Otwórz menu główne

Spis treści

Podgrupazbiór elementów danej grupy, który sam tworzy grupę z działaniem grupy wyjściowej; inaczej podzbiór grupy zamknięty na działanie grupowe i branie odwrotności, który zawiera jej element neutralny (zob. działanie wewnętrzne).

Podgrupy to te z podzbiorów grup, które odzwierciedlają i zachowują ich strukturę algebraiczną; badanie podgrup danej grupy (nazywanej czasem w tym kontekście nadgrupą) dostarcza o niej wielu istotnych informacji umożliwiając głębsze zrozumienie jej budowy. Niekiedy podgrupy wkomponowane są w grupę w szczególny sposób: są niezmiennikami przekształceń algebraicznych (podgrupa normalna, podgrupa charakterystyczna), umożliwiają jednoznaczne przedstawienie elementu grupy jako sumy/iloczynu elementów ich „rozłącznych”[a] podgrup (składnik/czynnik prosty, zob. suma prosta/iloczyn prosty podgrup); w teorii grup przemiennych rozpatruje się podgrupy czyste oraz podgrupy istotne[b] o nieco słabszych, lecz nadal przydatnych, własnościach (przy potencjalnie większej ich liczbie, co ułatwia wskazanie podgrup o lepszych własnościach).

WłaściwościEdytuj

Zobacz też: grupapodzbiór.

Niech   będzie grupą; podzbiór   który tworzy grupę ze względu na działanie określone na   nazywa się podgrupą grupy   i oznacza zwykle  [c]. Podgrupę   jako grupę charakteryzują następujące warunki:

  • Wewnętrzność: działanie grupowe na   jest zawężeniem działania grupy   do zbioru   dlatego iloczyn elementów   obliczany jest jako iloczyn elementów   oraz   w grupie   aby uzyskać dwuargumentowe działanie wewnętrzne na   dane wzorem   tak jak w grupie   potrzeba, a zarazem wystarcza, by   dla wszystkich   Innymi słowy zbiór   musi być zamknięty ze względu na działanie w  
  • Łączność: działanie w   musi być łączne, czyli dla wszystkich   musi zachodzić   wiadomo jednak, że   dla   a ponieważ   to powyższy warunek odnosi się w szczególności do elementów   w ten sposób łączność działania w   dana jest z góry (tzn. wynika wprost z łączności działania w  ).
  • Element neutralny: zbiór   nie może być pusty, gdyż jako grupa   musi mieć element neutralny; niech   spełnia   dla dowolnego   w szczególności dla elementu neutralnego   grupy   zachodzi   a ponieważ   to z charakteryzacji elementu neutralnego grupy wynika, że   jest elementem neutralnym grupy   oznacza to, że element neutralny grupy   jest zarazem elementem neutralnym w   o ile tylko należy on do   tzn. nie trzeba szukać elementu neutralnego w   gdyż jest on niejako z góry – wystarczy tylko sprawdzić, czy element neutralny w   należy do  
  • Odwracalność: dla każdego   musi istnieć   dla których   odczytanie tego równania w grupie   daje natychmiastowo rozwiązanie   w postaci elementu odwrotnego do   w grupie   element odwrotny do   istnieje w   dlatego nie trzeba go szukać, lecz wystarczy sobie jedynie zapewnić, iż element odwrotny   do   należący do   jest również elementem  

Podsumowując: niepusty podzbiór   grupy   jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy

  • jest zamknięty na działanie:   dla wszystkich  
  • zawiera element neutralny grupy:  
  • jest zamknięty na odwracanie:   dla każdego  

Co więcej, drugi warunek wynika z pierwszego i trzeciego: niech   (gdyż   jest niepusty,  ), wtedy z trzeciego warunku   a więc   na mocy pierwszego, co daje   Innymi słowy sprawdzenie, czy   można pominąć zakładając, iż   jest niepusty; z drugiej strony jeśli nie wiadomo a priori, czy   to najszybszym sposobem zapewnienia tego warunku jest właśnie sprawdzenie, czy   Na podstawie powyższych obserwacji można zatem sformułować

Kryterium bycia podgrupą
Niepusty podzbiór   grupy   jest jej podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunki
 
oraz
 

Powyższe dwa warunki (wraz z  ) często łączy się w jeden:   dla wszystkich  [d]; jest on zupełnie równoważny warunkowi   dla wszystkich  [e]. W przypadku skończonym wystarczający jest warunek zamkniętości działania, tzn. prawdziwe jest następujące

Kryterium bycia podgrupą skończoną
Niepusty podzbiór skończony   grupy   bądź niepusty podzbiór   grupy skończonej   jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy   dla wszystkich  [f][g].

PrzykładyEdytuj

Podgrupy trywialna i niewłaściwa
Zobacz też: grupa trywialna.
W dowolnej grupie   zbiór jednoelementowy   oraz zbiór   są podgrupami nazywanymi odpowiednio podgrupą trywialną oraz podgrupą niewłaściwą (podgrupy, które nie są trywialne bądź niewłaściwe, nazywa się odpowiednio nietrywialnymi oraz właściwymi); jeżeli   jest podgrupą właściwą w   to czasem używa się oznaczenia  [h], nietrywialność podgrupy zaznaczana jest osobno. Jeżeli   jest podgrupą w   zaś   jest podgrupą w   to   jest podgrupą w  
Kryterium bycia podgrupą
Niech   będzie podzbiorem liczb całkowitych   podzielnych przez   Zbiór   tworzy grupę ze względu na dodawanie (wprost z konstrukcji), zaś zbiór   jest zamknięty ze względu na dodawanie i branie odwrotności[i], a więc   jest podgrupą w   Analogicznie dowodzi się, że zbiór   dla dowolnego   będącego liczbą naturalną jest podgrupą w   a ponadto wszystkie jej podgrupy mają tę postać.
Zbiór dodatnich liczb wymiernych tworzy podgrupę   w grupie   niezerowych liczb wymiernych z działaniem mnożenia (iloczyn dowolnych dwóch niezerowych liczb wymiernych dalej jest niezerową liczbą wymierną i podobnie odwrotność niezerowej liczby wymiernej jest niezerową liczbą wymierną), co wynika wprost z własności iloczynu i odwrotności liczb wymiernych: jeśli   to   oraz   podobne obserwacje dotyczą liczb rzeczywistych   (należy wyżej zastąpić   znakiem   i wyraz „wymierny” za pomocą „rzeczywisty”).
Jeżeli   są podgrupami w   to ich część wspólna   również jest podgrupą w  [j]. Analogicznie część wspólna   rodziny   podgrup grupy   indeksowanej za pomocą pewnego zbioru indeksów   również jest podgrupą w  
Niech   oznacza zbiór wszystkich wzajemnie jednoznacznych odwzorowań przedziału jednostkowego   liczb rzeczywistych; tworzy on grupę ze względu na składanie odwzorowań (zob. grupa: Motywacja). Zbiór   jest podgrupą w   jako jej niepusty podzbiór zamknięty na składanie i odwracanie funkcji:
  • Otóż zbiór   jest niepusty, gdyż należy do niego odwzorowanie tożsamościowe   dane wzorem   dla którego zachodzi  
  • Ponadto jeżeli   to   oraz   co oznacza   a więc  
  • Wreszcie jeśli   to   a zatem   stąd   tzn.   czyli  
Kryterium bycia podgrupą skończoną
Niech dany będzie podzbiór   grupy   wraz z mnożeniem modulo   przy czym   oznacza redukcję liczby całkowitej   modulo   (tzn. resztę z dzielenia   przez  ). Ponieważ
 
