Retrakcja (topologia)

Retrakcja – przekształcenie ciągłe przestrzeni topologicznej X w zbiór A będący podzbiorem X, tak aby wszystkie punkty ze zbioru A pozostały na swoim miejscu^[1].

Definicje

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną oraz $A\subseteq X.$ Funkcja ciągła

r\colon X\to A

nazywana jest retrakcją, jeżeli

r|_{A}=\operatorname {id} _{A},

tzn. zachodzi równość $r(a)=a$ dla wszystkich elementów $a$ przestrzeni $A.$

Retrakcje odpowiadają w sposób wzajemnie jednoznaczny ciągłym odwzorowaniom idempotentnym

i\colon X\to X,

tj. takim funkcjom $i,$ że $i\circ i=i.$ Idempotentem odpowiadającym retrakcji

r\colon X\to A

jest odwzorowanie $i_{A}\circ r,$ gdzie $i_{A}\colon A\hookrightarrow X$ jest zanurzeniem kanonicznym: $i_{A}(a)=a$ dla każdego elementu $a$ przestrzeni $A.$

Retraktem przestrzeni topologicznej $X$ nazywany jest każdy taki zbiór $B\subseteq X,$ dla którego istnieje retrakcja $r\colon X\to B.$ Przestrzenie homeomorficzne z retraktem $B$ nazywane są r-obrazami przestrzeni $X.$ Pojęcie retraktu i r-obrazu wprowadzone zostało przez Karola Borsuka.

Retraktem absolutnym (AR) nazywa się taką przestrzeń topologiczną $X,$ która włożona jako podzbiór domknięty w dowolną przestrzeń normalną $Y$ jest retraktem $Y.$

Własności

Retrakcje przestrzeni topologicznych są przekształceniami ilorazowymi^[2]^[3].

Dowód. Niech $r\colon X\to A$ będzie retrakcją przestrzeni $X$ na swoją podprzestrzeń $A.$ Należy dowieść, że dla dowolnej funkcji $f\colon A\to Y$ o wartościach w każdej takiej przestrzeni topologicznej $Y,$ że złożenie $f\circ r\colon X\to Y$ jest ciągłe, również samo $f$ jest ciągłe. Wynika to natychmiast z równości:

f=f\circ r\circ i_{A},

gdzie $i_{A}\colon A\to X$ jest identycznościowym włożeniem $A$ w przestrzeń $X.$

Podprzestrzeń $M$ przestrzeni topologicznej $X$ jest jej retraktem wtedy i tylko wtedy, gdy każde przekształcenie ciągłe określone na $M$ może być przedłużone na $X.$

Każdy retrakt przestrzeni Hausdorffa jest domknięty.

Dowód. Niech $r\colon X\to A$ będzie retrakcją przestrzeni Hausdorffa $X$ na swoją podprzestrzeń $A.$ Przekątna:

\triangle _{X}:=\{(x,y)\in X^{2}:x=y\}

jest podzbiorem domkniętym w produkcie $X^{2}$ (tw. Bourbakiego). Zatem

A=(r\triangle Id_{X})^{-1}(\triangle _{X})

jest domknięte w $X,$ jako przeciwobraz zbioru domkniętego przy odwzorowaniu ciągłym $r\triangle Id_{X}\colon X\to X^{2},$ przy czym $Id_{X}\colon X\to X$ oznacza przekształcenie identycznościowe.

Każda podprzestrzeń 1-punktowa jest retraktem. Każda przestrzeń topologiczna, która nie ma własności T₁, ma podprzestrzeń, która jest retraktem, ale która nie jest domknięta w całej przestrzeni. Tak więc niedomknięte retrakty istnieją już w pewnych przestrzeniach 2-punktowych.

Niech $G$ będzie niepustym podzbiorem otwartym w $n$ -wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Jeżeli $Y$ jest taką podprzestrzenią zwartą w przestrzeni $\mathbb {R} ^{n},$ że $G\subseteq Y,$ to zbiór $X:=Y\setminus G$ nie jest retraktem przestrzeni $Y.$ Twierdzenie to zostało udowodnione przez Karola Borsuka.

