Przestrzeń pseudometryczna

uogólnienie przestrzeni metrycznej dopuszczające zerową odległość różnych elementów

Przestrzeń pseudometrycznazbiór, w którym wprowadzono uogólnioną funkcję odległości (pseudometrykę), od przestrzeni metrycznej odróżnia ją to, że odległość między różnymi punktami może być równa zero.

Przestrzenie pseudometryczne znajdują zastosowanie w analizie funkcjonalnej. Są one szczególnym przypadkiem przestrzeni hemimetrycznych.

Definicja

edytuj

Niech   będzie dowolnym niepustym zbiorem z określoną na nim funkcją dwuargumentową   zwaną pseudometryką, spełniającą dla każdego   warunki:

  1. zerowa odległość
     
  2. symetria
     
  3. nierówność trójkąta
     

Wówczas para uporządkowana   nazywana jest przestrzenią pseudometryczną.

Uwagi:

(1) Z definicji wynika, że dla różnych punktów przestrzeni   odległość   może być równa zero, co różni pseudometrykę od metryki, w której odległość między dwoma różnymi punktami zawsze jest dodatnia.

(2) Definicja metryki różni się pierwszym aksjomatem, pozostałe dwa są identyczne. Zamiast warunku   przyjmuje się aksjomat identyczności nierozróżnialnych   z którego wynika dodatnia odległość między każdymi dwoma różnymi punktami.

Pseudometryka w przestrzeni funkcyjnej

edytuj

W przestrzeni   funkcji   z wyróżnionym punktem   można zdefiniować pseudometrykę wzorem:

 

Np. niech  

oraz

   

wtedy

   

oraz

 

– funkcje są w zerowej od siebie odległości, mino że funkcje   oraz   są różne.

Własności

edytuj

W przestrzeniach liniowych pseudometryka generowana jest przez półnormę.

Topologia indukowana przez pseudometrykę generowana jest przez kule otwarte

 

które stanowią jej bazę. Mówimy, że przestrzeń topologiczna jest pseudometryzowalna, jeśli istnieje taka pseudometryka, że indukowana przez nią topologia pokrywa się z daną.

Zobacz też

edytuj

Przestrzeń z pseudometryką

Linki zewnętrzne

edytuj
  •   Pseudo-metric (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].