to zbiór   jest zamknięty ze względu na mnożenie. Skoro   jest zbiorem skończonym, to na podstawie kryterium bycia podgrupą skończoną zbiór   powinien być podgrupą w   Byłaby to prawda, gdyby   była grupą ze względu na mnożenie (nie jest nią, gdyż nie istnieje np. odwrotność elementu  ); jest ona jednak grupą ze względu na dodawanie, co (jak się okazuje) jest zupełnie czymś innym – aby poprawnie zastosować wspomniane kryterium, należy się więc najpierw upewnić, że nadzbiór tworzy grupę (z tym samym działaniem).
Mimo to   jest grupą ze względu na mnożenie[k]: z powyższych rozważań wynika, że zbiór ten jest zamknięty na mnożenie, które jest łączne (jest ono w istocie łączne na   co wynika z własności arytmetyki modularnej); ponadto   oraz   dla wszystkich   (z powyższych rozważań lub własności arytmetyki modularnej), skąd   jest elementem neutralnym w   każdy element   ma odwrotność należącą do   – wynika to z równań         oraz   Korzystając z kryterium bycia podgrupą skończoną można się przekonać, iż podzbiory       są nietrywialnymi podgrupami właściwymi w   gdyż są one zamknięte ze względu na mnożenie (są to jedyne tego rodzaju podgrupy w tej grupie). Podgrupy w   mają rzędy   które są dzielnikami rzędu   grupy  
Podzbiór   tworzy podgrupę grupy   niezerowych liczb zespolonych względem mnożenia na podstawie kryterium bycia podgrupą skończoną, gdyż jest zamknięta na branie iloczynów. To samo kryterium mówi, że   jest podgrupą w   Ponadto grupa ta nie ma innych nietrywialnych podgrup właściwych, gdyż jeśli podgrupa ta zawierałaby   lub   to musiałaby także zawierać   lub   czyli tworzyłaby wtedy całą grupę   Dlatego   ma dokładnie trzy podgrupy: jedną rzędu   jedną rzędu   i jedną rzędu   W tym przypadku rzędy podgrup również są dzielnikami rzędu   grupy  
Kryterium może okazać się fałszywe w przypadku, gdy badany podzbiór nie jest skończony: jeśli   jest podzbiorem dodatnich liczb całkowitych (które można utożsamiać z liczbami naturalnymi  ), to mimo iż   jest grupą ze względu na dodawanie, a podzbiór   jest zamknięty na to działanie, to nie tworzy on podgrupy, gdyż brak w tym zbiorze elementu neutralnego dodawania   rozpatrywanie   (podobnie jak poprzedni przykład) narusza warunek należenia odwrotności (tu: elementu przeciwnego). Grupa   jest kanonicznym przykładem grupy nieskończonej (wszystkie nieskończone grupy generowane przez jeden element mają tę samą co ona strukturę grupy cyklicznej, zob. izomorfizm).
Sumy mnogościowe
Zobacz też: suma zbiorów.
W ogólności suma mnogościowa   podgrup   nie musi być podgrupą: jest tak wtedy i tylko wtedy, gdy   lub  [l]; wynika to z nieco ogólniejszej obserwacji: jeżeli   jest podgrupą w   zawartą w   to   zawiera się w całości w   lub   (być może w obu z nich)[m][n]. Oznacza to, że nie istnieje grupa, która byłaby sumą mnogościową dwóch swoich nietrywialnych podgrup właściwych; mimo to istnieje grupa, dla której suma jej trzech różnych nietrywialnych podgrup właściwych tworzy w niej podgrupę[o]. Twierdzenie Scorzy stanowi o tym, że jeśli grupa jest sumą trzech nietrywialnych podgrup właściwych, to są one indeksu dwa, a części wspólne dowolnych dwóch z tych trzech podgrup są równe[p][q][r], z kolei twierdzenie Cohna (będące jego rozszerzeniem) charakteryzuje grupy będące sumą mnogościową czterech, pięciu i sześciu ich podgrup właściwych[s], zaś twierdzenie Tomkinsona mówi, iż nie istnieje grupa, którą można zapisać w postaci sumy mnogościowej dokładnie siedmiu jej nietrywialnych podgrup właściwych[t][u].
