Niech
X
{\displaystyle X}
niepustym zbiorem , a
(
Y
,
ϱ
Y
)
{\displaystyle (Y,\varrho _{Y})}
przestrzeń metryczną . Ciąg
(
f
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
f
n
:
X
→
Y
{\displaystyle f_{n}\colon X\to Y}
jednostajnie zbieżny do funkcji
f
:
X
→
Y
,
{\displaystyle f\colon X\to Y,}
∀
ϵ
>
0
∃
N
∈
N
∀
n
⩾
N
∀
x
∈
X
ϱ
Y
(
f
n
(
x
)
,
f
(
x
)
)
<
ϵ
.
{\displaystyle \forall _{\epsilon >0}\;\exists _{N\in \mathbb {N} }\;\forall _{n\geqslant N}\;\forall _{x\in X}\;\varrho _{Y}{\big (}f_{n}(x),f(x){\big )}<\epsilon .}
Zapis ten można rozumieć w następujący sposób:
lim
n
→
∞
sup
x
∈
X
(
ϱ
Y
(
f
n
(
x
)
,
f
(
x
)
)
)
=
0.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\;\sup _{x\in X}{\big (}\varrho _{Y}(f_{n}(x),f(x){\big )})=0.}
Jeśli ciąg funkcji
(
f
n
)
{\displaystyle (f_{n})}
f
,
{\displaystyle f,}
f
{\displaystyle f}
granicą jednostajną ciągu
(
f
n
)
{\displaystyle (f_{n})}
f
n
⇉
f
.
{\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f.}
Jeżeli
X
{\displaystyle X}
przestrzenią topologiczną , to ciąg
(
f
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
f
n
:
X
→
Y
{\displaystyle f_{n}\colon X\to Y}
niemal jednostajnie zbieżny do funkcji
f
:
X
→
Y
,
{\displaystyle f\colon X\to Y,}
K
⊆
X
{\displaystyle K\subseteq X}
(
f
n
|
K
)
{\displaystyle (f_{n}|_{K})}
Rys historyczny Edytuj
Każdy ciąg stały jest zbieżny jednostajnie (do swojego stałego wyrazu).
Granica jednostajna ciągu funkcji które nie są ciągłe w żadnym punkcie może być ciągła. Rozważmy np. funkcję Dirichleta
I
Q
{\displaystyle I_{\mathbb {Q} }}
f
n
(
x
)
=
2
−
n
I
Q
(
x
)
{\displaystyle f_{n}(x)=2^{-n}I_{\mathbb {Q} }(x)}
x
∈
R
.
{\displaystyle x\in \mathbb {R} .}
f
n
⇉
0.
{\displaystyle f_{n}\rightrightarrows 0.}
Na mocy twierdzenia Weierstrassa każda funkcja ciągła
f
:
[
a
,
b
]
→
R
,
{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ,}
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
a
<
b
,
{\displaystyle a<b,}
wielomianów .
Rozważmy funkcje
f
n
:
[
0
,
1
]
→
[
0
,
1
]
{\displaystyle f_{n}\colon [0,1]\to [0,1]}
x
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle x\in [0,1]}
f
n
(
x
)
=
x
n
{\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}}
n
∈
N
.
{\displaystyle n\in \mathbb {N} .}
f
:
[
0
,
1
]
→
[
0
,
1
]
{\displaystyle f\colon [0,1]\to [0,1]}
f
(
x
)
=
{
0
dla
0
⩽
x
<
1
,
1
dla
x
=
1.
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&{\mbox{dla }}0\leqslant x<1,\\1&{\mbox{dla }}x=1.\end{cases}}}
Wówczas
f
n
→
f
,
{\displaystyle f_{n}\to f,}
f
n
⇉̸
f
.
{\displaystyle f_{n}\not \rightrightarrows f.}
Zbieżność jednostajna pociąga zbieżność punktową .
Jeśli
f
,
g
,
f
n
,
g
n
:
R
→
R
{\displaystyle f,g,f_{n},g_{n}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
f
n
⇉
f
{\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}
g
n
⇉
g
,
{\displaystyle g_{n}\rightrightarrows g,}
α
,
β
∈
R
,
{\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} ,}
α
f
n
+
β
g
n
⇉
α
f
+
β
g
,
{\displaystyle \alpha f_{n}+\beta g_{n}\rightrightarrows \alpha f+\beta g,}
jeśli dodatkowo funkcje
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
ograniczone , to
f
n
g
n
⇉
f
g
,
{\displaystyle f_{n}g_{n}\rightrightarrows fg,}
jeśli ponadto dla pewnego
M
>
0
{\displaystyle M>0}
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
|
g
(
x
)
|
>
M
,
{\displaystyle {\big |}g(x){\big |}>M,}
f
n
g
n
⇉
f
g
.
{\displaystyle {\tfrac {f_{n}}{g_{n}}}\rightrightarrows {\tfrac {f}{g}}.}
Jeśli
f
n
,
f
:
[
0
,
1
]
→
R
{\displaystyle f_{n},f\colon [0,1]\to \mathbb {R} }
f
n
→
f
{\displaystyle f_{n}\to f}
∀
n
∈
N
∀
x
∈
[
0
,
1
]
f
n
(
x
)
⩽
f
n
+
1
(
x
)
,
{\displaystyle \forall _{n\in \mathbb {N} }\;\forall _{x\in [0,1]}\;f_{n}(x)\leqslant f_{n+1}(x),}
f
n
⇉
f
.
{\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f.}
twierdzenie Diniego )
Jeśli
X
,
Y
{\displaystyle X,Y}
f
n
:
X
→
Y
,
{\displaystyle f_{n}\colon X\to Y,}
f
n
⇉
f
,
{\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f,}
f
{\displaystyle f}
Jeśli
X
,
Y
{\displaystyle X,Y}
Y
{\displaystyle Y}
f
n
:
X
→
Y
,
{\displaystyle f_{n}\colon X\to Y,}
f
n
⇉
f
,
{\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f,}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
(
f
n
)
{\displaystyle (f_{n})}
jednostajny warunek Cauchy’ego , tzn.
∀
ε
>
0
∃
N
∈
N
∀
n
,
m
⩾
N
∀
x
∈
X
ρ
Y
(
f
n
(
x
)
,
f
m
(
x
)
)
<
ε
.
{\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\exists _{N\in \mathbb {N} }\forall _{n,m\geqslant N}\forall _{x\in X}\;\;\rho _{Y}(f_{n}(x),f_{m}(x))<\varepsilon .}
Jeśli
f
n
:
R
→
R
{\displaystyle f_{n}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
funkcjami różniczkowalnymi , że
f
n
⇉
f
{\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}
funkcji pochodnych
f
n
′
⇉
g
,
{\displaystyle f'_{n}\rightrightarrows g,}
f
{\displaystyle f}
f
′
=
g
.
{\displaystyle f'=g.}
Pojęcia pokrewne Edytuj
Austriacki matematyk Hans Hahn wprowadził w 1921 następujące pojęcia.
Niech
X
,
Y
{\displaystyle X,Y}
f
n
,
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f_{n},f\colon X\to Y}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
Ciąg
(
f
n
)
{\displaystyle (f_{n})}
zbiega ciągle do funkcji
f
,
{\displaystyle f,}
dla każdego ciągu
(
x
n
)
{\displaystyle (x_{n})}
X
,
{\displaystyle X,}
x
n
→
x
,
{\displaystyle x_{n}\to x,}
f
n
(
x
n
)
→
f
(
x
)
.
{\displaystyle f_{n}(x_{n})\to f(x).}
Ciąg
(
f
n
)
{\displaystyle (f_{n})}
zbiega ciągle w silnym sensie do funkcji
f
,
{\displaystyle f,}
dla każdego ciągu
(
x
n
)
{\displaystyle (x_{n})}
X
,
{\displaystyle X,}
(
f
(
x
n
)
)
{\displaystyle {\big (}f(x_{n}){\big )}}
Y
,
{\displaystyle Y,}
(
f
n
(
x
n
)
)
{\displaystyle {\big (}f_{n}(x_{n}){\big )}}
f
(
x
n
)
→
f
n
(
x
n
)
.
{\displaystyle f(x_{n})\to f_{n}(x_{n}).}
Zbieżność jednostajna pociąga ciągłą zbieżność w silnym sensie. Jeśli
Y
{\displaystyle Y}
zwarta , to pojęcie zbieżności ciągłej w silnym sensie pokrywa się z pojęciem zbieżności jednostajnej. Jeśli
X
{\displaystyle X}
Czytelnik może znaleźć więcej informacji w monografii Kazimierza Kuratowskiego
Zbieżność w przestrzeniach funkcji ciągłych Edytuj
Niech
X
,
Y
{\displaystyle X,Y}
C
(
X
,
Y
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}(X,Y)}
X
{\displaystyle X}
Y
.
{\displaystyle Y.}
f
,
g
∈
C
(
X
,
Y
)
{\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}(X,Y)}
d
(
f
,
g
)
=
sup
x
∈
X
(
min
(
1
,
ϱ
Y
(
g
(
x
)
,
f
(
x
)
)
)
)
{\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in X}{\Bigg (}\min {\Big (}1,\varrho _{Y}{\big (}g(x),f(x){\big )}{\Big )}{\Bigg )}}
Wówczas
d
{\displaystyle d}
C
(
X
,
Y
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}(X,Y)}
metryką zbieżności jednostajnej .
Jeśli
X
{\displaystyle X}
topologia zbieżności jednostajnej na
C
(
X
,
Y
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}(X,Y)}
topologią naturalną , zwaną też topologią zwarto-otwartą podbazę złożoną ze wszystkich zbiorów postaci
U
(
C
,
V
)
=
{
f
∈
C
(
X
,
Y
)
:
f
[
C
]
⊆
V
}
,
{\displaystyle U(C,V)={\big \{}f\in {\mathcal {C}}(X,Y)\colon f[C]\subseteq V{\big \}},}
C
⊆
X
{\displaystyle C\subseteq X}
zwartym , a
V
⊆
Y
{\displaystyle V\subseteq Y}
otwartym .
Jeśli
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
przestrzenią zupełną , to
C
(
X
,
Y
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}(X,Y)}
C
(
[
0
,
1
]
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}{\big (}[0,1],\mathbb {R} {\big )}}
przestrzenią polską .
Maurice Fréchet: Sur quelques points du calcul fonctionnel ; Rend. del Circ. Mat. di Palermo , 22 (1906), s. 1–74.
Hahn, Hans: Theorie der reellen Funktionen . Berlin: J. Springer, 1921.
Kazimierz Kuratowski : Wstęp do teorii mnogości i topologii . Wyd. siódme rozszerzone. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe , 1977, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 9.Ryszard Engelking : Topologia ogólna . Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe , 1975, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 47.Roman Duda : Wprowadzenie do topologii. Cz. I. Topologia ogólna . Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe , 1986, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 61. ISBN 83-01-05714-9 .Kuratowski, Kazimierz: Topology , Volume I, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1966. 
![{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2c01a60c3c8a1f109bae99184904b938e80cd31)
![{\displaystyle f_{n}\colon [0,1]\to [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56a67e51d887b78f9c6a91cd58562a4294f7583f)
![{\displaystyle x\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64a15936df283add394ab909aa7a5e24e7fb6bb2)
![{\displaystyle f\colon [0,1]\to [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61535c1b20e2a2ea2b7d7654d80306f36a735116)
![{\displaystyle f_{n},f\colon [0,1]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40b82d17b59abc5941c9fba31c6f5f9ccbe1adb4)
![{\displaystyle \forall _{n\in \mathbb {N} }\;\forall _{x\in [0,1]}\;f_{n}(x)\leqslant f_{n+1}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c21abba3864fd55086362062708043fd9caf875)
![{\displaystyle U(C,V)={\big \{}f\in {\mathcal {C}}(X,Y)\colon f[C]\subseteq V{\big \}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/032d10d20f57ffa4e9a7f54ce0966931f319f85a)
![{\displaystyle {\mathcal {C}}{\big (}[0,1],\mathbb {R} {\big )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db3f6594a6938fb2315db4d673c9d8265c4579ec)