Otwórz menu główne

Baza przestrzeni topologicznej

Baza przestrzeni topologicznej – dla danej przestrzeni topologicznej rodzina otwartych podzbiorów przestrzeni o tej własności, że każdy zbiór otwarty w można przedstawić w postaci sumy pewnej podrodziny zawartej w bazie. Każda przestrzeń topologiczna ma bazę – jeżeli jest topologią w zbiorze to jest ona również (trywialnie) jej bazą. Obrazowo, baza przestrzeni topologicznej to taka rodzina zbiorów otwartych, że każdy niepusty i otwarty podzbiór tej przestrzeni można wysumować przy pomocy pewnych (być może nieskończenie wielu) elementów bazy. W praktyce matematycznej związanej z badaniem własności konkretnych przestrzeni topologicznych, istotnym zagadnieniem jest pytanie o minimalną moc bazy przestrzeni (zob. ciężar przestrzeni poniżej). Tak zdefiniowane pojęcie nosi też czasem nazwę bazy otwartej (zob. też baza domknięta poniżej). Pojęcia pokrewne pojęciu bazy przestrzeni topologicznej to, na przykład, π-baza, podbaza czy pseudobaza.

PrzykładyEdytuj

  • rodzina wszystkich przedziałów otwartych na prostej rzeczywistej jest bazą w naturalnej topologii prostej (tj. topologii wyznaczonej przez metrykę); bazą tej topologii jest również rodzina wszystkich ograniczonych przedziałów otwartych o końcach wymiernych.
  • rodzina wszystkich kul otwartych w dowolnej przestrzeni metrycznej jest bazą w naturalnej (tj. metrycznej) topologii tej przestrzeni,
  • rodzina wszystkich kwadratów otwartych na płaszczyźnie jest bazą płaszczyzny w topologii euklidesowej.
  • rodzina kwadratów otwartych o bokach równoległych do osi współrzędnych.
  • rodzina kwadratów otwartych o bokach równoległych do osi współrzędnych i wierzchołkach mających współrzędne wymierne.
  • rodzina wszystkich przedziałów postaci   gdzie   i   są liczbami rzeczywistymi i   jest bazą topologii w zbiorze liczb rzeczywistych, nazywaną topologią strzałki.

Własności bazy przestrzeniEdytuj

Podstawowe własności bazy:

  • Jeżeli   i   są takimi elementami bazy, że   to w zbiorze   zawarty jest pewien niepusty element bazy.
  • Dla każdego punktu przestrzeni, jego dowolne otoczenie zawiera element bazy, który zawiera ten punkt.
  • Przekształcenie   jest ciągłe (  i   są przestrzeniami topologicznymi), gdy   jest zbiorem otwartym dla każdego   dla pewnej bazy   przestrzeni   Podobnie, przekształcenie   jest otwarte wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka baza   przestrzeni   że zbiór   jest zbiorem otwartym w  
  • Jeżeli   są bazami odpowiednio przestrzeni   to zdefiniowana niżej rodzina zbiorów jest bazą przestrzeni  
 
  • Rodzina   podzbiorów zbioru   jest bazą pewnej topologii w   wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia następujące dwa warunki:
    •  
    •   dla dowolnych  [1].

Ciężar przestrzeniEdytuj

Ciężarem (albo wagą, rzadziej ciężkością) przestrzeni topologicznej   nazywamy najmniejszą liczbę kardynalną   o tej własności, że istnieje w tej przestrzeni baza przestrzeni   mocy   Innymi słowy,

  – baza przestrzeni  
  • Ciężar przestrzeni dyskretnej jest równy jej mocy.
  • Ciężar każdej przestrzeni euklidesowej wynosi  
  • Ciężar prostej Sorgenfreya wynosi continuum.
  • Jeżeli   jest przestrzenią regularną, to   gdzie   oznacza gęstość przestrzeni  
  • Jeżeli   jest przestrzenią topologiczną o ciężarze większym niż 1, dla każdego   oraz zbiór   jest nieskończony, to
 
  • Jeżeli   oznacza ciężar sieciowy przestrzeni   to   Jeżeli   jest przestrzenią zwartą, to  
  • Jeżeli   jest przestrzenią zwartą, to   a jeżeli ponadto przestrzeń   jest obrazem ciągłym przestrzeni zwartej   to  
  • Jeżeli   i   są przestrzeniami topologicznymi, a w   rozpatruje się topologię zwarto-otwartą lub topologię zbieżności punktowej, to   Ponadto jeżeli   jest nieskończoną liczbą kardynalną oraz   jest przestrzenią lokalnie zwartą, to ciężar przestrzeni   z topologią zwarto-otwartą nie przekracza  

Baza domkniętaEdytuj

Analogicznie do bazy otwartej można określić bazę domkniętą przestrzeni topologicznej. Jest to taka rodzina, że każdy zbiór domknięty jest częścią wspólną jej pewnej podrodziny.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Włodzimierz Holsztyński, Wstęp do topologii, Komentarz do wykładu dla studentów II roku matematyki U.W., Uniwersytet Warszawski, Warszawa 1968.

BibliografiaEdytuj