Otoczka wypukła

Otoczka wypukła, powłoka wypukła a. uwypuklenie podzbioru przestrzeni liniowej – najmniejszy (w sensie inkluzji) zbiór wypukły zawierający ten podzbiór. Otoczkę wypukłą podzbioru oznacza się zwykle jako

Przekrój dowolnej ilości zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym, więc najmniejszy zbiór wypukły zawierający możemy zdefiniować jako przekrój wszystkich zbiorów wypukłych zawierających Zapisujemy to za pomocą formuły:

PrzykładyEdytuj

  • Powłoką wypukłą zbioru wypukłego jest ten sam zbiór. W szczególności zbiór pusty jest wypukły, zatem jego powłoką wypukłą jest zbiór pusty.
  • Dla dowolnego skończonego zbioru punktów płaszczyzny   gdzie   powłoka wypukła tego zbioru jest wielokątem wypukłym (ewentualnie zdegenerowanym do odcinka) o wierzchołkach należących do zbioru   Analogicznie w przestrzeni 3-wymiarowej powłoka wypukła skończonego zbioru punktów jest wielościanem wypukłym (ewentualnie zdegenerowanym do wielokąta lub odcinka).
  • Powłoką wypukłą zbioru trzech punktów niewspółliniowych (takich, które nie leżą na wspólnej prostej) jest trójkąt o wierzchołkach w tych punktach.
  • Otoczką wypukłą zbioru dwupunktowego {A, B} jest odcinek AB.
  • W n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej   uwypukleniem zbioru punktów   jest zbiór punktów o współrzędnych dodatnich, których suma jest równa 1. Zbiór taki nazywamy sympleksem. W przestrzeni 2-wymiarowej jest to odcinek, 3-wymiarowej trójkąt równoboczny, 4-wymiarowej czworościan foremny.

Alternatywne przedstawienieEdytuj

Otoczkę wypukłą zbioru skończonego ( -elementowego) można scharakteryzować jako zbiór wszystkich wypukłych kombinacji liniowych elementów zbioru  

 

DowódEdytuj

Oznaczmy operację tworzenia wszystkich wypukłych kombinacji liniowych elementów zbioru   przez   Udowodnimy, że:   Zauważmy, że   (wystarczy wziąć w definicji   i  ).

Wykażemy teraz, że   jest zbiorem wypukłym: niech   Zatem dla pewnych   oraz dodatnich   mamy

    oraz  

Niech   będą takie, że   Wówczas

 

i stąd

 

Aby wykazać równość zbiorów postulowaną w   udowodnimy dwie inkluzje. Najpierw:

 

Inkluzja zachodzi ponieważ w szczególności jednym ze zbiorów M zawierających zbiór A jest   zatem cześć wspólna wszystkich zbiorów wypukłych zawierających A musi się zawierać w   Zatem  

Teraz inkluzja w drugą stronę:

Przypuśćmy, że M jest zbiorem wypukłym takim, że   Teraz z obu stron inkluzji wykonujemy operację   otrzymując:

 

Ponieważ tak jest dla każdego zbioru M więc także dla części wspólnej wszystkich zbiorów wypukłych M zawierających A zatem:

 

Stąd   a więc  

Zobacz teżEdytuj