Grupa wolna

Grupa wolnagrupa zawierająca podzbiór o tej własności, że każdy element grupy daje się jednoznacznie przedstawić jako iloczyn skończenie wielu elementów tego podzbioru oraz ich odwrotności (za wyłączeniem trywialnych wariantów takich jak gdzie należą do takiego podzbioru).

Podzbiór grupy o powyższej własności nazywamy wolnym układem generatorów lub bazą grupy.

Definicja formalnaEdytuj

Równoważnie pojęcie grupy wolnej można zdefiniować następująco: grupę   nazywamy wolną, gdy zawiera podzbiór   taki, że każde przekształcenie   w dowolną grupę   można przedłużyć jednoznacznie do homomorfizmu  

Można udowodnić, że każdy taki zbiór   musi być układem generatorów grupy   tzn. nie ma podgrupy   spełniącej   i  

Układem generatorów grupy jest opisany wyżej zbiór   Każde dwa układy generatorów są równoliczne – moc dowolnego z nich nazywa się rangą grupy wolnej.

WłasnościEdytuj

  • Każda grupa wolna o randze większej od 1 ma nieskończenie wiele układów wolnych generatorów.
  • Każda grupa   jest obrazem ustalonego homomorfizmu   pewnej grupy wolnej  
  • Jeżeli   to obraz układu wolnych generatorów grupy   tworzy układ generatorów grupy  
  • Układem relacji dla tych generatorów nazywamy układ równań taki, że   gdzie   są generatorami   (  oznacza element neutralny grupy). Wskazanie układu generatorów i układu relacji jednoznacznie wyznacza grupę  
  • Grupa wolna o randze większej od 1 nie jest abelowa.

PrzykładyEdytuj

  • Grupa liczb całkowitych z dodawaniem jest grupą wolną rangi 1. Jej układem wolnych generatorów jest {1} (lub {-1}).
  • Rozpatrzmy wszystkie skończone napisy składające się z liter   w których nie występują pary   Działaniem niech będzie konkatenacja napisów z ewentualnym usunięciem zakazanych par, czyli np.:
    •  
    •  
    •  
    •  
    •   czyli ciąg pusty.
tak określona struktura jest grupą wolną. Układem wolnych generatorów jest np.:   Elementem odwrotnym do   jest   odwrotnym do   jest   Elementem odwrotnym do danego ciągu jest ciąg napisany w odwrotnej kolejności z zamienionymi parami liter   oraz   Elementem neutralnym – ciąg pusty.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Alexei Ivanovich Kostrikin, Igor Shafarevich: Algebra I. Basic notations of Algebra. Springer, s. 134.