Sympleks (matematyka)

Przykład 3-sympleksu

Sympleks – uogólnienie odcinka, trójkąta i czworościanu na dowolne wymiary. Intuicyjnie, -wymiarowym sympleksem nazywamy -wymiarowy wielościan, który jest wypukłą otoczką swoich wierzchołków.

Definicja w przestrzeni liniowejEdytuj

Niech  

Niech   będą wektorami  -wymiarowej rzeczywistej przestrzeni liniowej i niech każde   różnych wektorów spośród nich tworzą liniowo niezależny układ.

Sympleksem  -wymiarowym   o   wierzchołkach   jest zbiór wektorów:

 

Równoważnie:

Niech  

Niech   będą wektorami  -wymiarowej rzeczywistej przestrzeni liniowej i niech wektory   tworzą liniowo niezależny układ.

Sympleksem  -wymiarowym   jest zbiór wektorów:

 

Układ   wektorów   tworzy wierzchołki sympleksu  

Definicja w przestrzeni afinicznejEdytuj

Niech  

Niech   będą punktami rzeczywistej przestrzeni afinicznej  -wymiarowej i niech każde   różnych wektorów spośród   tworzą liniowo niezależny układ.

Sympleksem  -wymiarowym   o   wierzchołkach   jest zbiór punktów:

 

Zdefiniowany zbiór   nie zależy od wyboru punktu  

Każdy punkt tak zdefiniowanego sympleksu jest średnią ważoną z wierzchołków   o wagach odpowiednio   (tzw. kombinacja wypukła).

Sympleks jest najmniejszym wypukłym zbiorem zawierającym punkty  

Równoważnie:

Niech  

Niech   będą punktami rzeczywistej przestrzeni afinicznej  -wymiarowej i niech wektory   tworzą liniowo niezależny układ.

Sympleksem  -wymiarowym   o   wierzchołkach   jest zbiór punktów:

 

Tak zdefiniowany zbiór   nie zależy od sposobu ponumerowania układu punktów  

Przestrzeń euklidesowaEdytuj

W przestrzeni euklidesowej:

i ogólnie:

  • sympleks  -wymiarowy to wielokomórka, której ścianami jest   sympleksów  -wymiarowych.

Lista sympleksówEdytuj

Poniżej znajduje się lista  -wymiarowych sympleksów (do   włącznie).

Δn Grafika
(skośny rzut ortogonalny z ang.:
skew orthogonal projection)
Nazwa
symbol Schläfliego
diagram Coxetera-Dynkina
Wierzchołków
0-wym.
Krawędzi
1-wym.
Ścian
2-wym.
Komórek
3-wym.
4-wym. 5-wym. 6-wym. 7-wym. 8-wym. 9-wym. 10-wym.
Δ0   0-sympleks (punkt) 1
Δ1   1-sympleks (odcinek)
{}
 
2 1
Δ2   2-sympleks (trójkąt)
{3}
     
3 3 1
Δ3   3-sympleks (czworościan)
{3,3}
         
4 6 4 1
Δ4   4-sympleks (pentachoron)
{3,3,3}
             
5 10 10 5 1
Δ5   5-sympleks
{3,3,3,3}
                 
6 15 20 15 6 1
Δ6   6-sympleks
{3,3,3,3,3}
                     
7 21 35 35 21 7 1
Δ7   7-sympleks
{3,3,3,3,3,3}
                         
8 28 56 70 56 28 8 1
Δ8   8-sympleks
{3,3,3,3,3,3,3}
                             
9 36 84 126 126 84 36 9 1
Δ9   9-sympleks
{3,3,3,3,3,3,3,3}
                                 
10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Δ10   10-sympleks
{3,3,3,3,3,3,3,3,3}
                                     
11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

Wielkości opisujące sympleksEdytuj

Liczba  -wymiarowych sympleksów w sympleksie  -wymiarowymEdytuj

Dana jest dwuargumentowa funkcja   określająca liczbę sympleksów  -wymiarowych w sympleksie  -wymiarowym, przy czym   Oczywiste jest wówczas, że dowolny sympleks  -wymiarowy składa się z:

  •   sympleksów zerowymiarowych, czyli wierzchołków:
 
  • dokładnie jednego sympleksu  -wymiarowego, czyli z samego siebie:
 

Aby, mając dany  -wymiarowy sympleks, utworzyć na jego podstawie sympleks  -wymiarowy, należy dodać 1 nowy wierzchołek. Wynika stąd, iż  -wymiarowy sympleks będzie miał o 1 wierzchołek więcej, niż sympleks  -wymiarowy. Nowe krawędzie (sympleksy jednowymiarowe) dodajemy, łącząc wszystkie wierzchołki pierwotnego sympleksu z nowo utworzonym wierzchołkiem. Tak więc liczba krawędzi w obecnym sympleksie zwiększy się o liczbę wierzchołków w sympleksie pierwotnym. Nowe ściany (sympleksy dwuwymiarowe) tworzymy natomiast, łącząc wszystkie wierzchołki starego sympleksu z nowym wierzchołkiem. Stąd też liczba ścian nowego sympleksu powiększy się o liczbę krawędzi w starym sympleksie itd. Uogólniając powyższe spostrzeżenie na dowolny wymiar: każdy  -wymiarowy sympleks posiada pewną liczbę sympleksów  -wymiarowych, która jest równa liczbie tych sympleksów dla  -wymiarowego sympleksu, powiększoną o liczbę sympleksów  -wymiarowych dla tegoż sympleksu. To wszystko zachodzi oczywiście dla  

