Izomorfizm
Izomorfizm (gr. isos – równy, morphe – kształt) – funkcja wzajemnie jednoznaczna (bijekcja) z jednego obiektu matematycznego w drugi, która zachowuje funkcje, relacje i wyróżnione elementy.
W przypadku obiektów algebry uniwersalnej (takich jak grupy, pierścienie, moduły itp.) izomorfizmem nazywamy wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie takie, że i jego odwrotność są homomorfizmami.
O strukturach i powiemy, że są izomorficzne, jeżeli istnieje izomorfizm z w
Obiekty izomorficzne nie mogą być odróżnione tylko na podstawie własności użytych do zdefiniowania izomorfizmu i dlatego mogą być uważane za identyczne (różniące się w zasadzie tylko oznaczeniami) jeśli bierze się pod uwagę tylko te własności. W ten sposób w klasie wszystkich obiektów danego rodzaju wprowadzana jest relacja równoważności.
Przykłady
edytuj- Izomorfizm z grupy w grupę to bijekcja zachowująca działanie grupowe, czyli taka, że
- Izomorfizm z ciała w ciało to bijekcja taka, że
- Izomorfizm z częściowego porządku w częściowy porządek to funkcja wzajemnie jednoznaczna
Teoria kategorii
edytujMorfizm nazywa się izomorfizmem, jeżeli istnieje morfizm taki, że oraz [1].
Jeżeli morfizm posiada lewą i prawą odwrotność i są one równe, to jest izomorfizmem, zaś nazywane jest po prostu odwrotnością Morfizm odwrotny do danego, jeżeli istnieje, jest dokładnie jeden. Odwrotność jest także izomorficzna z odwrotnością O dwóch obiektach, między którymi istnieje izomorfizm, mówi się, iż są izomorficzne lub równoważne.
Własności
edytuj- Każdy izomorfizm jest monomorfizmem i epimorfizmem[2][3].
- Morfizmy identycznościowe są izomorfizmami.
Przykłady
edytuj- W Set izomorfizmami są bijekcje.
- W Grp izomorfizmami są izomorfizmy grup.
- W VecK izomorfizmami są bijektywne przekształcenia liniowe.
- W Top izomorfizmami są homeomorfizmy.
- W Met izomorfizmami są izometrie.
- W Pos izomorfizmami są izomorfizmy porządków.
Zobacz też
edytujPrzypisy
edytuj- ↑ Bucur, Deleanu, op. cit., s. 13.
- ↑ Bucur, Deleanu, op. cit., s. 13–14.
- ↑ Izmorofizm, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-22] .
Bibliografia
edytuj- Bucur I., Deleanu A.: Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.). Москва: Мир, 1972.
Literatura dodatkowa
edytuj- Polskojęzyczna
- Fritz Reinhardt: Atlas matematyki. Warszawa: Prószyński i S-ka, s. 41. ISBN 83-7469-189-1.
- Andrzej Mostowski: Elementy algebry wyższej. Wyd. 7. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1974, s. 49, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 16.
- Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: PWN, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
- Anglojęzyczna
- Steven George Krantz: Dictionary of algebra, arithmetic, and trigonometry. CRC Press, 2000, s. 162. ISBN 1-58488-052-X, ISBN 978-1-58488-052-3. [dostęp 2009-05-05]. (ang.).
- Gabriel P., Zisman M.: Calculus of Fractions and Homotopy Theory (tłum. ros.). Москва: Мир, 1971.