
2
Γ
(
7
/
2
)
=
15
π
8
≈
3,323
350970
Γ
(
4
)
=
3
!
=
6
{\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-2)&-&\\\Gamma (-3/2)&={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx 2{,}363271801\\\Gamma (-1)&-&\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3{,}544907702\\\Gamma (0)&-&\\\Gamma (1/7)&&\approx 6{,}548062940\\\Gamma (1/6)&&\approx 5{,}566316002\\\Gamma (1/5)&&\approx 4{,}590843712\\\Gamma (1/4)&&\approx 3{,}625609908\\\Gamma (1/3)&&\approx 2{,}678938535\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1{,}772453851\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (x_{min})&&=0{,}885603194\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0{,}886226925\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1{,}329340388\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx 3{,}323350970\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}}
x
m
i
n
{\displaystyle x_{min}}
jest to taki argument funkcji Γ, gdzie przyjmuje ona minimum lokalne dla x > 0,
x
m
i
n
≈
1,461
632145.
{\displaystyle x_{min}\approx 1{,}461632145.}
Funkcja Γ(z ) nie jest określona dla z = 0, -1, -2, ... (ma tam bieguny o residuum
(
−
1
)
n
/
n
!
{\displaystyle (-1)^{n}/n!}
).
Logarytmiczna pochodna funkcji gamma Edytuj
Wykres logarytmicznej pochodnej funkcji gamma
Można zdefiniować funkcję
ψ
(
z
)
,
{\displaystyle \psi (z),}
którą nazywamy logarytmiczną pochodną funkcji gamma albo funkcją digamma :
ψ
(
z
)
=
Γ
′
(
z
)
Γ
(
z
)
,
{\displaystyle \psi (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}},}
gdzie
z
≠
0
,
−
1
,
−
2
,
…
{\displaystyle z\neq 0,-1,-2,\dots }
Zachodzą relacje (
γ
{\displaystyle \gamma }
– stała Eulera-Mascheroniego ):
ψ
(
z
)
=
−
γ
+
∑
n
=
0
∞
(
1
n
+
1
−
1
n
+
z
)
,
{\displaystyle \psi (z)=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+z}}\right),}
ψ
′
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
1
(
z
+
k
)
2
.
{\displaystyle \psi '(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{\left(z+k\right)^{2}}}.}
Ponadto dla dużych x można używać przybliżenia:
ψ
(
x
)
≈
ln
x
−
1
2
x
.
{\displaystyle \psi (x)\approx \ln x-{\frac {1}{2x}}.}
Funkcja poligamma Edytuj
Definiuje się także funkcję:
ψ
(
n
)
(
z
)
=
d
n
ψ
(
z
)
d
z
n
=
(
d
d
z
)
n
+
1
ln
Γ
(
z
)
,
{\displaystyle \psi ^{(n)}(z)={\frac {d^{n}\psi (z)}{dz^{n}}}=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{n+1}\ln \Gamma (z),}
którą nazywamy funkcją poligamma n -tego rzędu . Wtedy funkcję digamma można zdefiniować w następujący sposób:
ψ
(
z
)
=
ψ
(
0
)
(
z
)
.
{\displaystyle \psi (z)=\psi ^{(0)}(z).}
Funkcję
ψ
(
1
)
{\displaystyle \psi ^{(1)}}
nazywa się czasem funkcją trigamma lub trójgamma.
Wykorzystanie Edytuj
Na funkcji gamma opiera się symbol Pochhammera[2] .
Wzór na objętość n-wymiarowej hipersfery :
S
n
=
(
2
∗
π
n
/
2
)
/
(
Γ
(
1
/
2
n
)
)
{\displaystyle S_{n}=(2*\pi ^{n/2})/(\Gamma (1/2n))}
[3] .
Linki zewnętrzne Edytuj