Przestrzeń T1

Przestrzeń – termin topologiczny odnoszący się do jednego ze słabszych aksjomatów oddzielania. Dawniej przestrzenie spełniające ten warunek były nazywane też przestrzeniami Frécheta, ale wydaje się, że dzisiaj ta druga nazwa jest używana głównie w innym znaczeniu.

DefinicjaEdytuj

Mówimy, że przestrzeń topologiczna   jest   jeśli dla dowolnych dwóch różnych punktów   przestrzeni   istnieje taki zbiór otwarty   że   ale  

Równoważne sformułowanie powyższej definicji jest takie, że przestrzeń   jest przestrzenią   wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jednopunktowy podzbiór   jest domknięty.

Przykłady i własnościEdytuj

  • Większość naturalnych przykładów przestrzeni topologicznych jest   zwykle przestrzenie nie będące   uważa się za „bardzo patologiczne”. W szczególności przykładami takich przestrzeni są: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne. Każda przestrzeń dyskretna jest   w szczególności każda skończona przestrzeń   jest dyskretna.
  • Każda przestrzeń T2 jest przestrzenią  
  • Istnieją przestrzenie   które nie są   Zbiór liczb rzeczywistych z topologią dopełnień skończonych (w której zbiorami otwartymi są tylko zbiór pusty   i zbiory, których dopełnienie jest skończone, np.    ) jest przestrzenią T1, ale nie T2; podobnie jest z analogicznie definiowaną topologią Zariskiego, czyli topologią dopełnień co najwyżej przeliczalnych.
  • Każda przestrzeń   jest przestrzenią T0, lecz istnieją przestrzenie   które nie są   Na przykład zbiór   wyposażony w topologię   (przestrzeń 2-punktowa Aleksandrowa) jest przestrzenią   ale nie  
  • Podzbiór przestrzeni   traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią   Własność być przestrzenią   jest więc własnością dziedziczną.
  • Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni   jest przestrzenią  

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj