Otwórz menu główne

Spis treści

Przestrzeń mierzalnaprzestrzeń wraz z wyróżnioną rodziną jej zbiorów nazywaną σ-ciałem lub σ-algebrą zbiorów, do której należą zbiór pusty, dopełnienie dowolnego zbioru z rodziny oraz suma dowolnej przeliczalnej liczby jej zbiorów (skończonej lub nieskończonej).

Przestrzenie mierzalne bada się głównie w teorii mnogości, teorii miary i rachunku prawdopodobieństwa, w ostatnich dwóch dziedzinach w powiązaniu z miarami (w drugim przypadku: miarami probabilistycznymi), które są funkcjami przestrzeni mierzalnych w zbiór liczb rzeczywistych.

WprowadzenieEdytuj

We wczesnych latach rozwoju teorii miary i teorii mnogości zauważono, że aksjomat wyboru dopuszcza istnienie dziwnych zbiorów, zawartych w przestrzeni liczb rzeczywistych, dla których nie można jednoznacznie określić ich wielkości (tj. miary Lebesgue’a, przykładem jest zbiór Vitalego[1]).

Aby ustrzec się tego rodzaju problemów nałożono ograniczenia na możliwe do mierzenia za pomocą miar zbiory (tzw. zbiory mierzalne). Pierwotnie założono, że powinny to być zbiory zamknięte na podstawowe operacje: przekrój, sumę oraz dopełnienie, przy czym zakładano, że można wykonywać skończoną liczbę sumowań. Tego rodzaju „porządne” rodziny zbiorów nazywa się ciałami zbiorów (lub algebrami zbiorów); rozpatrywano na nich funkcje nazywane „miarami”, które dziś nazywa się miarami skończenie addytywnymi.

Prawdziwy przełom przyniosło rozszerzenie warunku zamkniętości na przeliczalne (a nie tylko skończone) sumy zbiorów, dla których określa się miary. Zbiory te nazwano σ-ciałami. W ten sposób uogólniono definicję „miar” do miar przeliczalnie addytywnych (nazywanych dziś po prostu miarami).

Nie jest to jedyne rozwiązanie. Np. zrezygnowanie z aksjomatu wyboru na rzecz aksjomatu determinacji powoduje, że wszystkie podzbiory zbioru liczb rzeczywistych stają się wtedy mierzalne (twierdzenie Mycielskiego–Świerczkowskiego[2]). Podobnie mierzalne okazują się podzbiory liczb rzeczywistych spełniające zadość odpowiednim aksjomatom dużych liczb kardynalnych. Powyższe aksjomaty są jednak w wielu zastosowaniach zbyt restrykcyjne i mają raczej znaczenie teoretyczne.

DefinicjeEdytuj

Niech   będzie ustaloną przestrzenią. Rodzinę   zbiorów przestrzeni   nazywa się σ-ciałem lub σ-algebrą tej przestrzeni, jeżeli:

  • zbiór pusty należy do  
     
  • dopełnienie zbioru należącego do   należy do  
     
  • suma przeliczalnie wielu zbiorów należących do   należy do  
     

Jeżeli dana jest przestrzeń   oraz ustalone jest w niej σ-ciało   to zbiory należące do σ-ciała   nazywa się zbiorami  -mierzalnymi (krótko: mierzalnymi).

Parę   złożoną z przestrzeni   i określonego na nim σ-ciała   nazywa się przestrzenią mierzalną.

σ-ciała generowane przez rodziny zbiorówEdytuj

σ-ciało generowane przez dowolną rodzinęEdytuj

Niech   będzie dowolną rodziną podzbiorów zbioru   Wówczas istnieje jednoznacznie wyznaczone, najmniejsze σ-ciało zawierające każdy zbiór należący do rodziny   (przy czym nie musi być ona σ-ciałem): jest to w istocie część wspólna wszystkich σ-ciał zawierających   Oznacza się ją   i nazywa σ-ciałem generowanym przez rodzinę  

Jeśli   jest pusta, to   W przeciwnym przypadku zawiera ona wszystkie zbiory przestrzeni   które można uzyskać z elementów   za pomocą przeliczalnej ilości dopełnień, sum i przekrojów. W przypadku rodziny zawierającej pojedynczy zbiór   nadużywa się często notacji pisząc   zamiast   czy   zamiast   w przypadku większej ich liczby.

