Otwórz menu główne
Ten artykuł dotyczy iloczynu skalarnego przestrzeni euklidesowych. Zobacz też: iloczyn skalarny określany w abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych.

Iloczyn skalarny – pewna forma dwuliniowa na danej przestrzeni liniowej, tj. dwuargumentowa funkcja o szczególnych własnościach przyporządkowująca dwóm wektorom danej przestrzeni liniowej wartość skalarną. Czasami spotyka się również nazwę iloczyn wewnętrzny, który zwykle odnosi się jednak do ogólnych iloczynów skalarnych wprowadzanych w abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych nazywanych wtedy przestrzeniami unitarnymi; przestrzenie afiniczne z wyróżnionym iloczynem skalarnym nazywa się przestrzeniami euklidesowymi.

Zasadniczym celem wprowadzania iloczynu skalarnego w danej przestrzeni liniowej jest wprowadzenie na niej geometrii euklidesowej, w szczególności kąta między dwoma wektorami, co umożliwia mówienie o ich prostopadłości (nazywanej w tym kontekście ich ortogonalnością, która jest nieznacznym uogólnieniem) oraz obrotu. Iloczyn skalarny stanowi więc pomost między geometrią syntetyczną a geometrią analityczną. Ponieważ trójwymiarowa przestrzeń euklidesowa jest dobrym przybliżeniem świata rzeczywistego w skali makroskopowej, to iloczyn skalarny w niej określony znajduje zastosowanie w fizyce klasycznej, np. mechanice klasycznej (branie rzutów wektora siły wypadkowej jest tego przykładem); z kolei w mechanice kwantowej rozpatruje się (nieskończeniewymiarowe) przestrzenie Hilberta, czyli przestrzenie liniowe (nieskończonego wymiaru) z iloczynem skalarnym i dodatkową strukturą topologiczną (zob. Uogólnienia). Przykładowo praca mechaniczna to wielkość fizyczna wyrażająca się jako iloczyn skalarny siły oraz przemieszczenia

W artykule opisano iloczyn skalarny określony na rzeczywistych przestrzeniach współrzędnych[1] oraz wymiaru wraz z ortonormalną bazą standardową, nazywany też zwykłym, standardowym (w przestrzeniach afinicznych nazywa się go także euklidesowym); niżej określenia te będą pomijane (użyto notacji ustalonej w artykule o przestrzeniach współrzędnych[2]). Uogólnienia opisano w oddzielnej sekcji.

Definicja i własnościEdytuj

Zobacz też: forma dwuliniowa.

Standardowy iloczyn skalarny definiuje się wzorem

 

w zapisie macierzowym (przy użyciu mnożenia macierzy) ma on postać

 

gdzie   oznacza transpozycję macierzy   Wzór ten jest użyteczny także w ogólnym przypadku[3], lecz w przypadku przestrzeni liniowych wzór ten opisuje formę dwuliniową, tj. funkcję   mającą szereg własności, które służą często jako abstrakcyjna, tzn. niezależna od współrzędnych, definicja iloczynu skalarnego (zob. przestrzeń unitarna). Wśród najważniejszych można wymienić:

  • przemienność (symetryczność),
     
  • rozdzielność względem dodawania wektorów (dwuaddytywność),
     
     
  • zgodność z mnożeniem przez skalar (dwujednorodność)[4],
     
  • niezdegenerowanie,
    z warunku   dla każdego   wynika  
    co wynika m.in. z tego, że w   nie ma dzielników zera
  • dodatnia określoność
      dla  
    bo   o ile   dla pewnego i, co wynika z własności liczb rzeczywistych   (kwadrat liczby niezerowej jest dodatni, suma liczb dodatnich jest dodatnia)

Jeśli   to wektory   oraz   nazywa się ortogonalnymi. Wprost z definicji wynika, że jeśli choć jeden czynnik jest wektorem zerowym, to iloczyn skalarny również jest zerowy; może się jednak zdarzyć, iż   choć   oraz   (zob. Przykłady); mówi się wtedy czasem o prostopadłości tych wektorów. Wektory zerowe są więc jedynym elementem odróżniającym ortogonalność od prostopadłości (geometrycznie wektor zerowy odpowiada punktowi, można więc uważać, że dowolny punkt jest prostopadły do wektora, odcinka czy prostej); w oznaczeniach nie odróżnia się zwykle jednego pojęcia od drugiego, oznaczając oba symbolem  

Wynika stąd, że iloczyn skalarny, w przeciwieństwie do mnożenia liczb, nie ma własności skracania (tj. z równości   nie wynika   o ile tylko  ). Otóż jeśli   to z prawa rozdzielności zachodzi   co jest możliwe wtedy, gdy są ortogonalne (tj. jeden z tych wektorów jest zerowy:   lub   bądź są one prostopadłe, tzn.  ).

