Silnia

iloczyn wszystkich dodatnich liczb naturalnych nie większych niż n oraz 1 dla liczby zero
Wybrane wartości silni
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40 320
9 362 880
10 3 628 800
11 39 916 800
12 479 001 600
13 6 227 020 800
14 87 178 291 200
15 1 307 674 368 000
16 20 922 789 888 000
17 355 687 428 096 000
18 6 402 373 705 728 000
19 121 645 100 408 832 000
20 2 432 902 008 176 640 000
25 ∼1,551 121 004 · 1025
50 ~3,041 409 32 · 1064
70 ~1,197 857 167 · 10100
100 ~9,332 621 544 · 10157
450 ~1,733 368 733 · 101000
1000 ~4,023 872 601 · 102567
10 000 ~2,846 259 681 · 1035 659
100 000 ~2,824 229 408 · 10456 573
1 000 000 ~8,263 931 688 · 105 565 708
10 000 000 ~1,202 423 401 · 1065 657 059
10100 ~109,956 570 552 · 10101

Silnia liczby naturalnej n – iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż [1]. Zapis itd. odczytujemy „n silnia”, „dwa silnia” itd.

Zastosowania edytuj

Silnia jest funkcją pozwalającą zapisać w skondensowany sposób wzory i zależności pojawiające się w różnych działach matematyki od analizy matematycznej (np. mianownik każdego składnika wzoru Taylora ma postać  ) przez geometrię  -wymiarową (np. stosunek miary  -wymiarowego równoległościanu do miary sympleksu rozpiętego na wszystkich wierzchołkach równoległościanu z wyjątkiem jednego jest równy  ), na kombinatoryce skończywszy (np. liczba wszystkich permutacji zbioru  -elementowego jest równa  ).

Definicja formalna edytuj

Silnia jest funkcją liczbową, której dziedzinąliczby naturalne z zerem, a przeciwdziedziną liczby naturalne bez zera

 

Silnia liczby naturalnej n jest to iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż n

 

Można to napisać bardziej zwięźle korzystając z notacji Pi oznaczającej iloczyn ciągu czynników

 

Wartość 0! określa się osobno[2]:

 

Definicja rekurencyjna silni ma postać:

 

Przykłady edytuj

 
 
 

Historia edytuj

Oznaczenie   dla silni wprowadził w 1808 roku Christian Kramp.

Obliczanie edytuj

Ze względu na szybki wzrost wartości silni w obliczeniach komputerowych może wystąpić przekroczenie zakresu liczb całkowitych. Dla liczb całkowitych wystąpi to już dla 13!

n = 1 n! = 1
n = 2 n! = 2
n = 3 n! = 6
n = 4 n! = 24
n = 5 n! = 120
n = 6 n! = 720
n = 7 n! = 5040
n = 8 n! = 40320
n = 9 n! = 362880
n = 10 n! = 3628800
n = 11 n! = 39916800
n = 12 n! = 479001600
n = 13 int overflow

Przybliżona wartość edytuj

Do obliczeń praktycznych zazwyczaj zamiast powyżej zdefiniowanej silni wykorzystuje się jej przybliżenie w postaci wzoru Stirlinga:

 

Wynika z niego także postać logarytmu silni:

 

Przydatne jest również oszacowanie:

 

Dokładniejsza od wzoru Stirlinga jest formuła:

 

gdzie:

 

Właściwości edytuj

Wzrost edytuj

 
Wykres logarytmu naturalnego silni ln(x!)

Wzrost funkcji silni jest szybszy niż wzrost wykładniczy, ale wolniejszy niż podwójnej funkcji wykładniczej(inne języki)[3]. Tempo wzrostu jest podobne do   ale wolniejsze o czynnik wykładniczy.

Rozkład silni na czynniki pierwsze edytuj

Lemat edytuj

Jeżeli liczba   rozkłada się na czynniki pierwsze:

 

to

 

tzn. liczba pierwsza   pojawia się z wykładnikiem:

 

gdzie   oznacza część całkowitą liczby  

Liczba zer na końcu zapisu dziesiętnego silni edytuj

Liczbę zer na końcu w zapisie dziesiętnym   przy czym   jest liczbą naturalną, można ustalić na podstawie wzoru

 

gdzie   musi spełniać warunek

 

Na przykład: 53 > 26 i 26! = 403291461126605635584000000 kończy się

  zerami.

Jeżeli   nierówności są spełnione przez   w tym wypadku suma ta daje wynik 0.

Powiązane funkcje i sekwencje edytuj

 
Wykres silni, funkcji gamma i aproksymacji Stirlinga

Factorion edytuj

Liczba, która jest równa sumie silni swoich cyfr zapisu dziesiętnego, w języku angielskim nosi nazwę factorion. Istnieją tylko cztery liczby naturalne o tej własności: 1, 2, 145 i 40585[4].

Funkcja gamma edytuj

Osobny artykuł: Funkcja Γ.

Uogólnieniem silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych jest funkcja Γ, która spełnia

 

Ponieważ   więc z powyższego wynika

 

dla wszystkich liczb naturalnych  

Funkcja   jest jedyną funkcją meromorficzną logarytmicznie wypukłą będącą uogólnieniem silni. W punktach całkowitych niedodatnich ma bieguny.

Silnia wielokrotna edytuj

Silnia podwójna jest szczególnym przypadkiem silni wielokrotnej. Podobnie można zdefiniować silnię potrójną   oraz ogólnie silnie  -tą, którą oznaczamy jako   Jej definicję rekurencyjną przedstawia wzór:

 

Silnia podwójna edytuj

Silnią podwójną liczby naturalnej   określa się iloczyn liczb naturalnych z krokiem 2 do   Silnię podwójną oznacza się  

Rekurencyjna definicja silni podwójnej:

 

Przykład:

 
 

Własności podwójnej silni:

 
 
 

zależność od funkcji gamma:

  więc:
 

Przypisy edytuj

  1. Silnia, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-21].
  2. Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 2, ISBN 978-83-940902-1-0.
  3. Peter J. Cameron: Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms. Cambridge University Press, 1994, s. 12–14. ISBN 978-0-521-45133-8. Cytat: 2.4: Orders of magnitude.
  4. Eric W. Weisstein, Factorion, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2017-05-25] (ang.).

Bibliografia edytuj

  • Thomas Koshy, Discrete Mathematics with Applications, Elsevier Publications 2006, s. 219.

Linki zewnętrzne edytuj