Zbieżność jednostajna

Zbieżność jednostajna – własność ciągu funkcji o wartościach w danej przestrzeni metrycznej. Ciąg funkcji $f_{1},f_{2},\ldots \colon X\to \mathbb {R}$ zbiega jednostajnie do funkcji $f\colon X\to \mathbb {R}$, jeśli dla dowolnej liczby $\epsilon >0$ istnieje liczba naturalna $N$ taka, że funkcje $f_{N+1},f_{N+2},\ldots$ są odległe od funkcji $f$ o mniej niż $\epsilon$ w każdym punkcie swojej dziedziny.

Ciąg $(f_{n})$ zbiega jednostajnie do $f$, jeśli $\sup |f_{n}-f|$ dąży do 0 przy $n$ dążącym do nieskończoności.

Zbieżność jednostajna jest własnością silniejszą od zbieżności punktowej. W przypadku zbieżności jednostajnej rozważamy odległości ciągu funkcji of funkcji granicznej w każdym punkcie ich dziedziny. W przypadku zbieżności punktowej wybieramy ustalony punkt $x_{0}\in X$ i ciąg ${\textstyle (f_{n}(x_{0}))_{n=1}^{\infty }}$ traktujemy jak ciąg liczbowy. Innymi słowy, w przypadku zbieżności punktowej wybrana liczba $N$ może zależeć od $x$, a w przypadku zbieżności jednostajnej - nie.

Definicja

Niech $X$ będzie niepustym zbiorem, a $(Y,d_{Y})$ oznacza przestrzeń metryczną. Ciąg $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ funkcji $f_{n}\colon X\to Y$ jest jednostajnie zbieżny do funkcji $f\colon X\to Y,$ jeżeli

$\forall _{\epsilon >0}\;\exists _{N\in \mathbb {N} }\;\forall _{n\geqslant N}\;\forall _{x\in X}\;d_{Y}{\big (}f_{n}(x),f(x){\big )}<\epsilon .$

Definicja formalna jest równoznaczna z granicą

$\lim _{n\to \infty }\;\sup _{x\in X}{\big (}d_{Y}(f_{n}(x),f(x){\big )})=0.$

Jeśli ciąg funkcji $(f_{n})$ zbiega jednostajnie do funkcji $f,$ to o $f$ mówi się, że jest granicą jednostajną ciągu $(f_{n})$ i pisze $f_{n}\rightrightarrows f.$

Zbiory liczb rzeczywistych i liczb zespolonych są przestrzeniami metrycznymi z metryką daną przez $d(x,y)=|x-y|$ (gdzie $|\cdot |$ rozumiemy jako moduł), dlatego ciąg $f_{1},f_{2},\ldots \colon X\to \mathbb {C}$ zbiega do funkcji $f\colon X\to \mathbb {C}$ jeśli

$\lim _{n\to \infty }\sup _{x\in X}|f_{n}(x)-f(x)|=0$.

Jeżeli $X$ jest przestrzenią topologiczną, to ciąg $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ funkcji $f_{n}\colon X\to Y$ jest niemal jednostajnie zbieżny do funkcji $f\colon X\to Y,$ jeżeli dla każdego zbioru zwartego $K\subseteq X$ ciąg $(f_{n}|_{K})$ jest jednostajnie zbieżny.

Rys historyczny

W 1821 roku Augustin-Louis Cauchy opublikował dowód, że zbieżna suma funkcji ciągłych jest zawsze ciągła, na co Niels Henrik Abel w 1826 roku znalazł rzekome kontrprzykłady w kontekście szeregów Fouriera, argumentując, że dowód Cauchy'ego musiał być niepoprawny. Całkowicie standardowe pojęcia zbieżności nie istniały w tamtym czasie, a Cauchy zajmował się zbieżnością przy użyciu metod infinitezymalnych. Mówiąc współczesnym językiem, Cauchy udowodnił, że jednostajnie zbieżny ciąg funkcji ciągłych ma ciągłą granicę. Niepowodzenie zbieżności jedynie punktowo zbieżnej granicy funkcji ciągłych do funkcji ciągłej ilustruje znaczenie rozróżnienia między różnymi typami zbieżności podczas pracy z ciągami funkcji.

• Dirichlet zanalizował argumenty Cauchy’ego, znalazł błąd i wskazał dodatkowe założenie potrzebne dla ciągłości funkcji granicznej: zbieżność jednostajną.
• W 1906 Maurice Fréchet opublikował metrykę zbieżności jednostajnej (chociaż twierdził on, że ta metryka była już rozważana wcześniej przez Karla Weierstrassa).