PrzykładyEdytuj

Iloczyn skalarny dwóch trójwymiarowych wektorów   oraz   wynosi

 

choć żaden z tych wektorów nie jest zerowy – oznacza to, że wektory te są ortogonalne (prostopadłe).

W jednowymiarowej przestrzeni   iloczyn skalarny dany jest jako zwykłe mnożenie. Innym przykładem iloczynu skalarnego jest tzw. iloczyn wewnętrzny Frobeniusa, który jest iloczynem skalarnym na przestrzeni macierzy ustalonego typu danym „po współrzędnych”, tj. jako suma iloczynów odpowiadających sobie elementów tych macierzy (macierze dwuwymiarowe są więc traktowane jak „długie” wektory jednowymiarowe).

Interpretacja geometrycznaEdytuj

 
|A|•cos(θ) jest rzutem A na B

Iloczyn skalarny umożliwia wprowadzenie „długości” wektora, tj. jego modułu lub normy, mianowicie

 

przy czym wielkość ta jest poprawnie zdefiniowana, gdyż wyrażenie podpierwiastkowe jest nieujemne; jest to standardowa „długość” wektora dana z kilkukrotnego zastosowania twierdzenia Pitagorasa.

Kąt   między wektorami   oraz   dany jest wzorem

 

gdzie   oznacza funkcję arcus cosinus (odwrotną do funkcji cosinus). Otóż jeśli wektory   leżą względem siebie pod kątem   a wektor   jest dany jako   dzięki czemu wektory te tworzą trójkąt, to zgodnie z twierdzeniem cosinusów dla tego trójkąta zachodzi

 

a ponieważ kwadrat modułu jest równy iloczynowi skalarnemu wektora przez siebie, to

 

skoro jednak   to także

 

czyli

 

na mocy prawa rozdzielności. Porównując pierwsze i trzecie równanie na   otrzymuje się

 

co po redukcji wyrazów podobnych i skróceniu czynnika   daje

 

Wielkość   jest równa długości (modułowi) rzutu wektora   na wektor   stąd powyższy wzór umożliwia geometryczną interpretację iloczynu skalarnego jako iloczynu długości tego rzutu przez długość   Z postaci tej można dużo łatwiej odczytać, iż (niezerowe) wektory prostopadłe, tj. takie, dla których   jest nieparzystą wielokrotnością   mają iloczyn skalarny równy zeru.

UogólnieniaEdytuj

Przestrzenie linioweEdytuj

Zobacz też: przestrzeń liniowabaza.

Opisane w artykule własności geometryczne wynikają w dużej mierze z ustalenia bazy ortonormalnej, jaką jest baza standardowa. W gruncie rzeczy pojęcie prostopadłości ma sens geometryczny i przy podanej definicji wymaga bazy standardowej, z kolei ortogonalność jest definiowana za pomocą iloczynu skalarnego i pokrywa się z prostopadłością w przypadku użycia bazy standardowej. Różnice między tymi pojęciami często rozmywa się, bo dowolna przestrzeń liniowa skończonego wymiaru ma tę samą strukturę, co przestrzeń współrzędnych o tej samej liczbie wymiarów (przestrzenie te są izomorficzne).

Innym zagadnieniem jest trudność definiowania pojęć geometrycznych (nawet w przypadku przestrzeni współrzędnych) w przypadku więcej niż trzech wymiarów – iloczyn skalarny jest wygodnym sposobem wprowadzenia zarówno długości (tj. normy), jak i kąta. Struktura unitarna (tj. obecność iloczynu skalarnego) czyni z przestrzeni liniowej przestrzeń unormowaną, która z kolei wprowadza w niej strukturę metryczną (pojęcie odległości). Stopniowe odrzucanie dodatkowych struktur umożliwiło wyabstrahowanie uogólnień pojęć długości i odległości w postaci normy i metryki.

