Otwórz menu główne

Miara Hausdorffa – rodzaj miary zewnętrznej, która przypisuje liczbę z zakresu do każdego zbioru w przestrzeni lub, bardziej ogólnie, w dowolnej przestrzeni metrycznej. Zerowymiarowa miara Hausdorffa to liczba punktów w zbiorze (jeśli jest skończony) lub jeśli jest nieskończony. Jednowymiarowa miara Hausdorffa zwykłej krzywej w jest równa jej długości. Podobnie, dwuwymiarowa miara Hausdorffa mierzalnego podzbioru w jest proporcjonalna do powierzchni tego zbioru. Stąd wynika, że miara Hausdorffa jest uogólnieniem wyliczenia, długości, powierzchni lub objętości. Istnieją -wymiarowe miary Hausdorffa dla dowolnego które niekoniecznie jest całkowite. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Feliksa Hausdorffa. Miary te są podstawowe w geometrycznej teorii miary. Pojawiają się one naturalnie w analizie harmonicznej lub teorii potencjału.

Definicja formalnaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią metryczną. Dla dowolnego podzbioru   niech   oznacza jego średnicę, to jest

 

Niech   będzie dowolnym podzbiorem   a   liczbą rzeczywistą. Definiuje się

 

Należy zauważyć, że   zmniejsza się monotoniczne wraz z wzrostem   gdyż im większe jest   tym więcej zestawów zbiorów jest dozwolonych, powodując, że infimum jest mniejsze. Zatem granica   istnieje, lecz może być nieskończona. Niech

 

Można zauważyć, że   jest miarą zewnętrzną. Nazywa się ją  -wymiarową miarą Hausdorffa z  

Według powyższej definicji zbiory pokrywające są dowolne. Jednak mogą one być otwarte lub zamknięte, a i tak wywołają taką samą miarę, mimo że przybliżenia   mogą się różnić[1].

WłasnościEdytuj

Jeśli   jest dodatnią liczbą całkowitą,   wymiarowa miara Hausdorffa w   jest przeskalowaną typową  -wymiarową miarą Lebesgue’a   która jest znormalizowana w taki sposób, że miara kostki jednostkowej   wynosi 1. Istotnie, dla dowolnego zbioru borelowskiego  

 

gdzie   to objętość hiperkuli jednostkowej

 

Uwaga: spotyka się też definicje miary Hausdorffa unormowane w taki sposób aby odpowiadały one dokładnie miarom Lebesgue’a stosownie do całkowitego wymiaru   przestrzeni euklidesowej.

Związek z wymiarem HausdorffaEdytuj

Jedna z kilku możliwych równoważnych definicji wymiaru Hausdorffa to

 

gdzie przyjmuje się

 

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Federer 1969, § 2.10.2.

BibliografiaEdytuj