Liniowo niezależny układ wektorów

Liniowo niezależny układ wektorówukład wektorów przestrzeni wektorowej rozpiętej nad ciałem dla którego każda zerująca się[a] kombinacja jest trywialna[1], tzn. dla każdego układu skalarów prawdziwa jest implikacja[1]:

Przykład edytuj

Układ wektorów   przestrzeni   gdzie:

 
 
 

jest liniowo niezależny, ponieważ[2]:

 

Własności edytuj

  • Każdy niepusty podukład układu liniowo niezależnego jest liniowo niezależny[3].
    • W szczególności: do żadnego układu liniowo niezależnego nie należy wektor zerowy[4].
  • Układ wektorów jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy żaden z wektorów tego układu nie jest kombinacją liniową pozostałych wektorów tego układu[5].
  • Układ jednoelementowy   jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy  [6].
  • Dwa układy równoważne, liniowo niezależne, są równoliczne[7].
  • Niech będą dane równoliczne układy wektorów:   tej samej przestrzeni   przy czym układ   jest liniowo niezależny oraz wyraża się liniowo przez układ   Wtedy te układy są układami równoważnymi[8].

Uwagi edytuj

  1. Czyli równa   Symbolem tym oznaczamy wektor zerowy przestrzeni  

Przypisy edytuj

  1. a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 90, Definicja 6.6.
  2. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 90.
  3. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 91, Twierdzenie 6.11.
  4. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 92, Wniosek 6.4.
  5. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 91, Twierdzenie 6.9.
  6. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 91, Twierdzenie 6.10.
  7. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 93, Wniosek 6.6.
  8. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 93, Wniosek 6.5.