Z interpretacji geometrycznej wynika, iż standardowy iloczyn skalarny jest niezmienniczy ze względu na izometrie: obroty, odbicia (w przypadku przestrzeni afinicznych: przekształcenia afiniczne zachowujące początek przestrzeni). Przekształcenia liniowe, które zachowują powyższe własności, a w ogólności: przekształcenia, które zachowują iloczyn skalarny, nazywa się przekształceniami unitarnymi lub ortogonalnymi, a macierze tych przekształceńmacierzami unitarnymi lub ortogonalnymi. Innymi słowy przekształcenia unitarne przeprowadzają bazy ortonormalne na bazy ortonormalne, tj. zachowują normy wektorów (są izometriami) i kąty między nimi (są przekształceniami równokątnymi zachowującymi orientację), w szczególności mają jednostkowy wyznacznik i ślad równy stopniowi macierzy.

Przestrzenie unitarneEdytuj

Osobny artykuł: przestrzeń unitarna.

Przestrzeń wielomianów jednej zmiennej bądź przestrzeń funkcyjną funkcji całkowalnych z kwadratem o wartościach rzeczywistych określonych na odcinku jednostkowym mają nieskończone bazy (różnych mocy; są one izomorficzne z przestrzeniami współrzędnych odpowiednio: nieskończoną i uogólnioną, zob. przykłady przestrzeni liniowych), jednak możliwe jest w nich określenie iloczynu skalarnego: odpowiednio wzorem   gdzie   jest wielomianem zmiennej   przy czym suma ta jest zawsze skończona (z definicji wielomianu), oraz   (całka istnieje z założenia).

Z powodu możliwości pomylenia zwykłego iloczynu funkcji z ich iloczynem skalarnym ten drugi oznacza się zwykle symbolami:

  •   lub   (identycznie oznacza się np. przedziały bądź pary uporządkowane – z kontekstu wynika znaczenie symboli)
  •   lub  

Reprezentacja macierzowaEdytuj

Iloczyn skalarny, jak każdą formę dwuliniową, można przedstawić w postaci macierzy; przykładowo niech   będzie bazą (niekoniecznie standardową) przestrzeni   Iloczyn skalarny wektorów (kolumnowych) tej przestrzeni dany jest wtedy jako

 

gdzie   oznacza wektor kolumnowy, a   to wektor wierszowy współrzędnych wektora (kolumnowego)   wyrażonych w bazie  [5], zaś macierz   stopnia   jest reprezentacją macierzową iloczynu skalarnego (która musi być dodatnio określona i symetryczna) w bazie   opisywanego wzorem

 

w szczególności jeśli   jest bazą standardową, to   jest macierzą jednostkową, co prowadzi przedstawionego w sekcji Definicja wzoru dla macierzy.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Wektory w przestrzeni współrzędnej (jak w dowolnej przestrzeni liniowej) zaczepione są w jej początku (zob. wektor zerowy); można także rozpatrywać przestrzenie afiniczne, w których wektory zaczepione mogą być w dowolnych punktach, jednak iloczyn skalarny może być obliczany wyłącznie dla wektorów o wspólnym początku.
  2. Elementy przestrzeni   czyli ciągi  -elementowe (zapisywane w nawiasach okrągłych), nazywane będą wektorami i oznaczane będą małymi, półtłustymi, prostymi literami alfabetu łacińskiego, z kolei elementy przestrzeni   czyli macierze jednokolumnowe o   wierszach (zapisywane w nawiasach kwadratowych), nazywane będą wektorami kolumnowymi i oznaczane dużymi, półtłustymi, prostymi, literami alfabetu łacińskiego; składowe wektorów (kolumnowych) i skalary będą zapisywane pismem pochyłym; oznaczenia literowe wektorów i ich składowych pokrywają się, numer składowej wskazano w indeksie dolnym.
  3. Tj. w przypadku modułów nad pierścieniami; zob. moduł dualny i para dualna.
  4. Rozdzielność wraz ze zgodnością z mnożeniem przez skalar, tj. addytywność i jednorodność, ze względu na każdy argument nazywa się liniowością (por. forma liniowa); własność ta zachodzi ze względu na każdy z dwóch czynników, w tej sytuacji mówi się o dwuliniowości (por. forma dwuliniowa).
  5. Tj.   jeśli   jest wektorem kolumnowym współrzędnych wektora   w bazie   to  

Linki zewnętrzneEdytuj