Izomorfizm

Izomorfizm (gr. isos – równy, morphe – kształt) – funkcja wzajemnie jednoznaczna z jednego obiektu matematycznego w drugi, która zachowuje funkcje, relacje i wyróżnione elementy.

Pięć pierwiastków z jedności
Obroty pięciokąta foremnego
Grupa pierwiastków z jedynki piątego stopnia z działaniem mnożenia jest izomorficzna z grupą obrotów foremnego pięciokąta.

W przypadku obiektów algebry uniwersalnej (takich jak grupy, pierścienie, moduły itp.) izomorfizmem nazywamy wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie takie, że i jego odwrotność homomorfizmami.

O strukturach i powiemy, że są izomorficzne, jeżeli istnieje izomorfizm z w

Obiekty izomorficzne nie mogą być odróżnione tylko na podstawie własności użytych do zdefiniowania izomorfizmu i dlatego mogą być uważane za identyczne (różniące się w zasadzie tylko oznaczeniami) jeśli bierze się pod uwagę tylko te własności. W ten sposób w klasie wszystkich obiektów danego rodzaju wprowadzana jest relacja równoważności.

PrzykładyEdytuj

  • Izomorfizm z grupy   w grupę   to bijekcja   zachowująca działanie grupowe, czyli taka, że  
  • Izomorfizm z ciała   w ciało   to bijekcja   taka, że  
  • Izomorfizm z częściowego porządku   w częściowy porządek   to funkcja wzajemnie jednoznaczna  

Teoria kategoriiEdytuj

Morfizm   nazywa się izomorfizmem, jeżeli istnieje morfizm   taki, że   oraz  [1].

Jeżeli morfizm posiada lewą i prawą odwrotność i są one równe, to   jest izomorfizmem, zaś   nazywane jest po prostu odwrotnością   Morfizm odwrotny do danego, jeżeli istnieje, jest dokładnie jeden. Odwrotność   jest także izomorficzna z odwrotnością   O dwóch obiektach, między którymi istnieje izomorfizm, mówi się, iż są izomorficzne lub równoważne.

WłasnościEdytuj

  1. Każdy izomorfizm jest monomorfizmem i epimorfizmem[2][3].
  2. Morfizmy identycznościowe są izomorfizmami.

PrzykładyEdytuj

  • W Set izomorfizmami są bijekcje.
  • W Grp izomorfizmami są izomorfizmy grup.
  • W VecK izomorfizmami są bijektywne przekształcenia liniowe.
  • W Top izomorfizmami są homeomorfizmy.
  • W Met izomorfizmami są izometrie.
  • W Pos izomorfizmami są izomorfizmy porządków.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Bucur, Deleanu, op. cit., s. 13.
  2. Bucur, Deleanu, op. cit., s. 13–14.
  3. Izmorofizm, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-22].

BibliografiaEdytuj

  • Bucur I., Deleanu A.: Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.). Москва: Мир, 1972.

Literatura dodatkowaEdytuj

Polskojęzyczna
Anglojęzyczna