Zawieszenie (topologia)

Topologia

Zawieszenie okręgu (niebieskiego)

Zawieszeniem $SX$ przestrzeni topologicznej $X$ jest przestrzeń ilorazowa powstała przez podzielenie iloczynu $X\times I$ tej przestrzeni przez przedział jednostkowy $I=[0;1]$ przez relację równoważności $\sim$:

$X\times I/\sim ,$

która ściąga punkty każdej z „podstaw” $X\times \{0\}$ i $X\times \{1\}$ do punktu, czyli dla $(x,t),(x',t')\in X\times I$

$(x,t)\sim (x',t')\Leftrightarrow (x,t)=(x',t')\,\vee \,t=t'=0\vee t=t'=1.$

Nieco mniej formalnie można to zapisać następująco:

$SX=(X\times I)/\{(x_{1},0)\!\sim \!(x_{2},0)\;\;{\mbox{ i }}(x_{1},1)\!\sim \!(x_{2},1){\mbox{ dla dowolnych }}x_{1},x_{2}\in X\}.$

Geometrycznie zawieszenie jest wielościanem, który można uzyskać z iloczynu $K\times I$ poprzez ściągnięcie do punktu każdej z podstaw: $(x,0)\sim (x',0)$ i $(x,1)\sim (x',1)$ dla dowolnych $x,x'\in X$.

Kompleksy łańcuchowe

Stożkiem przekształcenia łańcuchowego $f_{\bullet }:K_{\bullet }\rightarrow L_{\bullet }$ nazywamy kompleks łańcuchowy $Cf_{\bullet },$ w którym:

$(Cf)_{n}=L_{n}\oplus K_{n-1},$

$\partial ^{Cf}(y,x)=(\partial ^{L}y+fx,-\partial ^{K}x),$ gdzie $(y,x)\in Cf.$

Jeśli $L_{\bullet }=0,$ to kompleks $Cf_{\bullet }$ jest nazywany zawieszeniem i oznaczany przez $K_{\bullet }^{+}.$ W kompleksie tym:

$(K^{+})_{n}=K_{n-1},$

$\partial ^{K^{+}}=-\partial ^{K}$.

Zobacz też

• funktory sprzężone
• stożek (topologia)
• topologia zwarto-otwarta

Bibliografia

• Roman Duda: Wprowadzenie do topologii. Cz. I. Topologia ogólna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1986, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 61. ISBN 83-01-05714-9.
• A. Dold: Lectures on algebraic topology. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1972.
• Marvin Greenberg: Wykłady z topologii algebraicznej. Warszawa: PWN, 1980. ISBN 83-01-00415-0.

Literatura dodatkowa

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-79160-X.