Przestrzeń pseudometryczna

Spis treści

Przestrzeń pseudometryczna – zbiór z wprowadzonym rozszerzeniem pojęcia metryki, od której odróżnia ją aksjomat identyczności nierozróżnialnych: pseudometryka dopuszcza przypadek, gdy nieidentyczne elementy zbioru są oddalone o zerową „odległość”.

Przestrzenie pseudometryczne znajdują zastosowanie w analizie funkcjonalnej. Są one szczególnym przypadkiem przestrzeni hemimetrycznych.

Pseudometrykę wprowadzają też szczególna i ogólna teoria względności Einsteina.

Definicja

Niech $X$ będzie dowolnym niepustym zbiorem z określoną na nim funkcją dwuargumentową $d\colon X\times X\to \mathbb {R} ,$ zwaną pseudometryką, spełniającą dla każdego $x,y,z\in X$ warunki:

• $d(x,x)=0,$
• $d(x,y)=d(y,x),$
• $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z).$

Para uporządkowana $(X,d)$ nazywana jest przestrzenią pseudometryczną.

Pseudometryka w przestrzeni funkcyjnej

W przestrzeni $X_{x_{0}}^{\mathbb {R} }$ funkcji $f,g\colon X\to \mathbb {R}$ z wyróżnionym punktem $x_{0}\in X$ można zdefiniować pseudometrykę wzorem:

$d(f,g)=|f(x_{0})-g(x_{0})|.$

Np. niech $X=\mathbb {R} ,x_{0}=0$

oraz

$f\colon f(x)=\sin(x),$ $g\colon g(x)=x,$

wtedy

$f(0)=\sin(0)=0,$ $g(0)=0$

oraz

$d(f,g)=0$

– funkcje są w zerowej od siebie odległości, mino że funkcje $\sin x$ oraz $x$ są różne.

Pseudometryka w teorii względności

Pseudometrykę wprowadza szczególna i ogólna teoria względności Einsteina. Jest tak dlatego, że wielkością niezmienniczą grupy izometrii w czasoprzestrzeni (do których należą obroty i translacje przestrzenne oraz transformacje Lorentza – te ostatnie wymusza postulat o stałości prędkości światła względem dowolnego układu odniesienia) nie jest odległość punktów w przestrzeni, ale tzw. interwał czasoprzestrzenny.

Interwał czasoprzestrzenny może przyjmować wartości zarówno dodatnie, zerowe, jak i ujemne. Np. interwał dla światła jest zawsze równy zeru, mimo że punkty przez które przechodzi światło są dowolnie odległe w przestrzeni. Dla zdarzeń nie powiązanych związkami przyczynowymi interwał zaś jest mniejszy od zera.

Ze względu na fakt, że niezmiennikiem geometrycznym izometrii w czasoprzestrzeni jest interwał czasoprzestrzenny, czasoprzestrzeń jest w ogólności 4-wymiarową przestrzenią pseudoriemannowską (w szczególnym przypadku – przestrzenią pseudoeuklidesową).

Własności

W przestrzeniach liniowych pseudometryka generowana jest przez półnormę.

Topologia indukowana przez pseudometrykę generowana jest przez kule otwarte

$B_{r}(p)=\{x\in X\colon d(p,x)<r\},$

które stanowią jej bazę. Mówimy, że przestrzeń topologiczna jest pseudometryzowalna, jeśli istnieje taka pseudometryka, że indukowana przez nią topologia pokrywa się z daną.

Zobacz też

• przestrzeń metryczna
• przestrzeń pseudounormowana
• przestrzeń unormowana

Przestrzeń z pseudometryką

• rozmaitość pseudoriemannowska