Funkcja całkowita

Funkcja całkowita – funkcja zmiennej zespolonej, która jest analityczna na całej płaszczyźnie zespolonej. Oznacza to, że funkcję tę można rozwinąć w szereg Taylora zbieżny na całej płaszczyźnie:

$f(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},$ gdzie $z,a_{n}\in \mathbb {C} .$

Przykłady

Wielomiany

Każdy wielomian jest całkowity i ma skończone rozwinięcie w szereg Taylora, co więcej on sam jest swoim rozwinięciem. Na przykład:

$f(z)=4z^{5}+7z^{2}+z+2=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$

gdzie ciąg $(a_{n})$ jest postaci

$(a_{n})=(2,1,7,0,0,4,0,0,0,0,\dots )$

Funkcja eksponencjalna

Funkcja $\exp(z)$ jest funkcją całkowitą zdefiniowaną jako

$\exp(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}},$

gdzie $n!$ oznacza silnię.

Sinus i cosinus

Funkcje $\sin(z)$ i $\cos(z)$ są całkowite. Ich rozwinięcia w szereg Taylora są następujące:

$\cos(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n},$

$\sin(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}.$

Własności

Z definicji funkcji całkowitej wynika, iż każda funkcja całkowita jest ciągła i nieskończenie wiele razy różniczkowalna, a więc również holomorficzna.

Zobacz też

• twierdzenie Liouville’a