Działanie dwuargumentowe

Działanie dwuargumentowe a. binarnedziałanie algebraiczne o argumentowości równej 2, czyli funkcja przypisująca dwóm elementom inny; wszystkie elementy mogą pochodzić z innych zbiorów.

OznaczeniaEdytuj

Działania, w przeciwieństwie do funkcji zapisywanych zwykle z wykorzystaniem zapisu przedrostkowego, np.   opisuje się najczęściej za pomocą zapisu wrostkowego, np.   choć oczywiście nic nie stoi na przeszkodzie, aby korzystać z pozostałych sposobów: dla funkcji (działania)   wyróżnia się notacje

  • przedrostkową, prefiksową lub polską,
     
  • przyrostkową, postfiksową lub odwrotną polską,
     
  • wrostkowa, infiksowa,
     

Przykładowo wyrażenie wrostkowe   będzie miało następującą postać

  • prefiksową:  
  • postfiksową:  

Przewagą notacji przyrostkowej, jak i przedrostkowej nad notacją wrostkowej jest fakt, że nawiasy w wyrażeniach można pominąć nawet wtedy, gdy działanie nie jest łączne.

Ze względu na tradycję, szczególnie jeśli rozważa się więcej niż jedno działanie i pozostają one między sobą w pewnej relacji, to funkcje w zapisie addytywnym zapisuje się zwykle z wykorzystaniem symboli zawierających:

  • plus:
      lub
  • zwężających się ku dołowi:
     

Działanie odwrotne do powyższego zapisuje się zazwyczaj za pomocą symboli zawierających poziomą kreskę  

Symbole działań w zapisie multiplikatywnym obejmują m.in.:

  • kropkę lub okrągły znak:
     
  • iks:
     
  • gwiazdkę:
      lub
  • zwężające się ku górze
     

Popularne działania multiplikatywne (mnożenia) częstokroć nie posiadają oznaczenia. Działanie odwrotne do powyższego oznacza się najczęściej przez   notacji wynikającej z definicji potęgowania.

PrzykładyEdytuj

Zobacz też: algebra ogólna.

Działania wewnętrzneEdytuj

Działanie wewnętrzne to funkcja przypisująca każdej parze uporządkowanej elementów danego zbioru   element tego zbioru,

 

Strukturę   nazywa się grupoidem. Jeśli jest ono dodatkowo łączne, strukturę tę nazywa się półgrupą. Jeśli działanie   ma dodatkowo element neutralny, to struktura   jest monoidem. Jeśli struktura   jest grupą ze względu na przemienne działanie   i półgrupą ze względu na   przy czym działanie   jest rozdzielne względem   to strukturę tę nazywa się pierścieniem. Jeżeli działanie   jest przemienne, to dowolną z powyższych struktur nazywa się przemienną.

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie na liczbach rzeczywistych są działaniami dwuargumentowym w zbiorze liczb rzeczywistych. Dzielenie nie jest działaniem, gdyż nie jest określone dla par postaci   Mnożenie i dodawanie liczb jest łączne i przemienne. Z kolei odejmowanie i dzielenie, nie są ani łączne, ani przemienne. Elementem neutralnym dodawania liczb rzeczywistych jest   elementem neutralnym mnożenia jest   Działania odejmowania i dzielenia liczb rzeczywistych nie mają elementów neutralnych.

W zbiorze liczb naturalnych można określić działanie potęgowania:   które parze liczb   przypisuje odpowiednią potęgę:  

Dodawanie wektorów w przestrzeni liniowej jest działaniem dwuargumentowym w zbiorze wektorów tej przestrzeni.

Działanie składania funkcji   jest działaniem dwuargumentowym w zbiorze   W ogólności składanie funkcji jest łączne, ale nie jest przemienne.

Działania zewnętrzneEdytuj

Działanie zewnętrzne to funkcja przypisująca każdemu elementowi iloczynu kartezjańskiego zbiorów   oraz   element pewnego zbioru  

 

Przykładami takich działań są

  • mnożenie przez skalar w przestrzeni liniowej   nad ciałem  
     
  • działanie grupy   na zbiorze  
     

Zobacz teżEdytuj