Pojęcia
Podgrupę grupy   generowaną przez jej podzbiór   można scharakteryzować jako najmniejszą (w sensie zawierania) podgrupę zawierającą wszystkie elementy zbioru   tj. część wspólną wszystkich podgrup zawierających zbiór   Podgrupę generowaną przez jednoelementowy podzbiór   grupy   nazywa się podgrupą cykliczną generowaną przez   zaś sam element   nazywa się generatorem tej podgrupy (może mieć ona wiele generatorów); rzędem elementu   nazywa się rząd podgrupy (cyklicznej) generowanej przez ten element, czyli jej liczbę elementów.
Przypadki grup   i   opisane w wyżej („kryterium bycia grupą skończoną”) sugerują ogólną regułę, iż rząd podgrupy dzieli rząd grupy – w istocie jest ona prawdziwa: rozumowanie w przypadku skończonym wymaga jedynie znajomości pojęć grupy i funkcji (można go znaleźć w rząd: Własności); w przypadku ogólnym wynik ten, nazywany twierdzeniem Lagrange’a, wymaga znajomości pojęcia warstwy grupy względem jej podgrupy.
Własności
Niech   będzie dowolną grupą; zbiór   elementów grupy   przemiennych z ustalonym jej elementem   tworzy podgrupę nazywaną centralizatorem elementu  [v]; podobnie zbiór   elementów grupy   które są przemienne z dowolnym jej elementem, tworzy podgrupę nazywaną centrum grupy  [w].
Dla dwóch elementów   dowolnej grupy   element   nazywa się ich komutatorem; przy czym   wtedy i tylko wtedy, gdy   są przemienne, tzn.   Dla „wysoce nieprzemiennych” grup (tzw. grup doskonałych) może się zdarzyć, że żaden z komutatorów nie będzie elementem neutralnym, skąd podzbiór wszystkich komutatorów grupy nie musi tworzyć podgrupy; problem ten można obejść biorąc „najmniejszą” grupę zawierającą wszystkie komutatory, tj. podgrupę przez nie generowaną (zob. Przykłady): dla danych dwóch podzbiorów   grupy   ich komutantem   nazywa się podgrupę w   generowaną przez wszystkie komutatory   gdzie   oraz   Podgrupę   nazywa się komutantem lub pochodną grupy  
Centrum i komutant są przykładami tzw. podgrup normalnych, czyli takich podgrup   pewnej grupy   które są przemienne z dowolnym elementem   tzn. dla każdego   zachodzi  [x][y]. Pojęcie podgrupy normalnej umożliwia wprowadzenie metody konstrukcji nowych grup z istniejących grup oraz ich podgrup (normalnych), mianowicie tzw. grup ilorazowych; procedura ta jest uogólnieniem uzyskiwania grup   z mnożeniem modulo   z grupy liczb całkowitych   oraz jej podgrupy   (zob. wyżej).
Ilustracje
Wśród wielu przykładów grup i ich podgrup można wymienić ponadto:
Twierdzenie Cayleya mówi o tym, iż każda grupa może być postrzegana jako podgrupa grupy symetrycznej: dzięki temu twierdzenia obowiązujące dla grup symetrycznych są prawdziwe również dla wszystkich grup abstrakcyjnych.

