Pierwiastek z jedynki

typ obiektu algebraicznego

Pierwiastek z jedynki -tego stopnia w ciele K – element spełniający równość[1]:

gdzie jest dowolną liczbą naturalną większą od 0. Ciałem może być w szczególności ciało [2].

Grupa pierwiastków edytuj

Zbiór wszystkich pierwiastków jedynki stopnia   tworzy grupę ze względu na mnożenie.

Grupa ta jest grupą cykliczną rzędu   zatem jest ona izomorficzna z grupą addytywną klas reszt   Generatorami tej grupy są te pierwiastki   dla których   czyli liczby   i  względnie pierwsze. Nazywa się je pierwiastkami pierwotnymi stopnia n z jedynki. Liczba pierwiastków pierwotnych stopnia   z jedynki jest równa   gdzie   jest funkcją Eulera.

Pierwiastki z jedynki w ciele liczb zespolonych edytuj

W tym ciele pierwiastki z jedynki nazywane są także liczbami de Moivre’a dla uhonorowania francuskiego matematyka Abrahama de Moivre’a.

Na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki  -tego stopnia z jedności są wierzchołkami wielokąta foremnego o   bokach wpisanego w okrąg jednostkowy, którego jeden z wierzchołków leży w punkcie   Realizują one podział tego okręgu na   równych części.

Przykłady edytuj

  • Istnieje tylko jeden pierwiastek z jedynki pierwszego stopnia – równy  
  • Pierwiastkami kwadratowymi jedynki są   oraz  
  • Pierwiastki sześcienne z jedynki to
 
  • Pierwiastkami czwartego stopnia z jedynki są elementy zbioru
 

Własności edytuj

 
Pierwiastki piątego stopnia z 1 na płaszczyźnie zespolonej

Istnieje dokładnie   różnych pierwiastków stopnia   z jedynki:

  gdzie  

Dla   wszystkie pierwiastki z jedynki  -tego stopnia sumują się do  

 

Przypadek   powyższej tożsamości jest znana szerzej pod nazwą tożsamości Eulera.

Grupy pierwiastków z jedności n-tego stopnia   wyczerpują skończone podgrupy grupy multiplikatywnej ciała liczb zespolonych. Ważnymi ze względu na klasyfikację grup abelowych są grupy

 

gdzie   jest ustaloną liczbą pierwszą.

Zobacz też edytuj

Przypisy edytuj

Bibliografia edytuj

Literatura dodatkowa edytuj

  • Bagiński Cz.: Wstęp do teorii grup. Warszawa: SCRIPT, 2005. ISBN 83-904564-9-4.