Zbieżność jednostajna

Zbieżność jednostajna – własność ciągu funkcji o wartościach w danej przestrzeni metrycznej.

Definicja

Niech $X$ będzie niepustym zbiorem, a $(Y,\varrho _{Y})$ oznacza przestrzeń metryczną. Ciąg $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ funkcji $f_{n}\colon X\to Y$ jest jednostajnie zbieżny do funkcji $f\colon X\to Y,$ jeżeli

$\forall _{\epsilon >0}\;\exists _{N\in \mathbb {N} }\;\forall _{n\geqslant N}\;\forall _{x\in X}\;\varrho _{Y}{\big (}f_{n}(x),f(x){\big )}<\epsilon .$

Zapis ten można rozumieć w następujący sposób:

$\lim _{n\to \infty }\;\sup _{x\in X}{\big (}\varrho _{Y}(f_{n}(x),f(x){\big )})=0.$

Jeśli ciąg funkcji $(f_{n})$ zbiega jednostajnie do funkcji $f,$ to o $f$ mówi się, że jest granicą jednostajną ciągu $(f_{n})$ i pisze $f_{n}\rightrightarrows f.$

Jeżeli $X$ jest przestrzenią topologiczną, to ciąg $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ funkcji $f_{n}\colon X\to Y$ jest niemal jednostajnie zbieżny do funkcji $f\colon X\to Y,$ jeżeli dla każdego zbioru zwartego $K\subseteq X$ ciąg $(f_{n}|_{K})$ jest jednostajnie zbieżny.

Rys historyczny

• W 1821 Augustin Louis Cauchy opublikował błędny dowód stwierdzenia, że granica punktowa ciągu funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Joseph Fourier i Niels Henrik Abel podali kontrprzykład dla tego stwierdzenia, używając szeregów Fouriera.
• Dirichlet zanalizował argumenty Cauchy’ego, znalazł błąd i wskazał dodatkowe założenie potrzebne dla ciągłości funkcji granicznej: zbieżność jednostajną.
• W 1906 Maurice Fréchet opublikował metrykę zbieżności jednostajnej (chociaż twierdził on, że ta metryka była już rozważana wcześniej przez Karla Weierstrassa).

Przykłady

• Każdy ciąg stały jest zbieżny jednostajnie (do swojego stałego wyrazu).
• Granica jednostajna ciągu funkcji które nie są ciągłe w żadnym punkcie może być ciągła. Rozważmy np. funkcję Dirichleta $I_{\mathbb {Q} }$ i połóżmy $f_{n}(x)=2^{-n}I_{\mathbb {Q} }(x)$ dla $x\in \mathbb {R} .$ Wówczas $f_{n}\rightrightarrows 0.$
• Na mocy twierdzenia Weierstrassa każda funkcja ciągła $f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ,$ gdzie $a,b\in \mathbb {R}$ i $a<b,$ jest granicą jednostajną ciągu wielomianów.
• Rozważmy funkcje $f_{n}\colon [0,1]\to [0,1]$ zadane w dziedzinie $x\in [0,1]$ wzorem $f_{n}(x)=x^{n}$ dla $n\in \mathbb {N} .$ Niech $f\colon [0,1]\to [0,1]$ będzie dana wzorem

$f(x)={\begin{cases}0&{\mbox{dla }}0\leqslant x<1,\\1&{\mbox{dla }}x=1.\end{cases}}$

Wówczas $f_{n}\to f,$ lecz $f_{n}\not \rightrightarrows f.$

Własności

• Zbieżność jednostajna pociąga zbieżność punktową.
• Jeśli $f,g,f_{n},g_{n}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ oraz $f_{n}\rightrightarrows f$ i $g_{n}\rightrightarrows g,$ a $\alpha ,\beta \in \mathbb {R} ,$ to

  $\alpha f_{n}+\beta g_{n}\rightrightarrows \alpha f+\beta g,$

  jeśli dodatkowo funkcje $f$ i $g$ są ograniczone, to $f_{n}g_{n}\rightrightarrows fg,$

  jeśli ponadto dla pewnego $M>0$ dla każdego $x\in \mathbb {R}$ zachodzi ${\big |}g(x){\big |}>M,$ to ${\tfrac {f_{n}}{g_{n}}}\rightrightarrows {\tfrac {f}{g}}.$

• Jeśli $f_{n},f\colon [0,1]\to \mathbb {R}$ są ciągłe i $f_{n}\to f$ oraz $\forall _{n\in \mathbb {N} }\;\forall _{x\in [0,1]}\;f_{n}(x)\leqslant f_{n+1}(x),$ to $f_{n}\rightrightarrows f.$ (twierdzenie Diniego)
• Jeśli $X,Y$ są przestrzeniami metrycznymi, a $f_{n}\colon X\to Y,$ są funkcjami ciągłymi, przy czym $f_{n}\rightrightarrows f,$ to $f$ również jest funkcją ciągłą.
• Jeśli $X,Y$ są przestrzeniami metrycznymi, $Y$ jest przestrzenią zupełną, a $f_{n}\colon X\to Y,$ to:

$f_{n}\rightrightarrows f,$ do pewnej funkcji $f\colon X\to Y$ wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg $(f_{n})$ spełnia jednostajny warunek Cauchy’ego, tzn.

