Funkcja Γ

funkcja matematyczna, uogólnienie silni
Wykres funkcji gamma

Funkcja gamma (zwana też gammą Eulera) – funkcja specjalna, która rozszerza pojęcie silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych. Gdy część rzeczywista liczby zespolonej z jest dodatnia, to całka (całka Eulera):

jest zbieżna bezwzględnie. Całkując przez części, można pokazać, że:

Zważywszy na to, iż Γ(1)=1, z powyższego wzoru wynika, że Γ(n+1)=n! dla wszystkich liczb naturalnych n.

Drugim sposobem określenia funkcji Γ (dla dowolnych liczb zespolonych) jest:

Możemy także określić odwrotność funkcji Gamma następująco (γ to stała Eulera-Mascheroniego):

Funkcja gamma nie ma miejsc zerowych.

Jest nieciągła w każdym punkcie całkowitym niedodatnim, przyjmując w tych punktach za granice lewostronne i prawostronne przeciwne nieskończoności[potrzebny przypis].

Własności funkcji GammaEdytuj

 
 

Następujące dwa wzory zachodzą, jeśli mianownik jest niezerowy:

 
 

Jeśli   to:

 

Jeśli   to:

 

Wzór iloczynowy Gaussa:

 

Dla n całkowitych, dodatnich zachodzi:

 
 
 

gdzie   oznacza tzw. silnię wielokrotną p-tą.

Wykres funkcji zespolonejEdytuj

Technika kolorowania dziedzinyEdytuj

Kompletny wykres
Moduł
Argument
Część rzeczywista
Część urojona
Wykres funkcji zespolonej   uzyskany techniką kolorowania dziedziny

Rzut przestrzenny modułu kolorowany argumentemEdytuj

 
x – część rzeczywista, oś y – część urojona, oś z – moduł wyniku, kolor – argument wyniku

Wybrane wartości funkcji GammaEdytuj

 

  jest to taki argument funkcji Γ, gdzie przyjmuje ona minimum lokalne dla x > 0,  

Funkcja Γ(z) nie jest określona dla z = 0, -1, -2, ... (ma tam bieguny o residuum  ).

Logarytmiczna pochodna funkcji gammaEdytuj

 
Wykres logarytmicznej pochodnej funkcji gamma

Można zdefiniować funkcję   którą nazywamy logarytmiczną pochodną funkcji gamma albo funkcją digamma:

 

gdzie   Zachodzą relacje ( stała Eulera-Mascheroniego):

 
 

Ponadto dla dużych x można używać przybliżenia:

 

Funkcja poligammaEdytuj

Definiuje się także funkcję:

 

którą nazywamy funkcją poligamma n-tego rzędu. Wtedy funkcję digamma można zdefiniować w następujący sposób:

 

Funkcję   nazywa się czasem funkcją trigamma lub trójgamma.

Funkcja   i kilka pierwszych funkcji poligamma na płaszczyźnie zespolonej
 
  (digamma)
  (trigamma)
 
 
 
Wykresy funkcji zespolonej uzyskane techniką kolorowania dziedziny

WykorzystanieEdytuj

  • Na funkcji gamma opiera się symbol Pochhammera[1].
  • Wzór na objętość n-wymiarowej hipersfery:  [2].

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Weisstein, Eric W., Pochhammer Symbol, mathworld.wolfram.com [dostęp 2018-01-21] (ang.).
  2. Weisstein, Eric W., Hypersphere, mathworld.wolfram.com [dostęp 2018-01-21] (ang.).

Linki zewnętrzneEdytuj