σ-ciało generowane przez funkcjęEdytuj

Jeśli   jest funkcją przestrzeni   w przestrzeń   a   jest σ-ciałem zbiorów w   to σ-ciałem generowanym przez funkcję   oznaczanym   nazywa się zbiór wszystkich przeciwobrazów   zbiorów   należących do   tj.

 

Funkcję   jest mierzalna względem σ-ciała   zbiorów przestrzeni   wtedy i tylko wtedy, gdy   jest podzbiorem  

Gdy   nie jest wyraźnie określona, powszechnie rozumie się, że gdy   jest przestrzenią metryczną lub topologiczną, to   jest rodziną zbiorów borelowskich przestrzeni  

σ-ciała borelowskie i Lebesgue’aEdytuj

Ważnym przykładem jest wspomniane wcześniej σ-ciało zbiorów borelowskich nad dowolną przestrzenią topologiczną generowane przez zbiory otwarte (lub równoważnie: domknięte). Zwykle to σ-ciało nie jest niewłaściwe (tj. nie jest zbiorem potęgowym przestrzeni, zob. Przykłady); nietrywialnym przykładem zbioru nie-borelowskiego jest wspomniany we Wprowadzeniu zbiór Vitalego.

W przestrzeniach euklidesowych doniosłe znaczenie ma inne σ-ciało: σ-ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a, które zawiera więcej zbiorów niż σ-ciało zbiorów borelowskich tych przestrzeni. Z tego powodu jest ono preferowane w teorii całkowania, jako że czyni ona z przestrzeni euklidesowych przestrzenie zupełnie mierzalne.

σ-ciało produktoweEdytuj

Niech   i   będą przestrzeniami mierzalnymi. Rodzina

 

jest π-układem w przestrzeni produktowej   określone w naturalny sposób σ-ciało produktowe   dane jest wzorem

 

Powyższą definicję można indukcyjnie uogólnić na skończoną liczbę przestrzeni mierzalnych.

PrzykładyEdytuj

  1. Niech   będzie niepustym zbiorem. Wówczas następujące rodziny podzbiorów   są σ-ciałami na  
    • rodzina złożona ze zbioru pustego i przestrzeni   to najmniejsze σ-ciało nazywa się trywialnym;
    • rodzina wszystkich podzbiorów przestrzeni   to największe σ-ciało na danym zbiorze nazywa się niewłaściwym lub dyskretnym;
    • rodzina   dla dowolnego  
  2. Niech   będzie σ-ciałem podzbiorów   a   będzie σ-ideałem podzbiorów   Wówczas σ-ciałem generowanym przez   jest zbiór
     
gdzie   oznacza operację różnicy symetrycznej.
W szczególności, gdy   jest σ-ciałem podzbiorów borelowskich prostej rzeczywistej   a   oznacza σ-ideał zbiorów miary zero (w sensie Lebesgue’a), zaś   jest σ-ideałem zbiorów mizernych (pierwszej kategorii w sensie Baire’a), to
  jest zbiorem typu Gδ  jest σ-ciałem zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a
oraz
  jest zbiorem otwartym  jest σ-ciałem zbiorów o własności Baire’a.
Zatem przestrzeń   jest mierzalna w sensie Lebesgue’a (tj. z miarą Lebesgue’a).

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Giuseppe Vitali. Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta. „Bologna, Tip. Gamberini e Parmeggiani”, 1905. 
  2. Jan Mycielski, Stanisław Świerczkowski: On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness. „Fundamenta Mathematicae”. 54 (1964), s. 67–71.

BibliografiaEdytuj