Dowód. Niech $p\in G.$ Niech $B$ będzie kulą domkniętą, o środku w punkcie $p,$ zawierającą $Y$ w swoim wnętrzu. Gdyby twierdzenie nie zachodziło, to istniałaby retrakcja przestrzeni $Y$ na $X.$ Jest ona zgodna z identycznością na zbiorze domkniętym $B\backslash G,$ więc razem tworzą retrakcję $Y\cup (B\backslash G)=B$ na $B\backslash G.$ Oznaczmy tę retrakcję przez r. Wtedy, oznaczając przez s promień kuli, oraz przez S sferę brzegową kuli B, zdefiniujmy $\rho :B\backslash G\to S{:}$

\rho (x):=p+s\cdot {\frac {x-p}{|x-p|}}

Zatem $\rho \circ r:B\to S$ byłoby retrakcją kuli domkniętej na jej sferę brzegową, co jest niemożliwe. Koniec dowodu.

Twierdzenie (K.Borsuk) Niech $X$ będzie podprzestrzenią zwartą w $R^{n};n$ – liczba naturalna. Niech $U$ będzie otoczeniem otwartym $X$ w $R^{n},$ przy czym $X$ jest retraktem $U.$ Wtedy $R^{n}\backslash X$ ma tylko skończoną liczbę składowych spójności.

Dowód. Niech $B$ będzie zwartym podzbiorem w $R^{n},$ zawierającym $X$ w swoim wnętrzu ( $B$ może być kulą domkniętą o dostatecznie wielkim promieniu). Niech $W=U\cap Int(B).$ Zatem $X$ jest retraktem zbioru otwartego $W.$

Niech $S$ będzie jedną ze składowych spójności zbioru $R^{n}\backslash X.$ Wtedy $S$ jest zbiorem otwartym (zawiera kulę otwartą wokół każdego swojego punktu) oraz $X\cup S$ jest zbiorem domkniętym, jako dopełnienie unii wszystkich pozostałych składowych spójności zbioru $R^{n}\backslash X.$ Gdyby $Y:=S\subseteq W,$ to $X\cup S$ byłoby zwarte, i miałoby $X$ za swój retrakt, w sprzeczności z wcześniejszym twierdzeniem Borsuka, powyżej. Zatem rodzina:

\{S\backslash W:S

– składowa w

R^{n}\backslash X\}

jest pokryciem otwartym przestrzeni zwartej $B\backslash W$ niepustymi zbiorami parami rozłącznymi $S\backslash W.$ Możemy z niego wybrać podpokrycie skończone. Ale jedynym podpokryciem pokrycia, złożonego z niepustych zbiorów parami rozłącznych, jest całe pokrycie. Zatem jest ono skończone – innymi słowy, zachodzi teza. Koniec dowodu.

Każdy niepusty, domknięty podzbiór zbioru Cantora jest jego retraktem.
Każdy niepusty, domknięty podzbiór kostki Cantora $D^{\mathfrak {m}},$ będący zbiorem typu G_δ, jest jej retraktem.
Retrakt przestrzeni mającej własność punktu stałego ma własność punktu stałego.

Przykłady

$I=[0;1]$ jest retraktem zbioru liczb rzeczywistych $\mathbb {R}$ z topologią naturalną. Retrakcją jest na przykład: $r:\mathbb {R} \to I,$ określona:

r(x)={\begin{cases}0&x<0\\x&x\in I\\1&x>1\end{cases}}.

Sfera jednowymiarowa $S^{1}$ (jednostkowy okrąg) nie jest retraktem przestrzeni $\mathbb {R} ^{2}$ (płaszczyzny). Jest natomiast retraktem przestrzeni $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ (płaszczyzny bez jednego punktu). Retrakcją jest na przykład $r:\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\to S^{1},$ określona: $r(x)={\frac {x}{|x|}}.$