Kombinacja liniowa

Kombinacja liniowa – jedno z podstawowych pojęć algebry liniowej i powiązanych z nią działów matematyki.

Definicja

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $K.$ Niech $x_{1},\dots ,x_{n}$ będzie skończonym układem wektorów przestrzeni $V$ i niech $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$ będzie skończonym układem skalarów ciała $K.$

Kombinacją liniową układu wektorów $x_{1},\dots ,x_{n}$ o współczynnikach $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$ nazywa się wektor:

$x=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i}=\alpha _{1}x_{1}+\ldots +\alpha _{n}x_{n}$.

O wektorze $x$ mówi się również, że wyraża się liniowo przez układ $x_{1},\dots ,x_{n}$.

Uwaga

Określenie skończony układ wektorów można rozumieć jako skończony zbiór wektorów, jednak ze względu na iteracyjny charakter pojęcia, wygodnie jest również traktować go jako układ indeksowany wektorów $(x_{i})_{i=1}^{n},$ czyli po prostu jako ciąg.

Pojęcie liniowej kombinacji można uogólnić na dowolne, niekoniecznie skończone zbiory (układy) wektorów.

Niech $(x_{i})_{i\in I}$ będzie dowolnym układem wektorów przestrzeni $V$ i niech $(\alpha _{i})_{i\in I}$ będzie układem skalarów ciała $K,$ przy czym $\alpha _{i}\neq 0$ dla skończonej ilości wskaźników $i\in I.$

Kombinacją liniową układu wektorów $(x_{i})_{i\in I}$ o współczynnikach $(\alpha _{i})_{i\in I}$ nazywa się wektor:

$x=\sum _{i\in I}\alpha _{i}x_{i}$

Przykłady

Wektory w przestrzeni euklidesowej

Niech $K$ będzie ciałem $\mathbb {R}$ liczb rzeczywistych, a przestrzeń liniowa $V$ będzie przestrzenią euklidesową $\mathbb {R} ^{3}.$ Rozpatrzmy wektory

$\mathbf {e_{1}} :=(1,0,0),\;\mathbf {e_{2}} :=(0,1,0)$ oraz $\mathbf {e_{3}} :=(0,0,1).$

Wówczas dowolny wektor z $\mathbb {R} ^{3}$ jest kombinacją liniową wektorów $\mathbf {e_{1},e_{2},e_{3}} .$

Aby się o tym przekonać, należy wziąć dowolny wektor $(a_{1},a_{2},a_{3})$ z $\mathbb {R} ^{3};$ wtedy:

${\begin{aligned}(a_{1},a_{2},a_{3})&=(a_{1},0,0)+(0,a_{2},0)+(0,0,a_{3})\\&=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1)\\&=a_{1}\mathbf {e_{1}} +a_{2}\mathbf {e_{2}} +a_{3}\mathbf {e_{3}} .\end{aligned}}$

Funkcje

Niech $V$ będzie przestrzenią rzeczywistych funkcji ciągłych o wartościach zespolonych $C(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ).$

Rozważmy wektory (funkcje) $f,g$ określone wzorami

$f(t):=e^{it},\quad g(t):=e^{-it},$

gdzie $e$ jest podstawą logarytmu naturalnego, a $i$ to jednostka urojona.

Niektóre z kombinacji liniowych $f$ oraz $g$ mają postać:

$\cosh t={\tfrac {1}{2}}e^{it}+{\tfrac {1}{2}}e^{-it},$

$2\sin t=-ie^{it}+ie^{-it}.$

Z drugiej strony funkcja stała równa $3$ nie jest kombinacją liniową $f$ i $g.$

Rzeczywiście, gdyby była, to dla pewnych skalarów zespolonych $a,b$ byłoby:

$ae^{it}-be^{-it}=3$

dla wszystkich liczb rzeczywistych $t.$ Ale podstawienia $t=0$ i $t=\pi$ dają równania $a+b=3$ oraz $a+b=-3,$ co prowadzi do sprzeczności.

Wielomiany

Niech $K$ będzie dowolnym ciałem, a $V$ będzie zbiorem wszystkich wielomianów o współczynnikach z tego ciała. Rozważmy wektory (wielomiany):

$p_{1}:=1,\quad p_{2}:=x+1,\quad p_{3}:=x^{2}+x+1.$

Przypuśćmy, że wielomian $x^{2}-1$ jest kombinacją liniową $p_{1},p_{2},p_{3}$ tzn.:

$x^{2}-1=a_{1}(1)+a_{2}(x+1)+a_{3}(x^{2}+x+1)$

W celu znalezienia wartości współczynników $a_{1},a_{2},a_{3}$ wymnożyć wielomiany przez te współczynniki i zgrupować wg potęg $x{:}$

$1x^{2}+0x+(-1)=a_{3}x^{2}+(a_{2}+a_{3})x+(a_{1}+a_{2}+a_{3}).$

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające sobie w nich współczynniki są sobie równe, a więc

$a_{3}=1,\quad a_{2}+a_{3}=0,\quad a_{1}+a_{2}+a_{3}=-1.$

Jedynym rozwiązaniem tego układu równań liniowych jest trójka

$a_{1}=-1,\quad a_{2}=-1,\quad a_{3}=1.$

Stąd jest to jedyny możliwy sposób uzyskania kombinacji liniowej za pomocą tych współczynników.