 

Z powyższych rozważań utworzyć można rekurencyjny wzór na liczbę  -wymiarowych sympleksów w dowolnym sympleksie  -wymiarowym:

 

Zauważmy, że gdyby   wówczas powyższy wzór opisywałby symbol Newtona, czyli   Jednak ponieważ   jedynym racjonalnym wzorem, spełniającym wszystkie 3 powyższe warunki wzoru rekurencyjnego, jest   Dlatego też ostatecznie wzór jawny na liczbę  -wymiarowych sympleksów w dowolnym sympleksie  -wymiarowym wyraża się wzorem:

 

Środek masy sympleksuEdytuj

  • Definicja jawna

Jest to punkt będący średnią arytmetyczną odpowiednich współrzędnych wszystkich   wierzchołków  -wymiarowego sympleksu:

 
  • Definicja rekurencyjna

Dla sympleksu jednowymiarowego (odcinka) – średnia arytmetyczna odpowiednich współrzędnych obu wierzchołków.

Dla sympleksu  -wymiarowego, gdzie   – punkt przecięcia się wszystkich środkowych sympleksu, przy czym środkowa sympleksu jest to odcinek łączący dowolny wierzchołek ze środkiem masy sympleksu  -wymiarowego przeciwległego do tego wierzchołka.

Środek masy sympleksu foremnegoEdytuj

Dowolny  -wymiarowy sympleks foremny można zorientować w  -wymiarowym kartezjańskim układzie współrzędnych w taki sposób, aby wartości  -tej współrzędnej dla   wierzchołków były równe 0, zaś wartość tej współrzędnej dla  -tego wierzchołka była różna od 0. Wówczas owe n wierzchołków tworzy pewien  -wymiarowy sympleks foremny, będący podstawą naszego sympleksu  -wymiarowego, zaś wartość  -tej współrzędnej określa jego wysokość. Ponieważ wartości tej współrzędnej wszystkich wierzchołków podstawy wynosi 0, jej wartość dla ich średniej arytmetycznej również wynosi 0. Wynika stąd, iż  -ta współrzędna dla środka masy podstawy także ma wartość 0. Jedynie współrzędna ta dla  -tego wierzchołka ma wartość różną od 0. W takim razie wartość  -tej współrzędnej dla wszystkich   wierzchołków jest sumą   zer i jednej wartości różnej od zera, podzieloną przez   Tak więc wartość tejże współrzędnej dla środka masy naszego  -wymiarowego sympleksu jest ilorazem jego wysokości podzieloną przez   Ostatecznie, środek danego sympleksu n-wymiarowego   położony jest w odległości równej   jego wysokości od środka masy jego podstawy   i w odległości wynoszącej   jego wysokości od wierzchołka przeciwległego do tej podstawy  

 
 

Wysokość sympleksu foremnegoEdytuj

Biorąc pod uwagę definicję sympleksu foremnego, jego podstawy, jak również i wysokości, udowodnić można prawdziwość poniższej rekurencyjnej zależności pomiędzy wysokością n-wymiarowego sympleksu foremnego   a wysokością jego podstawy  

 

Powyższą zależność odpowiednio przekształcamy:

 

Jako warunek brzegowy tej rekurencyjnej zależności, zakładamy, że wysokość 1-wymiarowego sympleksu foremnego, czyli odcinka, jest równy długości tegoż odcinka, czyli długości krawędzi naszego sympleksu:

 

Następnie, chcąc policzyć wysokość dowolnego  -wymiarowego sympleksu foremnego, podstawiamy do powyższej rekurencyjnej zależności odpowiednio kolejne wartości dla   równego od 1 do   W wyniku tego otrzymujemy następujący iloczyn:

 

Upraszczamy możliwie najbardziej powyższe wyrażenie:

 

Ostatecznie, wysokość  -wymiarowego sympleksu foremnego o krawędzi długości   wyraża się wzorem:

 

Natomiast rekurencyjna zależność na tę wysokość:

 

Nietrudno policzyć, że wysokość sympleksu foremnego o nieskończonej liczbie wymiarów dąży do:

 

