Otwórz menu główne

Kombinacja liniowa – jedno z podstawowych pojęć algebry liniowej i powiązanych z nią działów matematyki.

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią liniową nad ciałem   Niech   będzie skończonym układem wektorów przestrzeni   i niech   będzie skończonym układem skalarów ciała  

Kombinacją liniową układu wektorów   o współczynnikach   nazywa się wektor:

 [1][2][3][4].

O wektorze   mówi się również, że wyraża się liniowo przez układ  [1].

Uwaga

Określenie skończony układ wektorów można rozumieć jako skończony zbiór wektorów, jednak ze względu na iteracyjny charakter pojęcia, wygodnie jest również traktować go jako układ indeksowany wektorów   czyli po prostu jako ciąg.

Pojęcie liniowej kombinacji można uogólnić na dowolne, niekoniecznie skończone zbiory (układy) wektorów.

Niech   będzie dowolnym układem wektorów przestrzeni   i niech   będzie układem skalarów ciała   przy czym   dla skończonej ilości wskaźników  

Kombinacją liniową układu wektorów   o współczynnikach   nazywa się wektor:

 [5]

PrzykładyEdytuj

Wektory w przestrzeni euklidesowejEdytuj

Niech   będzie ciałem   liczb rzeczywistych, a przestrzeń liniowa   będzie przestrzenią euklidesową   Rozpatrzmy wektory

  oraz  

Wówczas dowolny wektor z   jest kombinacją liniową wektorów  

Aby się o tym przekonać, należy wziąć dowolny wektor   z   wtedy:

 

FunkcjeEdytuj

Niech   będzie przestrzenią rzeczywistych funkcji ciągłych o wartościach zespolonych  

Rozważmy wektory (funkcje)   określone wzorami

 

gdzie   jest podstawą logarytmu naturalnego, a   to jednostka urojona.

Niektóre z kombinacji liniowych   oraz   mają postać:

 
 

Z drugiej strony funkcja stała równa   nie jest kombinacją liniową   i  

Rzeczywiście, gdyby była, to dla pewnych skalarów zespolonych   byłoby:

 

dla wszystkich liczb rzeczywistych   Ale podstawienia   i   dają równania   oraz   co prowadzi do sprzeczności.

WielomianyEdytuj

Niech   będzie dowolnym ciałem, a   będzie zbiorem wszystkich wielomianów o współczynnikach z tego ciała. Rozważmy wektory (wielomiany):

 

Przypuśćmy, że wielomian   jest kombinacją liniową   tzn.:

 

W celu znalezienia wartości współczynników   wymnożyć wielomiany przez te współczynniki i zgrupować wg potęg  

 

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające sobie w nich współczynniki są sobie równe, a więc

 

Jedynym rozwiązaniem tego układu równań liniowych jest trójka

 

Stąd jest to jedyny możliwy sposób uzyskania kombinacji liniowej za pomocą tych współczynników.

Z kolei przypuszczenie, że wielomian   jest kombinacją liniową   prowadzi do równości:

 

W tym przypadku przyrównanie odpowiadających sobie współczynników daje fałszywą równość

 

Stąd nie można przedstawić   jako kombinacji liniowej wektorów  

Liniowa niezależnośćEdytuj

Osobny artykuł: liniowa niezależność.

Jeżeli   jest układem wektorów liniowo niezależnych i rozpina całą przestrzeń   to nazywa się go bazą tej przestrzeni.

Kombinacje afiniczne, stożkowe i wypukłeEdytuj

Można zdefiniować inne powiązane z kombinacją liniową pojęcia poprzez narzucenie ograniczeń na współczynniki kombinacji liniowej: kombinację afiniczną, kombinację stożkową, kombinację wypukłą i związane z nimi pojęcia zbiorów zamkniętych ze względu na te operacje.

Rodzaj kombinacji Ograniczenia na współczynniki Nazwa zbioru Model przestrzeni
Kombinacja liniowa brak podprzestrzeń liniowa  
Kombinacja afiniczna   podprzestrzeń afiniczna hiperpłaszczyzna afiniczna
Kombinacja stożkowa   stożek wypukły ćwiartka/oktant
Kombinacja wypukła   oraz   zbiór wypukły sympleks

Ponieważ powyższe są działaniami bardziej ograniczającymi, to dawać będą one więcej zbiorów zamkniętych ze względu na nie, stąd podzbiory afiniczne, stożki wypukłe i zbiory wypukłe są uogólnieniami podprzestrzeni liniowych: podprzestrzeń liniowa jest zarazem podprzestrzenią afiniczną, stożkiem afinicznym i zbiorem wypukłym, ale zbiór wypukły nie musi być podprzestrzenią liniową, afiniczną lub stożkiem wypukłym.

Pojęcia te pojawiają się często, jeżeli możliwe jest wybranie określonej, lecz nie dowolnej, kombinacji liniowej obiektów: przykładowo rozkłady prawdopodobieństwa są zamknięte ze względu na kombinacje wypukłe (tworzą zbiór wypukły), ale nie są ze względu na kombinacje stożkowe, czy afiniczne (czy liniowe), a miary dodatnie są zamknięte ze względu na kombinacje stożkowe, ale nie kombinacje afiniczne, czy liniowe – stąd miary ze znakiem definiuje się jako liniowe domknięcie.

Kombinacje liniowe i afiniczne mogą być zdefiniowane nad dowolnym ciałem (czy pierścieniem), ale kombinacje stożkowe i wypukłe wymagają pojęcia „dodatniości” i dlatego mogą być zdefiniowane tylko nad ciałem uporządkowanym (lub pierścieniem uporządkowanym), zwykle nad liczbami rzeczywistymi.

Jeżeli dopuści się wyłącznie mnożenie przez skalar, lecz nie dodawanie wektorów, otrzymuje się (niekoniecznie wypukły) stożek; często zawęża się definicję poprzez ograniczenie do mnożenia przez skalary dodatnie.

Wszystkie te pojęcia są zwykle definiowane jako podzbiory danej przestrzeni liniowej (z wyjątkiem przestrzeni afinicznych, które uważa się za „przestrzenie liniowe bez początku”), a nie poprzez ich niezależną aksjomatyzację.

PrzypisyEdytuj

  1. a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s. 87.
  2. Axler 2014 ↓, s. 28.
  3. Cohn 1994 ↓, s. 9.
  4. Jacek Komorowski, Od liczb zespolonych, do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978; s. 21, Definicja I.2.1.
  5. Białynicki-Birula 1976 ↓, s. 50.

BibliografiaEdytuj

  • Sheldon Axler: Linear Algebra Done Right. Heidelberg-New York-Dordrecht-London: Springer, 2014.
  • Paul Moritz Cohn: Elements of Linear Algebra. Boca Raton-London-New York-Washington D.C.: Chapman & Hall / CRC, 1994.
  • Andrzej Białynicki-Birula: Algebra liniowa z geometrią. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, seria: Biblioteka Matematyczna.