Otwórz menu główne

Para uporządkowana – każdy obiekt matematyczny powstały z dowolnych dwóch elementów w którym może być określony jako pierwszy, a jako drugi element pary; nazywa się je odpowiednio poprzednikiem oraz następnikiem pary[1][2] (w innych kontekstach używa się też innych określeń, np. pierwsza/druga współrzędna, rzut lewo-/prawostronny). Parę złożoną z wymienionych elementów oznacza się zwykle symbolem choć stosuje się też inne notacje, gdy można by go mylnie wziąć za inny obiekt (np. za przedział otwarty w zbiorze liczb rzeczywistych), przykładowo (którym oznacza się również iloczyn skalarny).

Podstawową własnością par uporządkowanych jest to, że

Własność charakteryzująca
wtedy i tylko wtedy, gdy oraz

Wynika stąd, że wtedy i tylko wtedy, gdy

Parę uporządkowaną należy odróżniać od pary nieuporządkowanej która jest zbiorem utworzonym z elementów toteż

Prototypowym przykładem pary uporządkowanej są współrzędne punktu na płaszczyźnie.

Iloczyn kartezjańskiEdytuj

Zbiór wszystkich par uporządkowanych, których poprzednik należy do zbioru   a następnik do zbioru   nazywa się iloczynem kartezjańskim   oraz   oznaczanym symbolem

 

Relacja dwuargumentowa nad dziedziną   jest formalnie definiowana jako zbiór tych par   które pozostają w danej relacji, a zatem jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego  

W teorii mnogości pojęcie funkcji   definiuje się jako zbiór par uporządkowanych   a więc też jako podzbiór iloczynu kartezjańskiego  

Definicje teoriomnogościoweEdytuj

Pojęcie pary uporządkowanej, intuicyjnie oczywiste, sprawia poważne trudności przy próbach zdefiniowania go w terminach aksjomatycznej teorii mnogości[3]. Nie można bowiem wtedy użyć takich określeń jak np. „kolejność elementów” czy „pierwsze miejsce”. Felix Hausdorff[4] był świadom, że jego definicja, w której używał symboli   i   ma ten mankament, że owe   i   nie mogą być symbolami liczb 1 i 2: gdy   lub   byłyby liczbami 1 lub 2 doszłoby do kolizji oznaczeń.

Własność charakterystyczna par uporządkowanych, wspomniana wyżej, jest wszystkim co konieczne do zrozumienia istoty par uporządkowanych w matematyce. Dlatego para uporządkowana może być postrzegana jako pojęcie pierwotne, którego aksjomatem jest wspomniana własność charakteryzująca. Podejście to wykorzystywała grupa N. Bourbakiego w swojej Teorii mnogości wydanej w 1954 roku.

Niżej podano kilka definicji teoriomnogościowych pary uporządkowanej.

Definicja WieneraEdytuj

Pierwszą teoriomnogościową definicję pary uporządkowanej zaproponował w 1914 roku Norbert Wiener[5]:

 

Zauważył on, że definicja ta umożliwiła zdefiniowanie typów Principia mathematica za pomocą zbiorów. W Principia Mathematica używano typów, dlatego relacje wszystkich arnościpojęciami pierwotnymi.

Definicja HausdorffaEdytuj

Mniej więcej w tym samym czasie co Wiener (1914) swoją definicję zaproponował Felix Hausdorff:

 

„gdzie   i   są dwoma różnymi obiektami różnymi od   i  [6].

Definicja KuratowskiegoEdytuj

W 1921 roku Kazimierz Kuratowski przedstawił do dzisiaj przyjmowaną definicję[7][8] pary uporządkowanej  

 [9].

Definicja pozostaje prawidłowa, jeśli pierwsza i druga współrzędna są identyczne, tzn.

 

Dla danej pary uporządkowanej   własność „  jest pierwszym elementem” może być wyrażone jako

 

a własność „  jest drugim elementem  ” jako

 

Należy zauważyć, że definicja ta jest dalej prawidłowa dla pary uporządkowanej

 

w tym przypadku wyrażenie

  jest spełnione trywialnie, ponieważ nigdy nie zachodzi przypadek  

Inną metodą jest skorzystanie z działań iloczynu i sumy zbiorów:

 
 

Wtedy   to jedyny element zbioru   Uzyskanie   wymaga rozważenia dwóch przypadków:

  • jeśli   to   i  
  • jeśli   to   a więc   czyli   to jedyny element tego zbioru.

WariantyEdytuj

Powyższa definicja Kuratowskiego pary uporządkowanej jest „adekwatna” w tym sensie, iż spełnia własność charakteryzującą parę uporządkowaną (tzn. jeśli   to   i  ), ale również arbitralna, ponieważ istnieje wiele innych adekwatnych definicji o podobnej lub mniejszej złożoności, jak na przykład:

  •  
  •  
  •  

Para „odwrócona” jest mało interesująca, ponieważ brak jej jakiejkolwiek oczywistej zalety (lub wady) względem pary Kuratowskiego. „Krótka” para jest tak nazywana, gdyż w jej definicji korzysta się z dwóch, a nie trzech, nawiasów. Ma ona jednak tę wadę, że dowód własności charakteryzującej parę (zobacz wyżej) wymaga użycia aksjomatu regularności (z ZFC). Co więcej, jeśli przyjmie się standardową definicję liczb naturalnych, to   jest zbiorem   który jest nieodróżnialny od pary  

Dowód własności charakteryzującejEdytuj

Twierdzenie:   wtedy i tylko wtedy, gdy   oraz  

Definicja Kuratowskiego
Jeżeli   to
 
oraz
 
stąd   a więc  
Jeżeli   to wtedy  
Załóżmy, że   Wówczas   i dlatego   Ale wtedy   również równałoby się   czyli   co przeczy  
Założenie   dające   przeczy  
Dlatego   lub   oraz  
Jeżeli byłoby prawdą, że   to   sprzeczność. A więc   i dlatego   i  
Odwrotnie:   oraz   to   Stąd  
Definicja odwrócona
Prawdą jest, że    
Jeżeli   to   stąd   oraz  
W przeciwną stronę, jeżeli   i   to   a więc  

Definicja Quine’a-RosseraEdytuj

Rosser (1953)[10] przyjął definicję pary uporządkowanej pod wypływem Willarda Van Ormana Quine’a, która wymaga wcześniejszego zdefiniowania liczb naturalnych. Niech   będzie zbiorem liczb naturalnych oraz

 

Przyłożenie tej funkcji zwiększa o jeden liczbę naturalną w   W szczególności   nie zawiera liczby   a więc dla dowolnych zbiorów   oraz  

 

Parę uporządkowaną   definiuje się jako

 

Wydobycie wszystkich elementów z pary nie zawierających   i anulowanie   daje   Podobnie można odzyskać   z elementów pary zawierających  

W teorii typów oraz w teoriach mnogości takich jak New Foundations, które zasadzają się na teorii typów, para ta ma ten sam typ co jej rzuty (stąd też nazywa się ją parą uporządkowaną „typ-poziom”). Dlatego definicja ta ma tę zaletę, iż funkcja zdefiniowana jako zbiór par uporządkowanych ma typ tylko o jeden wyższy niż typ jej argumentów. Szczegółowe informacje o parze uporządkowanej w kontekście teorii mnogości Quine’a znajdują się w pozycji Holmesa (1998)[11].

Definicja Morse’aEdytuj

Teoria mnogości Morse’a-Kelleya (Morse, 1965)[12] korzysta w swobodny sposób z klas właściwych. Morse zdefiniował parę uporządkowaną tak, aby jej rzuty mogły być, obok zbiorów, klasami właściwymi (definicja Kuratowskiego na to nie zezwala). Najpierw zdefiniował on pary uporządkowane, których rzuty są zbiorami, na modłę Kuratowskiego. Następnie przedefiniował parę   jako   gdzie składowe iloczyny kartezjańskie są parami Kuratowskiego na zbiorach. To właśnie ten drugi krok sprawia, że prawidłowe są pary, których rzuty są klasami właściwymi. Powyższa definicja Quine’a-Rossera również umożliwia użycie klas właściwych jako rzutów.

Trójki, czwórki... n-ki uporządkowaneEdytuj

Osobny artykuł: trójka uporządkowana.
Zobacz też: ciąg (matematyka).

Pary uporządkowane mogą mieć za elementy inne pary uporządkowane. Z tego powodu para uporządkowana może służyć definicji rekurencyjnej krotek (n-tek) uporządkowanych (uporządkowanych list n-elementowych). Na przykład trójka uporządkowana   może być zdefiniowana jako   jedna para zagnieżdżona w innej. To podejście znajduje swoje odzwierciedlenie w językach programowania komputerów, gdzie można skonstruować listę elementów za pomocą zagnieżdżonych par uporządkowanych: lista   oznacza   Język Lisp używa tego typu list jako podstawowej struktury danych.

Za pomocą pojęcia pary uporządkowanej można zdefiniować indukcyjnie kolejno trójki, czwórki, piątki... n-tki uporządkowane. W żargonie informatycznym pojęcia te występują zbiorczo pod nazwą krotek (n-elementowych).

Dla   n-tkę uporządkowaną

 

definiuje się jako parę uporządkowaną

 

lub

 

Do celów technicznych można przyjąć umowę, że

 

oraz

 

PrzypisyEdytuj

  1. Helena Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1968.
  2. Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydanie trzecie zmienione i poprawione, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1997, s. 269 ​ISBN 83-02-06609-5​.
  3. Z. Semadeni, Trudności epistemologiczne związane z pojęciami: pary uporządkowanej i funkcji, Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego. Seria V: Dydaktyka Matematyki, t. 24 (2002), s. 119–144.
  4. F. Hausdorff, Grundzüge der Mangenlehre, Leipzig, 1914.
  5. Praca Wienera „A Simplification of the logic of relations” została przedrukowana wraz z wartościowym komentarzem na stronach 224nn w van Heijenoort, Jean (1967), From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1979–1931, Harvard University Press, Cambridge MA, ​ISBN 0-674-32449-8​ (pbk.). van Heijenoort wyraża uproszczenie w następujący sposób: „Zdefiniowanie pary uporządkowanej dwóch elementów za pomocą operacji klasowych sprawia, iż uwaga redukuje teorię relacji do teorii klas”. (By giving a definition of the ordered pair of two elements in terms of class operations, the note reduced the theory of relations to that of classes).
  6. Zob. wprowadzenie do pracy Wienera w van Heijenoort 1967:224.
  7. Helena Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, s. 60.
  8. Zob. wprowadzenie do pracy Wienera w van Heijenoort 1967:224. van Heijenoort zauważa, że zbiór wynikowy, który reprezentuje parę uporządkowaną „ma typ wyższy o 2 od swoich elementów (jeśli są tego samego typu)” (has a type higher by 2 than the elements (when they are of the same type)); przedstawia również źródła, które, pod pewnymi warunkami, pokazują jak typ może być zredukowany do   czy  
  9. Jacek Cichoń, Wykłady ze wstępu do matematyki, s. 131, Definicja C.1.
  10. John Barkley Rosser, 1953. Logic for Mathematicians. McGraw-Hill.
  11. M. Randall Holmes: Elementary Set Theory with a Universal Set. Academia-Bruylant, 1998. Wydawca wyraził zgodę na udostępnienie tej monografii w sieci (prawa autorskie są zastrzeżone).
  12. Anthony P. Morse: A Theory of Sets. Academic Press, 1965.