Pierwiastek z jedynki

Pierwiastek z jedynki -tego stopnia w ciele K – element spełniający równość[1]:

gdzie jest dowolną liczbą naturalną większą od 0. Ciałem może być w szczególności ciało [2].

Grupa pierwiastkówEdytuj

Zbiór wszystkich pierwiastków jedynki stopnia   tworzy grupę ze względu na mnożenie.

Grupa ta jest grupą cykliczną rzędu   zatem jest ona izomorficzna z grupą addytywną klas reszt   Generatorami tej grupy są te pierwiastki   dla których   czyli liczby   i  względnie pierwsze. Nazywa się je pierwiastkami pierwotnymi stopnia n z jedynki. Liczba pierwiastków pierwotnych stopnia   z jedynki jest równa   gdzie   jest funkcją Eulera.

Pierwiastki z jedynki w ciele liczb zespolonychEdytuj

W tym ciele pierwiastki z jedynki nazywane są także liczbami de Moivre’a dla uhonorowania francuskiego matematyka Abrahama de Moivre’a.

Na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki  -tego stopnia z jedności są wierzchołkami wielokąta foremnego o   bokach wpisanego w okrąg jednostkowy, którego jeden z wierzchołków leży w punkcie   Realizują one podział tego okręgu na   równych części.

PrzykładyEdytuj

  • Istnieje tylko jeden pierwiastek z jedynki pierwszego stopnia – równy  
  • Pierwiastkami kwadratowymi jedynki są   oraz  
  • Pierwiastki sześcienne z jedynki to
 
  • Pierwiastkami czwartego stopnia z jedynki są elementy zbioru
 

WłasnościEdytuj

 
Pierwiastki piątego stopnia z 1 na płaszczyźnie zespolonej

Istnieje dokładnie   różnych pierwiastków stopnia   z jedynki:

  gdzie  

Dla   wszystkie pierwiastki z jedynki  -tego stopnia sumują się do  

 

Przypadek   powyższej tożsamości jest znana szerzej pod nazwą tożsamości Eulera.

Grupy pierwiastków z jedności n-tego stopnia   wyczerpują skończone podgrupy grupy multiplikatywnej ciała liczb zespolonych. Ważnymi ze względu na klasyfikację grup abelowych są grupy

 

gdzie   jest ustaloną liczbą pierwszą.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: PWN, 1977, s. 86.
  2. van der Waerden B.L.: Algebra. Springer-Verlag, 1967., tłum. ros., Москва 1976, s. 153.

BibliografiaEdytuj

  • Bagiński Cz.: Wstęp do teorii grup. Warszawa: SCRIPT, 2005. ISBN 83-904564-9-4.
  • van der Waerden B.L.: Algebra. Springer-Verlag, 1967., tłum. ros., Москва 1976, s. 153–158.
  • Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: PWN, 1977, s. 86–88.