Otwórz menu główne

Przestrzeń metryczna

Definicja metrykiEdytuj

Niech   oznacza dowolny niepusty zbiór. Metryką w zbiorze   nazywa się funkcję[2]

 

która dla dowolnych elementów   tego zbioru spełnia warunki:

  1. identyczność nierozróżnialnych
     
  2. symetria
     
  3. nierówność trójkąta
     

Gdy   jest metryką w zbiorze   to parę   nazywa się przestrzenią metryczną,

  • elementy zbioru   nazywa się punktami,
  • liczbę   nazywa się odległością punktu   od punktu  

Uwaga 1.Edytuj

Niekiedy pomija się warunek nieujemności   przyjmując   zamiast  

Wynika on bowiem z wypisanych wyżej aksjomatów:

 

Uwaga 2.Edytuj

Można wyeliminować aksjomat symetrii, gdy zastąpi się warunek trójkąta warunkiem:

 

Dowód:

1) Przyjmując w powyższym warunku   dostaniemy:

 

2) Zamieniając w powyższym warunku   i   oraz przyjmując   dostaniemy:

 

3) Z powyższych dwóch nierówności wynika:   c.n.d.

Metryki w przestrzeni liniowejEdytuj

W przestrzeni liniowej (np. euklidesowej, unormowanej, unitarnej) można wprowadzić różnie zdefiniowane metryki. W wyniku tego przestrzeń nabywa dodatkowej struktury – powstaje przestrzeń metryczna. W poniższych przykładach   oraz   oznaczają elementy przestrzeni  

Metryka euklidesowaEdytuj

Metrykę euklidesową w przestrzeni   definiuje się wzorem

 

tzn. jako pierwiastek euklidesowego iloczynu skalarnego różnicy dwóch wektorów przez siebie:

 

W przypadku jednowymiarowym powyższy wzór redukuje się do wartości bezwzględnej różnic współrzędnych punktów   oraz  

 

Metryka generowana przez normęEdytuj

Jeżeli   jest przestrzenią unormowaną, to jako odległość (metrykę) punktów   można przyjąć długość (normę) wektora, będącego różnicą wektorów   tj.

  dla  

Metryka ta jest uogólnieniem metryki euklidesowej. Np. metrykami są funkcje postaci

 

gdzie   Metryka   jest metryką euklidesową i oznacza się ją symbolem  

Metrykę, którą definiuje się w oparciu o normę przestrzeni, nazywa się metryką generowaną przez normę.

Metryka maksimumEdytuj

abcdefgh
88
77
66
55
44
33
22
11
abcdefgh

Metryka maksimum zwana także metryką nieskończoność, maksimum, Czebyszewa, szachową jest określona w przestrzeni   za pomocą wzoru

 

– odległość ta jest de facto metryką generowaną przez normę maksimum zadaną wzorem

 

Kula w tej metryce jest kostką n-wymiarową.

Łatwo sprawdzić, że w grze w szachy minimalna liczba ruchów, jakie musi wykonać król, aby przejść z pewnego pola na inne określona jest tą metryką (na rysunku obok pokazano możliwe ruchy króla z danego pola).

Metryka węzła kolejowegoEdytuj

Zobacz też: jeż (topologia).

Metryka węzła kolejowego zwana także metryką centrum, kolejową, metra paryskiego może być zdefiniowana na płaszczyźnie.

Niech   będzie pewnym ustalonym punktem na płaszczyźnie. Odległość dwóch punktów   w tej metryce wyznacza się następująco:

Jeżeli punkty leżą na prostej przechodzącej przez punkt   to
 
w przeciwnym wypadku
 

Metrykę tę można uogólnić na przestrzeń   w której ustalono pewien jej punkt  

Metrykę powyższą można też zastosować do labiryntu, w którym wszystkie korytarze są prostymi rozchodzącymi się gwiaździście od jednego punktu   Przejście z jednego korytarza do drugiego wymaga dotarcia do skrzyżowania (centrum), aby możliwe było skręcenie w docelowy korytarz. Długość pokonanej trasy odpowiada odległości wyliczonej w tej metryce.

Metryka rzekaEdytuj

 
Odległość w metryce rzeka.

Niech   będzie ustaloną prostą na płaszczyźnie. Odległość   punktów   w metryce rzece wyznacza się następująco:

Jeżeli punkty leżą na prostej prostopadłej do prostej   to
 
w przeciwnym wypadku
 
gdzie   są rzutami prostopadłymi punktów odpowiednio   na prostą  

Metrykę tę można uogólnić na przestrzeń   w której ustalono pewną jej prostą  

Metrykę tą można zastosować np. do mierzenia trasy pokonanej drogą wodną w sieci złożonej z rzeki i licznych, prostopadłych jej dopływów (por. rysunek).

Uogólniona metryka rzekaEdytuj

Dalsze uogólnienie tej i poprzedniej metryki w   można uzyskać przyjmując zamiast punktu i prostej rozmaitość liniową   wymiaru a spełniającego   Niech ponadto   przy czym  

Jeżeli punkty   leżą na pewnej rozmaitości wymiaru   prostopadłej do rozmaitości   to
 
w przeciwnym wypadku
 
gdzie   są rzutami prostopadłymi punktów odpowiednio   na prostą  

Dla a=1, b=1 jest to metryka rzeka, dla a=0, b=1 jest to metryka węzła kolejowego

Metryka dyskretnaEdytuj

Metrykę dyskretną zwaną także metryką zero-jedynkową wprowadzić można w dowolnym niepustym zbiorze. Odległość   punktów   oraz   zbioru   określa wzór[3]

 

Parę   z metryką   nazywa się przestrzenią metryczną dyskretną.

Porównanie metryk przytoczonych w przykładachEdytuj

Dla   metryki euklidesowa, Manhattan, szachowa pokrywają się. Jeżeli   to metryki szachowa i Manhattan nie pokrywają się, ale czynią z płaszczyzny przestrzenie izometryczne (tzn. izomorficzne metrycznie, czyli nierozróżnialne metrycznie), gdyż w obu przypadkach kulami są kwadraty z przestrzeni euklidesowej, ale o różnym położeniu (odpowiednio o bokach równoległych do osi oraz obróconych względem osi o 45°).

Metryka w przestrzeniach pseudoriemannowskichEdytuj

Powierzchnia sfery, elipsoidy obrotowej, hiperboloidy obrotowej, czy też 4-wymiarowa czasoprzestrzeń opisywana w ogólnej teorii względności są przykładami przestrzeni nieeuklidesowych, które określa się jako rozmaitości riemannowskie i najogólniejsze – rozmaitości pseudoriemannowskie.

Nie da się w ogólnym przypadku wprowadzić tu metryki opisanej prostym wzorem, tak jak w przestrzeniach liniowych, np. w przestrzeni euklidesowej. Podstawową rolę gra tu tensor metryczny.

Niech   będzie rozmaitością wymiaru   i niech dany będzie układ współrzędnych krzywoliniowych, tak że każdy punkt rozmaitości ma określone współrzędne krzywoliniowe  

Odległość infinitezymalnaEdytuj

Tensor metryczny definiuje infinitezymalne odległości między punktami: długość wektora   łączącego punkt   z infinitezymalnie odległym punktem   zadana jest wzorem

 

gdzie:

 

– współrzędne tensora metrycznego (będące funkcjami położenia  )

Odległość dowolnych punktówEdytuj

Dla punktów   rozmaitości   dowolnie odległych metrykę definiuje się jako kres dolny zbioru, zawierającego długości krzywych   ciągłych i różniczkowalnych, łączących punkty   czyli

 

gdzie:

  •   = infimum = kres dolny zbioru
  •   – długość krzywej  

przy czym krzywa   dana jest przez   równań parametrycznych

   

oraz

 

Dla przestrzeni riemannowskich odległość punktów jest wyznaczona przez łuk krzywej geodezyjnej. Dla sfery będzie to łuk koła wielkiego, na którym leżą dwa punkty. A np. dla czasoprzestrzeni, która jest 4-wymiarową przestrzenią pseudoriemannowską, odległość może być zerowa, jeśli łączy dwa punkty – tzw. zdarzenia czasoprzestrzenne – które są związane z rozchodzeniem się sygnału świetlnego.

Topologia przestrzeni metrycznejEdytuj

Przestrzeń metryczną   łatwo jest przekształcić w przestrzeń topologiczną, definiując następująco topologię:

a) bazę topologii stanowi rodzina wszystkich kul otwartych, tj. zbiorów postaci

 

gdzie   – dowolny elementem przestrzeni     – promień kuli  

b) podzbiór   przestrzeni   należy do topologii (czyli jest zbiorem otwartym), jeżeli jest sumą kul otwartych.

Taką topologię nazywa się topologią generowaną na zbiorze   przez metrykę  

Metryzowalna przestrzeń topologicznaEdytuj

Osobny artykuł: Przestrzeń metryzowalna.

Przestrzeń topologiczną   nazywamy przestrzenią metryzowalną, jeśli da się w niej wprowadzić topologię generowaną przez jakąś metrykę. Przykładami twierdzeń dotyczących metryzacji przestrzeni topologicznych są:

Z punktu widzenia topologii metryki służą badaniu przestrzeni metryzowalnych (analogicznie jak układy współrzędnych służą badaniu przestrzeni euklidesowych).

Własności przestrzeni metrycznychEdytuj

Definicja odległości punktu od zbioruEdytuj

Osobny artykuł: metryka Hausdorffa.

Odległością (odstępem) punktu   od zbioru   nazywa się funkcję

 

Równoważność metrykEdytuj

DefinicjaEdytuj

Niech   będą przestrzeniami metrycznymi.

Df. 1 Metryki   nazywa się równoważnymi topologicznie, jeżeli granice dowolnych ciągów obliczone z użyciem tych metryk są identyczne[4].

Df. 2 Metryki   nazywa się równoważnymi lipschitzowsko, jeżeli istnieją stałe   takie że dla każdego   spełniony jest warunek

 

Twierdzenia o metrykach równoważnychEdytuj

Tw. 1 Metryki równoważne lipschitzowsko są równoważne topologicznie: jeśli pewien ciąg elementów zbioru   jest zbieżny w sensie metryki   to jest także zbieżny w sensie metryki  

Tw. 2 W rzeczywistej przestrzeni liniowej skończonego wymiaru wszystkie metryki indukowane przez normy Banacha są równoważne lipschitzowsko, a więc i topologicznie.

Tw. 3 Gdy dwie normy Banacha zdefiniowane na tej samej przestrzeni liniowej są topologicznie równoważne, to są one także równoważne lipschitzowsko.

Metryka niezmiennicza na przesunięciaEdytuj

Metrykę   nazywa się niezmienniczą ze względu na przesunięcia, jeśli na przestrzeni metrycznej   określone jest działanie dodawania   i dla dowolnych punktów   zachodzi warunek

 

UogólnieniaEdytuj

Rozpatruje się wiele funkcji spełniających podobne układy aksjomatów:

  • zastępując aksjomat identyczności nierozróżnialnych następującym
 
uzyskuje się tzw. pseudometrykę.
  • rezygnując z aksjomatu symetrii uzyskuje się quasi-metryką
  • zastępując warunek trójkąta aksjomatem
  uzyskuje się funkcję nazywaną ultrametryką.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22 (1906) 1–74.
  2. Kołodziej Witold: Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 2009, s. 31.
  3. Kołodziej Witold: Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 2009, s. 31.
  4. Kołodziej Witold: Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 2009, s. 33.

BibliografiaEdytuj