Otwórz menu główne

Topologia zwarto-otwarta jest topologią na zbiorze wszystkich przekształceń ciągłych z przestrzeni topologicznej do przestrzeni Jej genezą było poszukiwanie takiej topologii na zbiorze lub na jakimś wyróżnionym zbiorze ciągłych przekształceń przy której wyrażenie jest funkcją ciągłą względem obu zmiennych: zmiennej i zmiennej Innymi słowy, chodzi o taką topologię na aby odwzorowanie było ciągłe względem topologii produktowej na [1][2].

DefinicjeEdytuj

Załóżmy, że   są przestrzeniami topologicznymi, a   jest zbiorem wszystkich przekształceń ciągłych z   w   Jedną z topologii na zbiorze   jest topologia zbieżności punktowej   której bazą zbiorów otwartych jest rodzina wszystkich zbiorów postaci

 

gdzie każdy   jest podzbiorem skończonym przestrzeni   a   jest zbiorem otwartym w  [3][4]. Zbiór   można też interpretować jako nieskończoną potęgę kartezjańską, produkt jednakowych czynników. Topologia zbieżności punktowej jest topologią indukowaną przez topologię produktową na iloczynie kartezjańskim   w którym   dla każdego   Topologia   jest jednoznacznie wyznaczona przez topologię w   natomiast od topologii przestrzeni   zależy jedynie zbiór funkcji należących do  

Silniejsza od   jest topologia zwarto-otwarta   w której bazą zbiorów otwartych są analogiczne iloczyny   z tym, że teraz każdy   jest podzbiorem zwartym przestrzeni  [5][6].

Topologia   zależy od obu topologii: od topologii w   i topologii w   Jeżeli   jest przestrzenią zwartą, a   przestrzenią metryczną, to topologia zwarto-otwarta przestrzeni   jest identyczna z topologią zbieżności jednostajnej[7][8]. Jeżeli zaś obie przestrzenie   są metryczne, to w przestrzeni   można wprowadzić metrykę zbieżności jednostajnej, której topologia, zwana też topologią naturalną na   jest identyczna z topologią zwarto-otwartą.

Kanoniczna bijekcjaEdytuj

Załóżmy, że   są przestrzeniami topologicznymi, a symbol   oznacza przestrzeń   z topologią zwarto-otwartą. Rozważmy kanoniczne odwzorowanie

 

przyporządkowujące każdej funkcji   funkcję   która z kolei każdemu   przyporządkowuje funkcję   określoną wzorem   Jeżeli przestrzeń   jest lokalnie zwarta, a X jest przestrzenią Hausdorffa, to   jest bijekcją i homeomorfizmem[9].

Szczególnie doniosły (zwłaszcza dla teorii homotopii) jest przypadek, gdy w tym homeomorfizmie za   podstawimy sferę n-wymiarową   i rozważymy przestrzenie topologiczne   z wyróżnionymi punktami bazowymi   Przez   oznaczmy podprzestrzeń domkniętą (w topologii zwarto-otwartej) przestrzeni   utworzoną z funkcji zachowujących punkty bazowe. Dla   otrzymujemy homeomorfizm

 

w którym występuje zredukowane zawieszenie   homeomorficzne z   produktem ściągniętym[a] przestrzeni   i   oraz przestrzeń pętli   Jest to naturalna równoważność funktorów[10]. Stała się ona punktem wyjścia dualności Eckmanna-Hiltona[11].

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Produkt ściągnięty (ang. smash product) przestrzeni   to przestrzeń ilorazowa   gdzie   to zbiór   z punktem bazowym   [1].

PrzypisyEdytuj

  1. Kelley 1955 ↓, Chapter 7.
  2. Duda 1986 ↓, s. 258.
  3. Engelking 1975 ↓, s. 144.
  4. Duda 1986 ↓, s. 254.
  5. Engelking 1975 ↓, s. 203.
  6. Duda 1986 ↓, s. 256.
  7. Kuratowski 1977 ↓, rozdział XVI, § 7.
  8. Duda 1986 ↓, s. 261.
  9. Engelking 1975 ↓, s. 207.
  10. Mac Lane 1971 ↓, s. 185.
  11. [2], [3].

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj