Otoczka wypukła
Otoczka wypukła, powłoka wypukła, uwypuklenie podzbioru przestrzeni liniowej – najmniejszy (w sensie inkluzji) zbiór wypukły zawierający ten podzbiór. Otoczkę wypukłą podzbioru oznacza się zwykle jako
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/16/Envoltura_convexa_de_puntos.png/220px-Envoltura_convexa_de_puntos.png)
Przekrój dowolnej ilości zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym, więc najmniejszy zbiór wypukły zawierający możemy zdefiniować jako przekrój wszystkich zbiorów wypukłych zawierających Zapisujemy to za pomocą formuły:
Przykłady
edytuj- Powłoką wypukłą zbioru wypukłego jest ten sam zbiór. W szczególności zbiór pusty jest wypukły, zatem jego powłoką wypukłą jest zbiór pusty.
- Otoczką wypukłą zbioru dwupunktowego {A, B} jest odcinek AB.
- Powłoką wypukłą zbioru trzech punktów niewspółliniowych (takich, które nie leżą na wspólnej prostej) jest trójkąt o wierzchołkach w tych punktach.
- Dla dowolnego skończonego zbioru punktów płaszczyzny gdzie powłoka wypukła tego zbioru jest wielokątem wypukłym (ewentualnie zdegenerowanym do odcinka) o wierzchołkach należących do zbioru
Analogicznie w przestrzeni 3-wymiarowej powłoka wypukła skończonego zbioru punktów jest wielościanem wypukłym (ewentualnie zdegenerowanym do wielokąta lub odcinka). - W n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej uwypukleniem zbioru punktów jest zbiór punktów o współrzędnych dodatnich, których suma jest równa 1. Zbiór taki nazywamy sympleksem. W przestrzeni 2-wymiarowej jest to odcinek, 3-wymiarowej trójkąt równoboczny, 4-wymiarowej czworościan foremny.
Alternatywne przedstawienie
edytujOtoczkę wypukłą zbioru skończonego ( -elementowego) można scharakteryzować jako zbiór wszystkich wypukłych kombinacji liniowych elementów zbioru
Dowód
edytujOznaczmy operację tworzenia wszystkich wypukłych kombinacji liniowych elementów zbioru przez Udowodnimy, że: Zauważmy, że (wystarczy wziąć w definicji i ).
Wykażemy teraz, że jest zbiorem wypukłym: niech Zatem dla pewnych oraz dodatnich mamy
- oraz
Niech będą takie, że Wówczas
i stąd
Aby wykazać równość zbiorów postulowaną w udowodnimy dwie inkluzje. Najpierw:
Inkluzja zachodzi ponieważ w szczególności jednym ze zbiorów M zawierających zbiór A jest zatem cześć wspólna wszystkich zbiorów wypukłych zawierających A musi się zawierać w Zatem
Teraz inkluzja w drugą stronę:
Przypuśćmy, że M jest zbiorem wypukłym takim, że Teraz z obu stron inkluzji wykonujemy operację otrzymując:
Ponieważ tak jest dla każdego zbioru M więc także dla części wspólnej wszystkich zbiorów wypukłych M zawierających A zatem:
Stąd a więc