Otwórz menu główne

Miara zewnętrznamonotoniczna i przeliczalnie podaddytywna funkcja zbiorów określona na rodzinie wszystkich podzbiorów danego zbioru. Prace nad nimi zapoczątkował[1] grecki matematyk Constantin Carathéodory[2]; z tego powodu funkcje tego rodzaju nazywa się też niekiedy miarami Carathéodory’ego.

Miary zewnętrzne znalazły wiele zastosowań w teoriomiarowej teorii mnogości: wykorzystuje się przede wszystkim do konstrukcji miar, w tym miary Lebesgue’a, za pomocą twierdzenia Carathéodory’ego o rozszerzeniu miary; ponadto były one kluczowe do zdefiniowania przez Feliksa Hausdorffa wymiaropodobnego niezmiennika metrycznego nazywanego dziś wymiarem Hausdorffa.

Definicja formalnaEdytuj

Niech   oznacza zbiór potęgowy pewnego zbioru   Funkcję   nazywa się miarą zewnętrzną (w zbiorze  ), gdy spełnia następujące warunki:

  •  
  • jeżeli   to   dla dowolnych  
  •   dla dowolnych  

Twierdzenie Carathéodory’egoEdytuj

Niech   będzie miarą zewnętrzną w zbiorze   Mówi się, że zbiór   spełnia warunek Carathéodory’ego względem   jeśli dla każdego   spełniona jest równość

 

która (z monotoniczności funkcji  ) jest równoważna równości

 

Równoważnie można to wyrazić następująco: zbiór   spełnia warunek Carathéodory’ego, gdy dla dowolnych zbiorów wewnętrznego   oraz zewnętrznego   spełniona jest równość:

 

Rodzinę zbiorów   spełniających warunek Carathéodory’ego (względem  ) nazywa się też zbiorami mierzalnymi w sensie Carathéodory’ego. Twierdzenie Carathéodory’ego mówi, że   jest σ-ciałem, a   zawężona do   jest miarą zupełną, nazywaną miarą wyciętą z  

PrzykładyEdytuj

Miara zewnętrzna wyznaczona przez miarę

Niech   będzie miarą na przestrzeni mierzalnej   Funkcja   dana wzorem

 

jest miarą zewnętrzną nazywaną miarą zewnętrzną wyznaczoną przez miarę  

Jeżeli   jest miarą wyciętą z miary zewnętrznej   przy użyciu metody Caratheodory’ego oraz   jest miarą zewnętrzną wyznaczoną przez miarę   to na ogół miary   i   są różne. W przypadku, gdy   jest miarą Lebesgue’a (którą można skonstruować przy użyciu wspomnianej metody z miary zewnętrznej Lebesgue’a  ), to  

Miara zewnętrzna wyznaczona przez funkcję zbiorów

Niech   będzie niepustym zbiorem oraz   będzie dowolną funkcją. Funkcja   dana wzorem

  jest przeliczalną rodziną zbiorów, których suma pokrywa  

jest miarą zewnętrzną, nazywaną miarą zewnętrzną wyznaczoną przez funkcję zbiorów  

Miara zewnętrzna Hausdorffa i jej modyfikacje
Osobny artykuł: miara Hausdorffa.

Niech   będzie przestrzenią metryczną,   będzie dowolną funkcją oraz   Funkcja   dana wzorem

  jest przeliczalną rodziną zbiorów o średnicy nie większej niż   których suma pokrywa  

jest miarą zewnętrzną w zbiorze  

Jeżeli   oraz   to   Funkcja dana wzorem

 

jest również miarą zewnętrzną. Jeżeli   oraz funkcja   dana jest wzorem

 

to miara zewnętrzna   nazywana jest r-wymiarową miarą zewnętrzną Hausdorffa w X.

Miary zewnętrzne metryczneEdytuj

Niech   będzie przestrzenią metryczną oraz   będzie miarą zewnętrzną w   Miarę   nazywa się miarą zewnętrzną metryczną (w przestrzeni  ), gdy

 

dla wszystkich   dla których

 

(w przypadku, gdy jeden ze zbiorów   lub   jest pusty przyjmuje się, że  ).

Jeśli   jest miarą zewnętrzną metryczną w   to dla każdego takiego ciągu podzbiorów   zbioru   o tej własności, że

 

dla każdej liczby naturalnej   który spełnia warunek

 

zachodzi równość

 

Ponadto wszystkie domknięte podzbiory przestrzeni   są mierzalne w sensie Carathéodory’ego względem   wynika więc stąd, że i każdy borelowski podzbiór przestrzeni   jest mierzalny w sensie Carathéodory’ego względem  

PrzypisyEdytuj

  1. Charalambos D. Aliprantis, Kim C. Border: Infinite Dimensional Analysis. Wyd. III. Springer, 2006, s. 379. ISBN 3-540-29586-0.
  2. Constantin Carathéodory: Vorlesungen über reelle Funktionen. Wyd. I (II). Berlin: Lipsk (New York: Chelsea): 1918 (1948).

BibliografiaEdytuj

  • David Fremlin: Measure Theory. T. 1: The Irreducible Minimum. University of Essex, 2004.
  • David Fremlin: Measure Theory. T. 4: Topological Measure Spaces. Torres Fremlin, 2003, s. 100–101.
  • Paul Halmos: Measure theory. D. van Nostrand and Co., 1950.
  • Marshall E. Munroe: Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley, 1953.
  • Andriej N. Kołmogorow, Siergiej W. Fomin: Introductory Real Analysis. Richard A. Silverman (tł.). Nowy Jork: Dover Publications, 1970. ISBN 0-486-61226-0.
  • Claude A. Rogers: Hausdorff measures. Wyd. III. Cambridge: Cambridge University Press, 1998, s. xxx + 195, seria: Cambridge Mathematical Library. ISBN 0-521-62491-6.