Przestrzeń pseudometryczna

Przestrzeń pseudometryczna – zbiór, w którym wprowadzono uogólnioną funkcję odległości (pseudometrykę), od przestrzeni metrycznej odróżnia ją to, że odległość między różnymi punktami może być równa zero.

Przestrzenie pseudometryczne znajdują zastosowanie w analizie funkcjonalnej. Są one szczególnym przypadkiem przestrzeni hemimetrycznych.

Definicja

Niech $X$ będzie dowolnym niepustym zbiorem z określoną na nim funkcją dwuargumentową $d\colon X\times X\to \mathbb {R} ,$ zwaną pseudometryką, spełniającą dla każdego $x,y,z\in X$ warunki:

1. zerowa odległość

   $d(x,x)=0$

2. symetria

   $d(a,b)=d(b,a)$

3. nierówność trójkąta

   $d(a,b)\leqslant d(a,c)+d(c,b)$

Wówczas para uporządkowana $(X,d)$ nazywana jest przestrzenią pseudometryczną.

Uwagi:

(1) Z definicji wynika, że dla różnych punktów przestrzeni $x\neq y$ odległość $d(x,y)$ może być równa zero, co różni pseudometrykę od metryki, w której odległość między dwoma różnymi punktami zawsze jest dodatnia.

(2) Definicja metryki różni się pierwszym aksjomatem, pozostałe dwa są identyczne. Zamiast warunku $d(x,x)=0$ przyjmuje się aksjomat identyczności nierozróżnialnych $d(a,b)=0\iff a=b,$ z którego wynika dodatnia odległość między każdymi dwoma różnymi punktami.

Pseudometryka w przestrzeni funkcyjnej

W przestrzeni $X_{x_{0}}^{\mathbb {R} }$ funkcji $f,g\colon X\to \mathbb {R}$ z wyróżnionym punktem $x_{0}\in X$ można zdefiniować pseudometrykę wzorem:

$d(f,g)=|f(x_{0})-g(x_{0})|.$

Np. niech $X=\mathbb {R} ,x_{0}=0$

oraz

$f\colon f(x)=\sin(x),$ $g\colon g(x)=x,$

wtedy

$f(0)=\sin(0)=0,$ $g(0)=0$

oraz

$d(f,g)=0$

– funkcje są w zerowej od siebie odległości, mino że funkcje $\sin x$ oraz $x$ są różne.

Własności

W przestrzeniach liniowych pseudometryka generowana jest przez półnormę.

Topologia indukowana przez pseudometrykę generowana jest przez kule otwarte

$B_{r}(p)=\{x\in X\colon d(p,x)<r\},$

które stanowią jej bazę. Mówimy, że przestrzeń topologiczna jest pseudometryzowalna, jeśli istnieje taka pseudometryka, że indukowana przez nią topologia pokrywa się z daną.

Zobacz też

• przestrzeń metryczna
• przestrzeń pseudounormowana
• przestrzeń unormowana

Przestrzeń z pseudometryką

• rozmaitość pseudoriemannowska

Linki zewnętrzne

• Pseudo-metric (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].