Zbieżność prawie wszędzie

Zbieżność prawie wszędzie ciągu funkcji względem (pewnej) miary – rodzaj zbieżności ciągów funkcyjnych rozważany w teorii miary i analizie matematycznej. Pojęcie to pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku. W teorii prawdopodobieństwa i statystyce znane jest ono pod nazwą zbieżność z prawdopodobieństwem 1 lub prawie na pewno.

DefinicjaEdytuj

Teoria miaryEdytuj

Niech   będzie przestrzenią mierzalną oraz niech   będzie miarą. Niech   będzie przestrzenią metryczną,   oraz  

Mówimy, że ciąg   jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji   (względem miary   na zbiorze  ), jeśli istnieje zbiór mierzalny   taki, że

  dla  

Ciąg funkcji   jest więc zbieżny prawie wszędzie do funkcji   jeśli jest on zbieżny punktowo do funkcji   poza zbiorem miary zero.

Teoria prawdopodobieństwaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią probabilistyczną.

Przypadek jednowymiarowy

Niech   będą zmiennymi losowymi. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych   jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) do zmiennej   jeżeli

 
Przypadek wielowymiarowy

Niech   będą wektorami losowymi. Mówimy, że ciąg wektorów losowych   jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) do wektora   jeżeli

 

gdzie   oznacza normę euklidesową w  

UwagiEdytuj

  • Pojęcie zbieżności z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) jest odpowiednikiem zbieżności prawie wszędzie. W rachunku prawdopodobieństwa i statystyce terminy te są stosowane zamiennie.
  • Zdanie: „ciąg   jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji  ”, używając symboliki matematycznej zapisuje się krótko:
 

WłasnościEdytuj

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj