Zbieżność jednostajna

Zbieżność jednostajna – własność ciągu funkcji o wartościach w danej przestrzeni metrycznej.

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie niepustym zbiorem, a   oznacza przestrzeń metryczną. Ciąg   funkcji   jest jednostajnie zbieżny do funkcji   jeżeli

 

Zapis ten można rozumieć w następujący sposób:

 

Jeśli ciąg funkcji   zbiega jednostajnie do funkcji   to o   mówi się, że jest granicą jednostajną ciągu   i pisze  

Jeżeli   jest przestrzenią topologiczną, to ciąg   funkcji   jest niemal jednostajnie zbieżny do funkcji   jeżeli dla każdego zbioru zwartego   ciąg   jest jednostajnie zbieżny.

Rys historycznyEdytuj

PrzykładyEdytuj

  • Każdy ciąg stały jest zbieżny jednostajnie (do swojego stałego wyrazu).
  • Granica jednostajna ciągu funkcji które nie są ciągłe w żadnym punkcie może być ciągła. Rozważmy np. funkcję Dirichleta   i połóżmy   dla   Wówczas  
  • Na mocy twierdzenia Weierstrassa każda funkcja ciągła   gdzie   i   jest granicą jednostajną ciągu wielomianów.
  • Rozważmy funkcje   zadane w dziedzinie   wzorem   dla   Niech   będzie dana wzorem
 
Wówczas   lecz  

WłasnościEdytuj

  • Zbieżność jednostajna pociąga zbieżność punktową.
  • Jeśli   oraz   i   a   to
     
    jeśli dodatkowo funkcje   i  ograniczone, to  
    jeśli ponadto dla pewnego   dla każdego   zachodzi   to  
  • Jeśli   są ciągłe i   oraz   to   (twierdzenie Diniego)
  • Jeśli   są przestrzeniami metrycznymi, a   są funkcjami ciągłymi, przy czym   to   również jest funkcją ciągłą.
  • Jeśli   są przestrzeniami metrycznymi,   jest przestrzenią zupełną, a   to:

  do pewnej funkcji   wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg   spełnia jednostajny warunek Cauchy’ego, tzn.

 
  • Jeśli   są takimi funkcjami różniczkowalnymi, że   oraz ciąg funkcji pochodnych   to funkcja   jest różniczkowalna i  

Pojęcia pokrewneEdytuj

Austriacki matematyk Hans Hahn wprowadził w 1921 następujące pojęcia.

Niech   będą przestrzeniami metrycznymi, a   będą dla   dowolnymi funkcjami.

Ciąg   zbiega ciągle do funkcji   jeśli
dla każdego ciągu   elementów przestrzeni   jeśli   to  
Ciąg   zbiega ciągle w silnym sensie do funkcji   jeśli
dla każdego ciągu   elementów przestrzeni   jeśli ciąg   jest zbieżny w   to także ciąg   jest zbieżny oraz  

Zbieżność jednostajna pociąga ciągłą zbieżność w silnym sensie. Jeśli   jest zwarta, to pojęcie zbieżności ciągłej w silnym sensie pokrywa się z pojęciem zbieżności jednostajnej. Jeśli   jest zwarta, to pojęcie ciągłej zbieżności jest równoważne zbieżności jednostajnej.

Czytelnik może znaleźć więcej informacji w monografii Kazimierza Kuratowskiego

Zbieżność w przestrzeniach funkcji ciągłychEdytuj

Zobacz też: przestrzeń funkcyjna.

Niech   będą przestrzeniami metrycznymi, a   oznacza zbiór wszystkich funkcji ciągłych z przestrzeni   w przestrzeń   Dla   określamy

 

Wówczas   jest metryką na zbiorze   nazywaną metryką zbieżności jednostajnej.

  • Jeśli   jest przestrzenią zwartą, to topologia zbieżności jednostajnej na   zgadza się z tzw. topologią naturalną, zwaną też topologią zwarto-otwartą, która jest generowana przez podbazę złożoną ze wszystkich zbiorów postaci
      gdzie   jest zbiorem zwartym, a   jest zbiorem otwartym.
  • Jeśli   jest przestrzenią zwartą, a   jest przestrzenią zupełną, to   również jest przestrzenią zupełną.
  •   jest przestrzenią polską.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj