Trójka uporządkowana

Trójka uporządkowana – zbiór zbudowany z obiektów $x,y,z$ tak, aby była określona kolejność tych elementów, oznaczany zazwyczaj symbolem $(x,y,z)$ ^[1]^[2]. Elementy trójki uporządkowanej nazywa się jej współrzędnymi^[1]. Przy powyższym zapisie, $x$ nazywa się pierwszą współrzędną, $y$ – drugą współrzędną, a $z$ – trzecią współrzędną^[1].

Definicje formalne edytuj

Za pomocą pary edytuj

Formalnie, przy pomocy pojęcia pary uporządkowanej, definiuje się trójkę uporządkowaną $(x,y,z)$ jako parę uporządkowaną $((x,y),z)$ ^[1]^[2]^[3]. Korzystając z definicji pary Kuratowskiego, trójka wyglądała by wówczas tak:

$(x,y,z)=((x,y),z)=(\{\{x\},\{x,y\}\},z)={\Bigl \{}{\Bigl \{}\{\{x\},\{x,y\}\}{\Bigr \}},{\Bigl \{}\{\{x\},\{x,y\}\},z{\Bigr \}}{\Bigr \}}$

Analogicznie można zdefiniować n-kę uporządkowaną uporządkowaną, dla każdego $n\geq 3$ ^[1]^[2]^[3]^[4].

Niezależnie od pary edytuj

Można zdefiniować trójkę niezależnie od pojęcia pary, na podobnej zasadzie jak krótką parę Kuratowskiego:

$(x,y,z)={\Bigl \{}x,\{x,y\},\{x,y,z\}{\Bigr \}}$

Własności i zastosowanie edytuj

Można udowodnić twierdzenie stwierdzające, że $(a,b,c)=(d,e,f)\Leftrightarrow (a=d\wedge b=e\wedge c=f)$ ^[1]^[2]^[3].

Trójki uporządkowane stosowane są np. do zapisu współrzędnych punktów w przestrzeniach trójwymiarowych^[5].

Przypisy edytuj

↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ISBN 83-02-02551-8, s. 328: Trójka uporządkowana.
↑ ^a ^b ^c ^d Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek, Teoria mnogości, PWN, Warszawa 2015, ISBN 978-83-01-15232-1, s. 6-8
↑ ^a ^b ^c Wiktor Marek, Janusz Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14547-7, s. 22
↑ Antoni Chronowski, Zadania z elementów teorii mnogości i logiki matematycznej, Wydawnictwo Dla Szkoły, Wilkowice 2004, ISBN 83-88396-42-0, s. 32
↑ Helena Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14294-0, s. 71

[ency-1] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ISBN 83-02-02551-8, s. 328: Trójka uporządkowana.

[TM-2] Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek, Teoria mnogości, PWN, Warszawa 2015, ISBN 978-83-01-15232-1, s. 6-8

[zad-3] Wiktor Marek, Janusz Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14547-7, s. 22

[4] Antoni Chronowski, Zadania z elementów teorii mnogości i logiki matematycznej, Wydawnictwo Dla Szkoły, Wilkowice 2004, ISBN 83-88396-42-0, s. 32

[5] Helena Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14294-0, s. 71

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]