Z kolei przypuszczenie, że wielomian $x^{3}-1$ jest kombinacją liniową $p_{1},p_{2},p_{3}$ prowadzi do równości:

$1x^{3}+0x^{2}+0x+(-1)=0x^{3}+a_{3}x^{2}+(a_{2}+a_{3})x+(a_{1}+a_{2}+a_{3}).$

W tym przypadku przyrównanie odpowiadających sobie współczynników daje fałszywą równość

$0=1.$

Stąd nie można przedstawić $x^{3}-1$ jako kombinacji liniowej wektorów $p_{1},p_{2},p_{3}.$

Liniowa niezależność

Jeżeli $S$ jest układem wektorów liniowo niezależnych i rozpina całą przestrzeń $V,$ to nazywa się go bazą tej przestrzeni.

Kombinacje afiniczne, stożkowe i wypukłe

Można zdefiniować inne powiązane z kombinacją liniową pojęcia poprzez narzucenie ograniczeń na współczynniki kombinacji liniowej: kombinację afiniczną, kombinację stożkową, kombinację wypukłą i związane z nimi pojęcia zbiorów zamkniętych ze względu na te operacje.

Rodzaj kombinacji	Ograniczenia na współczynniki	Nazwa zbioru	Model przestrzeni
Kombinacja liniowa	brak	podprzestrzeń liniowa	$\mathbb {R} ^{n}$
Kombinacja afiniczna	$\sum a_{i}=1$	podprzestrzeń afiniczna	hiperpłaszczyzna afiniczna
Kombinacja stożkowa	$a_{i}\geqslant 0$	stożek wypukły	ćwiartka/oktant
Kombinacja wypukła	$a_{i}\geqslant 0$ oraz $\sum a_{i}=1$	zbiór wypukły	sympleks

Ponieważ powyższe są działaniami bardziej ograniczającymi, to dawać będą one więcej zbiorów zamkniętych ze względu na nie, stąd podzbiory afiniczne, stożki wypukłe i zbiory wypukłe są uogólnieniami podprzestrzeni liniowych: podprzestrzeń liniowa jest zarazem podprzestrzenią afiniczną, stożkiem afinicznym i zbiorem wypukłym, ale zbiór wypukły nie musi być podprzestrzenią liniową, afiniczną lub stożkiem wypukłym.

Pojęcia te pojawiają się często, jeżeli możliwe jest wybranie określonej, lecz nie dowolnej, kombinacji liniowej obiektów: przykładowo rozkłady prawdopodobieństwa są zamknięte ze względu na kombinacje wypukłe (tworzą zbiór wypukły), ale nie są ze względu na kombinacje stożkowe, czy afiniczne (czy liniowe), a miary dodatnie są zamknięte ze względu na kombinacje stożkowe, ale nie kombinacje afiniczne, czy liniowe – stąd miary ze znakiem definiuje się jako liniowe domknięcie.

Kombinacje liniowe i afiniczne mogą być zdefiniowane nad dowolnym ciałem (czy pierścieniem), ale kombinacje stożkowe i wypukłe wymagają pojęcia „dodatniości” i dlatego mogą być zdefiniowane tylko nad ciałem uporządkowanym (lub pierścieniem uporządkowanym), zwykle nad liczbami rzeczywistymi.

Jeżeli dopuści się wyłącznie mnożenie przez skalar, lecz nie dodawanie wektorów, otrzymuje się (niekoniecznie wypukły) stożek; często zawęża się definicję poprzez ograniczenie do mnożenia przez skalary dodatnie.

Wszystkie te pojęcia są zwykle definiowane jako podzbiory danej przestrzeni liniowej (z wyjątkiem przestrzeni afinicznych, które uważa się za „przestrzenie liniowe bez początku”), a nie poprzez ich niezależną aksjomatyzację.

Bibliografia

• Sheldon Axler: Linear Algebra Done Right. Heidelberg-New York-Dordrecht-London: Springer, 2014.
• Paul Moritz Cohn: Elements of Linear Algebra. Boca Raton-London-New York-Washington D.C.: Chapman & Hall / CRC, 1994.
• Andrzej Białynicki-Birula: Algebra liniowa z geometrią. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, seria: Biblioteka Matematyczna.