Pierścień uporządkowany

Pierścieniem uporządkowanympierścień przemienny z określonym porządkiem liniowym spełniającym dla dowolnych warunki

Niezerowy element nazywany jest dodatnim (odpowiednio, ujemnym), gdy Wartością bezwzględną elementu nazywany jest element

gdzie oznacza element odwrotny do elementu względem dodawania.

Przykłady edytuj

Pierścieniami uporządkowanymi są: pierścień liczb całkowitych ze zwykłym porządkiem, pierścień liczb wymiernych i pierścień liczb rzeczywistych ze zwykłymi porządkami (dwa ostatnie przykłady są nawet ciałami uporządkowanymi).

Pierścienia uporządkowanego nie tworzą natomiast liczby zespolone.

Własności edytuj

W poniższych twierdzeniach przyjmujemy, że   jest pierścieniem uporządkowanym.

  • Dla dowolnych   zachodzi:
 
  • Dla dowolnych   spełniony jest warunek
 
  • Nietrywialny pierścień uporządkowany (czyli taki, który ma więcej niż jeden element) ma nieskończenie wiele elementów.
  • Jeśli   to albo   albo   albo   (gdzie przez   rozumie się relację   i  ).
  • Pierścień uporządkowany   nie posiada dzielników zera wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych elementów dodatnich   dodatni jest również ich iloczyn  
  • W pierścieniu uporządkowanym żaden element ujemny nie jest kwadratem innego elementu.

Zobacz też edytuj