Przykłady

• Każdy ciąg stały jest zbieżny jednostajnie (do swojego stałego wyrazu).
• Granica jednostajna ciągu funkcji które nie są ciągłe w żadnym punkcie może być ciągła. Rozważmy np. funkcję Dirichleta $I_{\mathbb {Q} }$ i połóżmy $f_{n}(x)=2^{-n}I_{\mathbb {Q} }(x)$ dla $x\in \mathbb {R} .$ Wówczas $f_{n}\rightrightarrows 0.$
• Na mocy twierdzenia Weierstrassa każda funkcja ciągła $f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ,$ gdzie $a,b\in \mathbb {R}$ i $a<b,$ jest granicą jednostajną ciągu wielomianów.
• Rozważmy funkcje $f_{n}\colon [0,1]\to [0,1]$ zadane w dziedzinie $x\in [0,1]$ wzorem $f_{n}(x)=x^{n}$ dla $n\in \mathbb {N} .$ Niech $f\colon [0,1]\to [0,1]$ będzie dana wzorem

$f(x)={\begin{cases}0&{\mbox{dla }}0\leqslant x<1,\\1&{\mbox{dla }}x=1.\end{cases}}$

Wówczas $f_{n}\to f,$ lecz $f_{n}\not \rightrightarrows f.$ oraz $f_{n}\rightrightarrows f$ i $g_{n}\rightrightarrows g,$ a $\alpha ,\beta \in \mathbb {R} ,$ to

$\alpha f_{n}+\beta g_{n}\rightrightarrows \alpha f+\beta g,$

jeśli dodatkowo funkcje $f$ i $g$ są ograniczone, to $f_{n}g_{n}\rightrightarrows fg,$

jeśli ponadto dla pewnego $M>0$ dla każdego $x\in \mathbb {R}$ zachodzi ${\big |}g(x){\big |}>M,$ to ${\tfrac {f_{n}}{g_{n}}}\rightrightarrows {\tfrac {f}{g}}.$

Jeśli $f_{n},f\colon [0,1]\to \mathbb {R}$ są ciągłe i $f_{n}\to f$ oraz $\forall _{n\in \mathbb {N} }\;\forall _{x\in [0,1]}\;f_{n}(x)\leqslant f_{n+1}(x),$ to $f_{n}\rightrightarrows f.$ (twierdzenie Diniego) : Jeśli $X,Y$ są przestrzeniami metrycznymi, a $f_{n}\colon X\to Y,$ są funkcjami ciągłymi, przy czym $f_{n}\rightrightarrows f,$ to $f$ również jest funkcją ciągłą. : Jeśli $X,Y$ są przestrzeniami metrycznymi, $Y$ jest przestrzenią zupełną, a $f_{n}\colon X\to Y,$ to:

$f_{n}\rightrightarrows f,$ do pewnej funkcji $f\colon X\to Y$ wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg $(f_{n})$ spełnia jednostajny warunek Cauchy’ego, tzn.

$\forall _{\varepsilon >0}\exists _{N\in \mathbb {N} }\forall _{n,m\geqslant N}\forall _{x\in X}\;\;\rho _{Y}(f_{n}(x),f_{m}(x))<\varepsilon .$

• Jeśli $f_{n}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ są takimi funkcjami różniczkowalnymi, że $f_{n}\rightrightarrows f$ oraz ciąg funkcji pochodnych $f'_{n}\rightrightarrows g,$ to funkcja $f$ jest różniczkowalna i $f'=g.$

Szeregi funkcyjne

Pojęcie zbieżności jednostajnej można stosować również do szeregów funkcyjnych. Dla danego ciągu funkcji $f_{1},f_{2},\ldots \colon X\to \mathbb {R}$ definiujemy ciąg sum częściowych $s_{n}=f_{1}+\ldots +f_{n}$.

Szereg potęgowy

Ciąg sum częściowych $s_{1},s_{2},\ldots \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ (lub $\mathbb {R} \to \mathbb {C}$) definiujemy jako

$s_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(z-z_{0})^{k}$,

gdzie $a_{0},a_{1},\ldots$ są dowolnymi współczynnikami zespolonymi lub rzeczywistymi i $z_{0}$ jest środkiem szeregu. Znanym w literaturze wynikiem jest, że dla promienia zbieżności

$r={\frac {1}{\limsup _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{|a_{k}|}}}}$

ciąg $s_{n}$ zbiega jednostajnie na kole $B_{r}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} \colon |z-z_{0}|<r\}$. Jednak w ogólności nie wiadomo, w jaki sposób szereg zachowuje się na brzegu koła - obszarze $|z-z_{0}|=r$.

Szereg Laurenta

Szereg Laurenta zdefiniowany jako granica ciągu

$s_{n}(z)=\sum _{k=-1}^{-n}a_{k}(z-z_{0})^{k}+\sum _{k=0}^{n}a_{k}(z-z_{0})^{k}$

składa się z dwóch szeregów potęgowych. Jeśli $1/r$ i $R$ są promieniami zbieżności odpowiednio części osobliwej i regularnej, to ciąg sum częściowych jest zbieżny jednostajnie na obszarze $r<|z-z_{0}|<R$.

