Otwórz menu główne

Zbiór generatorów grupypodzbiór, który nie zawiera się w żadnej podgrupie właściwej danej grupy. Równoważnie zbiór generatorów grupy to taki podzbiór grupy, że każdy element grupy można przedstawić jako kombinację (względem operacji grupowej) skończenie wielu elementów tego podzbioru i ich elementów odwrotnych (w notacji addytywnej odpowiada to kombinacji liniowej).

Ogólniej, jeżeli jest podzbiorem grupy to podgrupa generowana przez , oznaczana symbolem jest najmniejszą podgrupą grupy zawierającą każdy element zbioru czyli częścią wspólną wszystkich podgrup zawierających elementy równoważnie to podgrupa tych wszystkich elementów które mogą być przedstawione jako skończony iloczyn elementów i ich odwrotności.

Gdy to mówi się, że generuje elementy nazywa się wtedy generatorami grupy Jeśli jest zbiorem pustym, to jest grupą trywialną

Jeśli zawiera tylko jeden element to zwykle pisze się (z tego zapisu korzysta się także dla skończonej liczby generatorów). W tym przypadku jest podgrupą cykliczną potęg która jest grupą cykliczną; mówi się wtedy, że grup ta jest generowana przez O tym, że generuje grupę można równoważnie powiedzieć, iż jest równe całej grupie Dla grup skończonych jest to także równoważne stwierdzeniu, iż ma rząd równy

Grupy skończenie generowaneEdytuj

W przypadku, gdy zbiór   jest skończony, grupę   nazywa się skończenie generowaną. Gdy grupa skończona jest generowana przez podzbiór   to każdy element grupy można przedstawić w postaci słowa nad alfabetem   o długości nie większej niż rząd grupy (zob. gramatyka formalna).

  • Każda grupa skończona jest skończenie generowana, ponieważ  
  • Liczby całkowite z dodawaniem są przykładem grupy nieskończonej, która jest skończenie generowana tak przez 1, jak i –1. Zbiorami generatorów grupy mogą być jej różne podzbiory; przykładowo, jeżeli   i  względnie pierwsze, to na mocy tożsamości Bézouta
 
Grupa liczb wymiernych z dodawaniem nie mają skończonego zbioru generatorów.
  • Żadna grupa nieprzeliczalna nie jest skończenie generowana.
  • Gdy   jest grupą skończenie generowaną oraz   jest jej podgrupą normalną, to grupa ilorazowa   jest również skończenie generowana.
  • Podgrupy grup skończenie generowanych nie muszą być skończenie generowane. Na przykład niech   oznacza grupę wolną o dwóch generatorach,   i   oraz niech   będzie podzbiorem   składającym się ze wszystkich elementów postaci   gdzie   jest dowolną liczbą naturalną. Podgrupa   nie jest skończenie generowana. Podgrupy skończenie generowanych grupy abelowych są skończenie generowana. Można powiedzieć więcej: klasa wszystkich grup skończenie generowanych jest zamknięta ze względu na rozszerzenia. Aby się o tym przekonać, wystarczy wziąć zbiór generatorów (skończenie generowanej) podgrupy normalnej i ilorazu grupy przez nią: wówczas generatory podgrupy normalnej wraz z przeciwobrazami generatorów ilorazu generują grupę.

Grupy wolneEdytuj

Osobny artykuł: grupa wolna.

Podgrupa FrattiniegoEdytuj

Osobny artykuł: podgrupa Frattiniego.

Element   grupy nazywa się nie-generatorem, jeżeli każdy zbiór   zawierający   dalej generuje   jeśli usunąć z niego ten element. Jedynym nie-generatorem grupy liczb całkowitych z dodawaniem jest   Zbiór wszystkich nie-generatorów tworzy podgrupę w   nazywaną podgrupą Frattiniego.

PrzykładyEdytuj

Grupa elementów odwracalnych   to grupa wszystkich liczb całkowitych względnie pierwszych z   względem mnożenia modulo   tzn. liczb ze zbioru   z arytmetyką modulo   Siódemka nie jest generatorem   gdyż

 

podczas gdy dwójka jest, ponieważ

 

Z drugiej strony, dla   grupa symetryczna stopnia   nie jest cykliczna, tzn. nie jest generowana przez żaden pojedynczy element. Mimo to generowana jest przez dwie permutacje   oraz   Przykładowo dla   jest:

 

Grupy nieskończone również mogą mieć skończone zbiory generatorów. Zbiór generatorów grupy addytywnej liczb całkowitych składa się z jednego elementu,   Element   nie generuje tej grupy, gdyż brakowałoby w niej liczb nieparzystych. Zbiór dwuelementowy   dla odmiany generuje tę grupę, gdyż   (w istocie każda para liczb względnie pierwszych generuje tę grupę na mocy tożsamości Bézouta).

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj