Droga (topologia)

Drogaciągłe przekształcenie z przedziału jednostkowego w przestrzeń topologiczną. Pętlą nazywa się drogę, której początek i koniec pokrywają się. Ich parametr, szczególnie przy homotopiach, nazywa się niekiedy czasem.

DefinicjaEdytuj

Niech   oraz niech   będzie przestrzenią topologiczną. Drogą nazywamy ciągłe przekształcenie  

Punktem początkowym drogi jest   a końcowym   Często mówi się o „drodze z   do  ”, co oczywiście oznacza, że punkty te są odpowiednio początkowym i końcowym danej drogi.

Pętlą zaczepioną w   nazywa się drogę z   do   Równoważnie można określić ją jako drogę   taką, że   lub jako ciągłe odwzorowanie okręgu jednostkowego w przestrzeń, czyli   Ostatnia równoważność wynika z tego, że   może być rozważane jako przestrzeń ilorazowa   z utożsamionymi punktami   i  

Zbiór pętli w   zaczepionych w   nazywamy przestrzenią pętli i oznaczamy symbolem  

Drogowa spójnośćEdytuj

Osobny artykuł: przestrzeń spójna.

Przestrzeń topologiczną, w której dla jej dowolnych dwóch punktów istnieje droga je łącząca, nazywa się drogowo spójną. Każda przestrzeń   może zostać rozbita na zbiór drogowo spójnych składowych, który oznaczany jest często  

UwagiEdytuj

Należy pamiętać, że droga nie jest tym samym co jej obraz. Oznacza to, że nie jest tylko podzbiorem   który wygląda jak krzywa, ale przede wszystkim odwzorowaniem z daną parametryzacją. Przykładem mogą być odwzorowania   oraz   będące dwiema różnymi drogami z   do   na prostej rzeczywistej.

Przestrzenie z wyróżnionym punktemEdytuj

Można także badać drogi i pętli w przestrzeniach topologicznych z wyróżnionym punktem, które są ważnymi obiektami w teorii homotopii. Niech   będzie taką przestrzenią, drogą w   nazywa się te drogi w   których punktem początkowym jest   Analogicznie pętlą w   nazywa się pętle zaczepione w  

HomotopiaEdytuj

 
Homotopia między dwiema drogami.
Osobny artykuł: homotopia.

Homotopia dróg i pętli jest niezwykle ważnym środkiem badawczym w dziale topologii algebraicznej, nazywanym teorią homotopii. Homotopia między drogami jest uściśleniem intuicji ciągłej deformacji drogi w jednostce czasu (którą jest przedział jednostkowy  ) przy zachowaniu jej punktów końcowych.

Homotopia między pętlami zaczepionymi we wspólnym punkcie pozwala przyporządkować przestrzeni topologicznej z wyróżnionym punktem grupę podstawową. Okazuje się, że jeżeli wspomniana przestrzeń jest łukowo spójna, to wybór punktu zaczepienia jest nieistotny.

DrogiEdytuj

Homotopią dróg z   do   w   nazywamy rodzinę dróg   taką, że

  •   i   są stałe,
  • odwzorowanie   dane wzorem   jest ciągłe.

PętleEdytuj

Homotopią pętli   nazywamy homotopię   łączącą   oraz   spełniającą warunek   dla  

Dla powyższej homotopii każda droga   jest pętlą w   zaczepioną w   Należy pamiętać, że na homotopię pętli nakłada się dodatkowy warunek: mianowicie aby punkt zaczepienia   nie ulegał przesunięciu.

RównoważnośćEdytuj

Drogi i pętle między którymi zachodzi homotopia, nazywa się homotopijnymi. Podobnie jak homotopia dowolnych przekształceń, homotopie dróg w   i pętli w  relacjami równoważności. Klasa równoważności drogi   tej relacji nazywana jest klasą homotopii i oznaczana często  

SkładanieEdytuj

Załóżmy, że   jest drogą z   do   zaś   z   do   Złożeniem dróg   i   nazywamy drogę   zdefiniowaną jako uprzednie przejście po   a następnie po  

 

Jeżeli rozważymy wszystkie pętle zaczepione w   to złożenie dróg staje się działaniem dwuargumentowym. Złożenie dróg nie jest łączne z powodu różnic w parametryzacjach, jednakże jest łączne na poziomie homotopii, tj.  

Grupa podstawowaEdytuj

Osobny artykuł: grupa podstawowa.

Składanie dróg określa na zbiorze klas homotopii pętli zaczepionych we wspólnym punkcie   strukturę grupy, nazywanej grupą podstawową i oznaczaną  

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • S. Betley, J. Chaber, E. i R. Pol, Topologia I wykłady i zadania, skrypt 2005.