Otwórz menu główne

Silnia

iloczyn wszystkich dodatnich liczb naturalnych nie większych niż n oraz 1 dla liczby zero
Wybrane wartości silni
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40 320
9 362 880
10 3 628 800
11 39 916 800
12 479 001 600
13 6 227 020 800
14 87 178 291 200
15 1 307 674 368 000
16 20 922 789 888 000
17 355 687 428 096 000
18 6 402 373 705 728 000
19 121 645 100 408 832 000
20 2 432 902 008 176 640 000
25 ∼1,551 121 004 · 1025
50 ~3,041 409 32 · 1064
70 ~1,197 857 167 · 10100
100 ~9,332 621 544 · 10157
450 ~1,733 368 733 · 101000
1000 ~4,023 872 601 · 102567
10 000 ~2,846 259 681 · 1035 659
100 000 ~2,824 229 408 · 10456 573
1 000 000 ~8,263 931 688 · 105 565 708
10 000 000 ~1,202 423 401 · 1065 657 059
10100 ~109,956 570 552 · 10101
Wykres logarytmu naturalnego silni ln(x!)

Silnia liczby naturalnej n – iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż Oznaczenie dla silni wprowadził w 1808 roku Christian Kramp. Zapis itd. odczytujemy „n silnia”, „dwa silnia” itd.

Silnia jest funkcją pozwalającą zapisać w skondensowany sposób wzory i zależności pojawiające się w różnych działach matematyki od analizy matematycznej (np. mianownik każdego składnika wzoru Taylora ma postać ) przez geometrię -wymiarową (np. stosunek miary -wymiarowego równoległościanu do miary sympleksu rozpiętego na wszystkich wierzchołkach równoległościanu z wyjątkiem jednego jest równy ), na kombinatoryce skończywszy (np. liczba wszystkich permutacji zbioru -elementowego jest równa ).

Liczba, która jest równa sumie silni swoich cyfr zapisu dziesiętnego, w języku angielskim nosi nazwę factorion. Istnieją tylko cztery liczby naturalne o tej własności: 1, 2, 145 i 40585[1].

Definicja formalnaEdytuj

Funkcję   definiuje się następująco:

 

Wartość 0! określa się osobno:

 

Definicja rekurencyjna silni ma postać:

 

Przykłady:

 
 
 

Wzór StirlingaEdytuj

Do obliczeń praktycznych zazwyczaj zamiast powyżej zdefiniowanej silni wykorzystuje się jej przybliżenie w postaci wzoru Stirlinga:

 

Wynika z niego także postać logarytmu silni:

 

Przydatne jest również oszacowanie:

 

Dokładniejsza od wzoru Stirlinga jest formuła:

 

gdzie:

 

Funkcja gammaEdytuj

Osobny artykuł: Funkcja Γ.

Uogólnieniem silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych jest funkcja Γ, która spełnia

 

Ponieważ   więc z powyższego wynika

 

dla wszystkich liczb naturalnych  

Funkcja   jest jedyną funkcją meromorficzną logarytmicznie wypukłą będącą uogólnieniem silni. W punktach całkowitych niedodatnich ma bieguny.

Silnia podwójna Edytuj

Silnią podwójną liczby naturalnej   określa się iloczyn liczb naturalnych z krokiem 2 do   Silnię podwójną oznacza się  

Rekurencyjna definicja silni podwójnej:

 

Przykład:

 
 

Własności podwójnej silni:

 
 
 

zależność od funkcji gamma:

  więc:
 

Silnia wielokrotnaEdytuj

Silnia podwójna jest szczególnym przypadkiem silni wielokrotnej. Podobnie można zdefiniować silnię potrójną   oraz ogólnie silnie  -tą, którą oznaczamy jako   Jej definicję rekurencyjną przedstawia wzór:

 

Rozkład silni na czynniki pierwszeEdytuj

LematEdytuj

Jeżeli liczba   rozkłada się na czynniki pierwsze:

 

to

 

tzn. liczba pierwsza   pojawia się z wykładnikiem:

 

gdzie   oznacza część całkowitą liczby  

Problem ustalenia liczby zer na końcu zapisu dziesiętnego silniEdytuj

Liczbę zer na końcu w zapisie dziesiętnym   przy czym   jest liczbą naturalną, można ustalić na podstawie wzoru

 

gdzie   musi spełniać warunek

 

Na przykład: 5³ > 26 i 26! = 403291461126605635584000000 kończy się

  zerami.

Jeżeli   nierówności są spełnione przez   w tym wypadku suma ta daje wynik 0.

PrzypisyEdytuj

  1. Factorion (ang.). mathworld.wolfram.com. [dostęp 2017-05-25].

BibliografiaEdytuj

  • Thomas Koshy, Discrete Mathematics with Applications, Elsevier Publications 2006, s. 219.

Linki zewnętrzneEdytuj