Otwórz menu główne

Spis treści

Przestrzeń pseudometrycznazbiór z wprowadzonym rozszerzeniem pojęcia metryki, od której odróżnia ją aksjomat identyczności nierozróżnialnych: pseudometryka dopuszcza przypadek, gdy nieidentyczne elementy zbioru są oddalone o zerową „odległość”.

Przestrzenie pseudometryczne znajdują zastosowanie w analizie funkcjonalnej. Są one szczególnym przypadkiem przestrzeni hemimetrycznych.

Pseudometrykę wprowadzają też szczególna i ogólna teoria względności Einsteina.

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie dowolnym niepustym zbiorem z określoną na nim funkcją dwuargumentową   zwaną pseudometryką, spełniającą dla każdego   warunki:

  •  
  •  
  •  

Para uporządkowana   nazywana jest przestrzenią pseudometryczną.

Pseudometryka w przestrzeni funkcyjnejEdytuj

W przestrzeni   funkcji   z wyróżnionym punktem   można zdefiniować pseudometrykę wzorem:

 

Np. niech  

oraz

   

wtedy

   

oraz

 

– funkcje są w zerowej od siebie odległości, mino że funkcje   oraz   są różne.

Pseudometryka w teorii względnościEdytuj

Pseudometrykę wprowadza szczególna i ogólna teoria względności Einsteina. Jest tak dlatego, że wielkością niezmienniczą grupy izometrii w czasoprzestrzeni (do których należą obroty i translacje przestrzenne oraz transformacje Lorentza – te ostatnie wymusza postulat o stałości prędkości światła względem dowolnego układu odniesienia) nie jest odległość punktów w przestrzeni, ale tzw. interwał czasoprzestrzenny.

Interwał czasoprzestrzenny może przyjmować wartości zarówno dodatnie, zerowe, jak i ujemne. Np. interwał dla światła jest zawsze równy zeru, mimo że punkty przez które przechodzi światło są dowolnie odległe w przestrzeni. Dla zdarzeń nie powiązanych związkami przyczynowymi interwał zaś jest mniejszy od zera.

Ze względu na fakt, że niezmiennikiem geometrycznym izometrii w czasoprzestrzeni jest interwał czasoprzestrzenny, czasoprzestrzeń jest w ogólności 4-wymiarową przestrzenią pseudoriemannowską (w szczególnym przypadku – przestrzenią pseudoeuklidesową).

WłasnościEdytuj

W przestrzeniach liniowych pseudometryka generowana jest przez półnormę.

Topologia indukowana przez pseudometrykę generowana jest przez kule otwarte

 

które stanowią jej bazę. Mówimy, że przestrzeń topologiczna jest pseudometryzowalna, jeśli istnieje taka pseudometryka, że indukowana przez nią topologia pokrywa się z daną.

Zobacz teżEdytuj