Krzywa

Krzywa – uogólnienie linii prostej. Mimo intuicyjnej prostoty, pojęcie krzywej okazało się bardzo trudne do ścisłego zdefiniowania^[1]. Poprawna definicja powinna obejmować „dowolną linię” (w szczególności na płaszczyźnie lub przestrzeni trójwymiarowej), w tym także linię prostą, która mogłaby się rozgałęziać i przerywać.

Definicje formalne

Definicje historycznie odleglejsze

Komentatorzy Euklidesa określali krzywą jako „długość bez szerokości” oraz „ograniczenie powierzchni”. Nie są to jednak definicje w sensie matematycznym.
Kartezjusz definiował krzywą jako zbiór punktów spełniających pewne równanie. Definicja ta nie obejmuje jednak wszystkich przypadków.

Kolejna definicja określała krzywą jako sumę skończonej liczby łuków, z których żadne dwa nie mają wspólnych punktów oprócz swych końców. Okazało się jednak, że definicja ta nie obejmuje niektórych przypadków, np.

\left\{(x,y)\colon y=\sin {\tfrac {2\pi }{x}},\ 0<x\leqslant 1\right\}

z dołączonym odcinkiem

\left\{(x,y)\colon x=0,\ -1\leqslant y\leqslant 1\right\}.

Definicje topologiczne

Szereg definicji topologicznych używa pojęcia continuum (kontinuum), czyli przestrzeni zwartej i spójnej.

Camille Jordan w XIX wieku zdefiniował krzywą jako zbiór punktów płaszczyzny $\left(\varphi (t),\psi (t)\right),$ gdzie $\varphi$ i $\psi$ są funkcjami ciągłymi, zaś $t$ jest parametrem przebiegającym przedział liczb rzeczywistych. Innymi słowy krzywa to obraz przedziału (równoważnie: odcinka) w odwzorowaniu ciągłym. Okazało się wszakże, że definicja ta jest zbyt szeroka. W 1890 roku Giuseppe Peano pokazał, że obraz tak rozumianej krzywej może wypełniać kwadrat wraz z wnętrzem (tzw. krzywa Peana). Obecnie krzywą Jordana nazywa się homeomorficzny obraz okręgu.
Pod koniec XIX wieku Georg Cantor podał następującą definicję: krzywa płaska to takie continuum na płaszczyźnie, które nie zawiera żadnego koła o dodatnim promieniu. W przypadku płaszczyzny jest ona równoważna przytoczonej niżej definicji podanej przez Urysohna.
Krzywą nazywa się continuum o wymiarze 1. Innymi słowy jest to zbiór, w którym każdy jego punkt ma dowolnie małe otoczenia o zerowymiarowym brzegu. Jest to wtedy zbiór zwarty i spójny.
Krzywą nazywamy continuum, w którym dla każdego jego punktu i dowolnego jego otoczenia istnieje pewne otoczenie wspomnianego punktu zawarte w poprzednim, którego brzeg nie zawiera żadnego continuum złożonego z więcej niż jednego punktu. Definicja ta, sformułowana przez rosyjskiego matematyka Pawła Urysohna, pochodzi z końca lat 20. XX wieku.
Często przez krzywą rozumie się homeomorficzny obraz odcinka (domkniętego lub otwartego).

Definicje geometryczne

W przypadku geometrii różniczkowej definicje krzywej, jako obrazu odcinka otwartego przy odwzorowaniach różniczkowych, zakładają zawsze, że pierwsza pochodna jest różna od zera w każdym punkcie odcinka.

Ważne klasy krzywych definiuje się, nakładając dodatkowe warunki na funkcję $f\colon (a,b)\rightarrow \mathbb {R} ^{2},$ odwzorowującą przedział w płaszczyznę, na przykład dla funkcji różniczkowalnych otrzymuje się łuk regularny, a dla przedziałami liniowych – linię łamaną.
W geometrii różniczkowej płaszczyzny lub przestrzeni przez krzywą rozumie się na ogół odwzorowanie $r$ razy różniczkowalne przedziału otwartego na płaszczyznę $f\colon (a,b)\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ lub $f\colon (a,b)\rightarrow \mathbb {R} ^{3},$ gdzie $r$ -ta pochodna jest ciągła (tak zwane krzywe klasy ${\mathcal {C}}^{r}$ ). Często, aby uniknąć dyskusji o klasie gładkości zakłada się, że funkcje te mają wszystkie pochodne (tak zwane krzywe klasy ${\mathcal {C}}^{\infty };$ oczywiście wtedy wszystkie pochodne są ciągłe). Obrazy tych funkcji nie są wtedy zwarte^[2].