Własność Baire’a

Własność Baire’a – własność zbioru wskazująca na pewnego rodzaju jego regularność: można go uważać za zbiór prawie otwarty. Nazwa nadana dla uhonorowania René-Louisa Baire’a.

Zbiór przestrzeni topologicznej ma własność Baire’a, jeżeli można go przedstawić w postaci różnicy symetrycznej zbioru otwartego i mizernego równoważnie: różnica symetryczna zbioru i zbioru otwartego jest mizerna.

PrzykładyEdytuj

WłasnościEdytuj

  • W dowolnej przestrzeni topologicznej, zbiory o własności Baire’a tworzą σ-ciało podzbiorów tej przestrzeni. Jest to najmniejsze σ-ciało zawierające zarówno zbiory otwarte, jak i zbiory mizerne.
  • Jeśli podzbiór   przestrzeni polskiej   ma własność Baire’a, to odpowiednia gra Banacha-Mazura   jest zdeterminowana.
  • Polscy matematycy Jan Mycielski i Hugo Steinhaus wykazali, że aksjomat determinacji pociąga własność Baire’a wszystkich podzbiorów prostej[1].

MierzalnośćEdytuj

Własność Baire jest najczęściej rozważana dla podzbiorów przestrzeni polskich czy wręcz podzbiorów prostej rzeczywistej. W tym kontekście jest ona często porównywana do mierzalności w sense Lebesgue’a. Matematycy pracujący w teorii mnogości, topologii, czy też teorii miary są często zainteresowani odkrywaniem podobieństw, jak i przeciwieństw między tymi własnościami[2][3].

jeśli   są przestrzeniami polskimi i   jest zbiorem o własności Baire’a,
to   jest zbiorem mizernym wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór
  nie jest mizerny w  
jest mizerny w   (w istocie wystarczy założenie, że  Hausdorffa i   ma przeliczalną π-bazę).

Powyższe twierdzenie jest uważane za topologiczny odpowiednik twierdzenia Fubiniego dla miary.

  • Niech   będzie przestrzenią polską i   Wówczas można znaleźć zbiór   mający własność Baire’a i taki, że
jeśli   ma własność Baire’a, to   jest mizerny.

Ten wynik jest często podawany jako topologiczny odpowiednik miary zewnętrznej.

  • W 1970, Robert M. Solovay udowodnił, że zakładając istnienie liczby nieosiągalnej, istnieje model teorii mnogości w którym wszystkie rzutowe podzbiory prostej są mierzalne w sensie Lebesgue’a i mają własność Baire’a[5].
  • W 1984 Saharon Szelach wykazał, że[6]
    • model, w który wszystkie zbiory rzutowe mają własność Baire’a, może być otrzymany bez użycia liczb nieosiągalnych, ale
    • mierzalność zbiorów rzutowych implikuje, że   jest liczbą nieosiągalną w uniwersum zbiorów konstruowalnych (Kurta Gödla).

Ten wynik Shelaha był jednym z pierwszych istotnych przykładów asymetrii pomiędzy własnością Baire’a a mierzalnością w sensie Lebesgue’a.

  • Randall Dougherty, Matthew Foreman[7] udowodnili, że jest możliwy paradoksalny rozkład kuli na kawałki które mają własność Baire’a. (Części rozkładu paradoksalnego muszą być niemierzalne).

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Jan Mycielski, Hugo Steinhaus: A mathematical axiom contradicting the axiom of choice, „Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys.” 10 (1962), s. 1–3.
  2. John C. Oxtoby, Measure and category. A survey of the analogies between topological and measure spaces, Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 2. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1980, ISBN 0-387-90508-1.
  3. Tomek Bartoszyński, Haim Judah, Set theory. On the structure of the real line, A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995, ISBN 1-56881-044-X.
  4. Kazimierz Kuratowski, Stanisław Ulam: Quelques propriétés topologiques du produit combinatoire, „Fundamenta Mathematicae” 19 (1932), s. 247–251.
  5. Robert M. Solovay, A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable, „Ann. of Math.” 92 (1970), s. 1–56.
  6. Saharon Shelah, Can you take Solovay’s inaccessible away?, „Israel J. Math.” 48 (1984), s. 1–47.
  7. Randall Dougherty, Matthew Foreman: Banach-Tarski decompositions using sets with the property of Baire, „J. Amer. Math. Soc.” 7 (1994), no. 1, s. 75–124.