$\forall _{\varepsilon >0}\exists _{N\in \mathbb {N} }\forall _{n,m\geqslant N}\forall _{x\in X}\;\;\rho _{Y}(f_{n}(x),f_{m}(x))<\varepsilon .$

• Jeśli $f_{n}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ są takimi funkcjami różniczkowalnymi, że $f_{n}\rightrightarrows f$ oraz ciąg funkcji pochodnych $f'_{n}\rightrightarrows g,$ to funkcja $f$ jest różniczkowalna i $f'=g.$

Pojęcia pokrewne

Austriacki matematyk Hans Hahn wprowadził w 1921 następujące pojęcia.

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami metrycznymi, a $f_{n},f\colon X\to Y$ będą dla $n\in \mathbb {N}$ dowolnymi funkcjami.

Ciąg $(f_{n})$ zbiega ciągle do funkcji $f,$ jeśli

dla każdego ciągu $(x_{n})$ elementów przestrzeni $X,$ jeśli $x_{n}\to x,$ to $f_{n}(x_{n})\to f(x).$

Ciąg $(f_{n})$ zbiega ciągle w silnym sensie do funkcji $f,$ jeśli

dla każdego ciągu $(x_{n})$ elementów przestrzeni $X,$ jeśli ciąg ${\big (}f(x_{n}){\big )}$ jest zbieżny w $Y,$ to także ciąg ${\big (}f_{n}(x_{n}){\big )}$ jest zbieżny oraz $f(x_{n})\to f_{n}(x_{n}).$

Zbieżność jednostajna pociąga ciągłą zbieżność w silnym sensie. Jeśli $Y$ jest zwarta, to pojęcie zbieżności ciągłej w silnym sensie pokrywa się z pojęciem zbieżności jednostajnej. Jeśli $X$ jest zwarta, to pojęcie ciągłej zbieżności jest równoważne zbieżności jednostajnej.

Czytelnik może znaleźć więcej informacji w monografii Kazimierza Kuratowskiego

Zbieżność w przestrzeniach funkcji ciągłych

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami metrycznymi, a ${\mathcal {C}}(X,Y)$ oznacza zbiór wszystkich funkcji ciągłych z przestrzeni $X$ w przestrzeń $Y.$ Dla $f,g\in {\mathcal {C}}(X,Y)$ określamy

$d(f,g)=\sup _{x\in X}{\Bigg (}\min {\Big (}1,\varrho _{Y}{\big (}g(x),f(x){\big )}{\Big )}{\Bigg )}$

Wówczas $d$ jest metryką na zbiorze ${\mathcal {C}}(X,Y)$ nazywaną metryką zbieżności jednostajnej.

• Jeśli $X$ jest przestrzenią zwartą, to topologia zbieżności jednostajnej na ${\mathcal {C}}(X,Y)$ zgadza się z tzw. topologią naturalną, zwaną też topologią zwarto-otwartą, która jest generowana przez podbazę złożoną ze wszystkich zbiorów postaci

  $U(C,V)={\big \{}f\in {\mathcal {C}}(X,Y)\colon f[C]\subseteq V{\big \}},$ gdzie $C\subseteq X$ jest zbiorem zwartym, a $V\subseteq Y$ jest zbiorem otwartym.

• Jeśli $X$ jest przestrzenią zwartą, a $Y$ jest przestrzenią zupełną, to ${\mathcal {C}}(X,Y)$ również jest przestrzenią zupełną.
• ${\mathcal {C}}{\big (}[0,1],\mathbb {R} {\big )}$ jest przestrzenią polską.

Zobacz też

• topologia zwarto-otwarta
• zbieżność jednostajna szeregu funkcyjnego
• zbieżność monotoniczna
• zbieżność punktowa ciągu funkcji

Bibliografia

• Maurice Fréchet: Sur quelques points du calcul fonctionnel; Rend. del Circ. Mat. di Palermo, 22 (1906), s. 1–74.
• Hahn, Hans: Theorie der reellen Funktionen. Berlin: J. Springer, 1921.
• Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. siódme rozszerzone. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 9.
• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 47.
• Roman Duda: Wprowadzenie do topologii. Cz. I. Topologia ogólna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1986, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 61. ISBN 83-01-05714-9.
• Kuratowski, Kazimierz: Topology, Volume I, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1966.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Uniform Convergence, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-06-20].