Miara główna sympleksu foremnegoEdytuj

Pod pojęciem miary głównej  -wymiarowego sympleksu foremnego rozumieć należy wielkość będącą uogólnieniem długości odcinka, pola powierzchni trójkąta równobocznego oraz objętości czworościanu foremnego, na  -ty wymiar. Dowolny  -wymiarowy sympleks foremny można podzielić na podstawę, składającą się z n wierzchołków, oraz  -tego przeciwległego do tej podstawy wierzchołka. Pomiędzy podstawą a przeciwległym do niej wierzchołkiem istnieje pewna wielkość zwana wysokością sympleksu, która jest równa odległości tego wierzchołka od  -wymiarowej hiperpłaszczyzny, w której zawarta jest podstawa. Wysokość sympleksu jest liniowo wprost proporcjonalna do odległości podstawy od przeciwległego do niej wierzchołka. Gdyby połączyć każdy wierzchołek podstawy z wierzchołkiem do niej przeciwległym, wówczas można zauważyć, że nasz  -wymiarowy sympleks jest odzwierciedleniem tejże podstawy, znajdującej się w pewnej odległości od jej przeciwległego wierzchołka, w pewnej skali. Ponieważ wszystkie odcinki, uzyskane z połączenia wierzchołków należących do podstawy z przeciwległym do niej wierzchołkiem, są liniami prostymi, skala długości krawędzi podstawy jest liniowo wprost proporcjonalna do jej odległości od jej przeciwległego wierzchołka. Natomiast stosunek skal  -wymiarowych miar głównych dwóch podstaw jest równy  -szej potędze stosunku długości odpowiednich krawędzi tych podstaw. Wynika więc stąd, iż stosunek skal  -wymiarowych miar głównych dwóch podstaw   i   jest równy  -szej potędze stosunku odpowiednich wysokości   i   łączących te podstawy z przeciwległym do nich wierzchołkiem:

 

Mnożąc obie strony powyższego równania przez   otrzymujemy:

 

Zakładamy, że pierwsza podstawa jest skalą podstawy naszego n-wymiarowego sympleksu foremnego w zależności od zmiennej z przedziału od 0 do   zaś druga podstawa jest podstawą tegoż sympleksu oraz pierwsza wysokość jest zmienną w przedziale od 0 do   zaś druga wysokość jest wysokością tego sympleksu:

 
 
 

Wówczas miara główna naszego n-wymiarowego sympleksu foremnego jest całką od 0 do   ze skali tego sympleksu w zależności od zmiennej z przedziału od 0 do  

 

Tak więc z powyższego wyrażenia wynika, iż miara główna  -wymiarowego sympleksu foremnego jest równa iloczynowi współczynnika   miary głównej podstawy tegoż sympleksu oraz jego wysokości, co ma charakter rekurencyjny:

 

Ze wzoru na wysokość sympleksu foremnego łatwo zauważyć, że wysokość 1-wymiarowego sympleksu foremnego, a więc dla   jest równa długości jego krawędzi:

 

Następnie, chcąc policzyć miarę główną naszego sympleksu, podstawiamy do powyższej rekurencyjnej zależności odpowiednio kolejne wartości dla   równego od 1 do   W wyniku tego otrzymujemy następujący iloczyn:

 

Upraszczamy możliwie najbardziej powyższe wyrażenie:

 

Ostatecznie, miara główna  -wymiarowego sympleksu foremnego o krawędzi długości   wyraża się wzorem:

 

Natomiast rekurencyjna zależność na miarę główną naszego sympleksu:

 

Nietrudno policzyć, że miara główna sympleksu foremnego o nieskończonej liczbie wymiarów dąży do:

 

Całkowita miara k-wymiarowa sympleksu foremnego n-wymiarowegoEdytuj

Pod pojęciem k-wymiarowej miary całkowitej n-wymiarowego sympleksu foremnego rozumieć należy wielkość będącą uogólnieniem obwodu (całkowitej miary 1-wymiarowej) trójkąta równobocznego (sympleksu foremnego 2-wymiarowego), czworościanu foremnego (sympleksu foremnego 3-wymiarowego) oraz jego pola powierzchni całkowitej (całkowitej miary 2-wymiarowej), odpowiednio na  -ty i  -ty wymiar. Nietrudno zauważyć, że dowolny  -wymiarowy sympleks foremny o krawędzi długości x składa się z   jednakowych  -wymiarowych sympleksów foremnych, z których długości poszczególnych krawędzi również są równe   Tak więc  -wymiarowa miara całkowita  -wymiarowego sympleksu foremnego o krawędzi długości   jest równa iloczynowi miary głównej pojedynczego k-wymiarowego sympleksu foremnego o długości krawędzi, która także wynosi   czyli   oraz liczby wszystkich takich k-wymiarowych sympleksów foremnych w danym n-wymiarowym sympleksie foremnym  

 

Nietrudno policzyć, że dowolna  -wymiarowa miara całkowita sympleksu foremnego o nieskończonej liczbie wymiarów dąży do:

 

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1976.
  • Borsuk Karol: Geometria analityczna wielowymiarowa, seria: „Biblioteka Matematyczna”, Tom 23. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1964.
  • Jerzy Mioduszewski: Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych. Katowice: Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, 1994. ISSN 0239-6432.