Pojęcia pokrewne

Austriacki matematyk Hans Hahn wprowadził w 1921 następujące pojęcia.

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami metrycznymi, a $f_{n},f\colon X\to Y$ będą dla $n\in \mathbb {N}$ dowolnymi funkcjami.

Ciąg $(f_{n})$ zbiega ciągle do funkcji $f,$ jeśli

dla każdego ciągu $(x_{n})$ elementów przestrzeni $X,$ jeśli $x_{n}\to x,$ to $f_{n}(x_{n})\to f(x).$

Ciąg $(f_{n})$ zbiega ciągle w silnym sensie do funkcji $f,$ jeśli

dla każdego ciągu $(x_{n})$ elementów przestrzeni $X,$ jeśli ciąg ${\big (}f(x_{n}){\big )}$ jest zbieżny w $Y,$ to także ciąg ${\big (}f_{n}(x_{n}){\big )}$ jest zbieżny oraz $f(x_{n})\to f_{n}(x_{n}).$

Zbieżność jednostajna pociąga ciągłą zbieżność w silnym sensie. Jeśli $Y$ jest zwarta, to pojęcie zbieżności ciągłej w silnym sensie pokrywa się z pojęciem zbieżności jednostajnej. Jeśli $X$ jest zwarta, to pojęcie ciągłej zbieżności jest równoważne zbieżności jednostajnej.

Czytelnik może znaleźć więcej informacji w monografii Kazimierza Kuratowskiego

Zbieżność w przestrzeniach funkcji ciągłych

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami metrycznymi, a ${\mathcal {C}}(X,Y)$ oznacza zbiór wszystkich funkcji ciągłych z przestrzeni $X$ w przestrzeń $Y.$ Dla $f,g\in {\mathcal {C}}(X,Y)$ określamy

$d(f,g)=\sup _{x\in X}{\Bigg (}\min {\Big (}1,\varrho _{Y}{\big (}g(x),f(x){\big )}{\Big )}{\Bigg )}$

Wówczas $d$ jest metryką na zbiorze ${\mathcal {C}}(X,Y)$ nazywaną metryką zbieżności jednostajnej.

• Jeśli $X$ jest przestrzenią zwartą, to topologia zbieżności jednostajnej na ${\mathcal {C}}(X,Y)$ zgadza się z tzw. topologią naturalną, zwaną też topologią zwarto-otwartą, która jest generowana przez podbazę złożoną ze wszystkich zbiorów postaci

  $U(C,V)={\big \{}f\in {\mathcal {C}}(X,Y)\colon f[C]\subseteq V{\big \}},$ gdzie $C\subseteq X$ jest zbiorem zwartym, a $V\subseteq Y$ jest zbiorem otwartym.

• Jeśli $X$ jest przestrzenią zwartą, a $Y$ jest przestrzenią zupełną, to ${\mathcal {C}}(X,Y)$ również jest przestrzenią zupełną.
• ${\mathcal {C}}{\big (}[0,1],\mathbb {R} {\big )}$ jest przestrzenią polską.

Prawie zbieżność jednostajna

Twierdzenie Jegorowa jest motywacją do wprowadzenia osobnego pojęcia dla ciągów funkcyjnych zdefiniowanych na przestrzeniach mierzalnych. Niech $f_{1},f_{2},\ldots \colon X\to \mathbb {R}$ będzie ciągiem funkcji mierzalnych na przestrzeni z miarą $(X,{\mathcal {F}},\mu )$. Powiemy, że ciąg $f_{n}$ jest prawie zbieżny jednostajnie do funkcji $f\colon X\to \mathbb {R}$, jeśli dla każdej liczby $\epsilon >0$ istnieje zbiór $A\in {\mathcal {F}}$ taki, że $\mu (X\setminus A)<\epsilon$ oraz ciąg $(f_{n})$ jest zbieżny jednostajnie do funkcji $f$.

Zbieżność jednostajna jest warunkiem silniejszym niż zbieżność prawie jednostajna. Na skończonej przestrzeni z miarą zbieżność prawie wszędzie jest równoznaczna ze zbieżnością prawie jednostajną.

Zobacz też

• topologia zwarto-otwarta
• zbieżność jednostajna szeregu funkcyjnego
• zbieżność monotoniczna
• zbieżność punktowa ciągu funkcji

Bibliografia

• Maurice Fréchet: Sur quelques points du calcul fonctionnel; Rend. del Circ. Mat. di Palermo, 22 (1906), s. 1–74.
• Hahn, Hans: Theorie der reellen Funktionen. Berlin: J. Springer, 1921.
• Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. siódme rozszerzone. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 9.
• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 47.
• Roman Duda: Wprowadzenie do topologii. Cz. I. Topologia ogólna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1986, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 61. ISBN 83-01-05714-9.
• Kuratowski, Kazimierz: Topology, Volume I, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1966.
• Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Uniform Convergence, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-06-20].