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Żadne dwie podgrupy nie są rozłączne w sensie mnogościowym (jako podzbiory), jednak jako rozłączne w sensie algebraicznym można uważać podgrupy, których jedynym wspólnym elementem jest element neutralny; niekiedy mówi się o nich, że mają trywialne przecięcie – nazywa się je zwykle ortogonalnymi (por. ortogonalność).
  2. Wspomniane podstruktury są przypadkami szczególnymi ogólniejszych podstruktur tzw. modułów: podmodułu czystego oraz podmodułu istotnego (każda grupa przemienna jest modułem nad liczbami całkowitymi).
  3. Dokładniej: niech   oraz   będą grupami;   jest podgrupą   gdy   jest podzbiorem   oraz   dla wszystkich  
    W szczególności wynika stąd, że elementy neutralne   oraz   są tożsame. Otóż niech   będzie podgrupą   a   oznaczają elementy neutralne odpowiednio   wówczas   oraz   czyli   a więc istnienia elementu odwrotnego do   (z własności skracania) w   jest   co oznacza, że element neutralny grupy należy do jej dowolnej podgrupy (zob. dalej).
    W ogólności nie wyróżnia się działań grupy i podgrupy oznaczając je tym samym symbolem.
  4. Jeżeli   dla dowolnych   oraz   dla każdego   to w istocie również   jeżeli zaś   dla   to z   otrzymuje się   dla   (ze względu na   czyli  ), w ten sposób  
  5. Dowód można uzyskać rozumując analogicznie jak wyżej, bądź zastępując elementy   ich odwrotnościami (zawsze istnieją w grupie  ).
  6. Wystarczy wykazać, że w przypadku, gdy   jest skończony, warunek odwracalności wynika z warunku zamkniętości na działanie, dzięki czemu oba te warunki będą równoważne drugiemu z nich, co jest tezą stwierdzenia: w tym celu należy dowieść, iż   pod warunkiem skończoności i zamkniętości   na działanie. Niech   skoro   jest zamknięte na mnożenie, to należy do niego dowolne złożenie   tzn.   dla   będącego liczbą naturalną. Ponieważ   jest skończony, to elementy   muszą się powtarzać, zatem   dla pewnych liczb naturalnych   (por. grupa cykliczna i rząd elementu oraz zob. Przykłady). Przyjmując bez straty ogólności, że   otrzymuje się   co oznacza, że   zatem   jest zamknięty ze względu na branie odwrotności.
  7. Drugi warunek pociąga pierwszy, ponieważ dowolny podzbiór zbioru skończonego jest skończony.
  8. Innym jest   z przekreślonym znakiem równości, którego względnie dobrymi zastępnikami są   lub  
  9. Niech   będą liczbami całkowitymi: jeżeli   oraz   to   jeśli   to   (dowody tych własności można znaleźć w artykule dzielnik). Stąd dla   zachodzą podzielności   oraz   z których wynika   co oznacza   podobnie jeśli   to   pociąga   czyli  
  10. Istotnie,   gdyż   oraz   ponadto jeżeli   to   i   skąd   i   a więc   dodatkowo z   wynika   i   a więc   i   co pociąga   stąd   jest podgrupą w  
  11. Aby uniknąć tego rodzaju pomyłek stosuje się czasem konwencję oznaczania grup addytywnych i multiplikatywnych w indeksie górnym odpowiednio za pomocą znaku dodawania i mnożenia, w tym przypadku   oraz   oznaczane byłyby odpowiednio symbolami  
  12. Równoważnie:   bądź   czy też   albo  
  13. Dowód przez kontrapozycję: jeżeli   nie zawiera się w   ani w   to można znaleźć element   należący do   lecz nie do   oraz element   należący do   lecz nie do   z założenia   zatem   ale   oraz   ale   z założenia i faktu, iż   jest podgrupą, wynikałoby wtedy   skąd   czyli   lub   czyli   a to dawałoby sprzeczność z założeniem. Stąd   jest podgrupą w   bądź  
  14. Jeżeli   jest podgrupą, to przyjmując   otrzymuje się   lub   Z drugiej strony w każdym z przypadków,   lub   zbiór   jest podgrupą.
  15. Przykładem może być tzw. grupa czwórkowa Kleina   w której   są nietrywialnymi podgrupami właściwymi dającymi w sumie całą grupę.
  16. Dowód: Niech   gdzie     oraz   są podgrupami właściwymi   a ponadto dane jest rozbicie   na siedem rozłącznych części:               (elementy podziału zawierające wyłącznie część wspólną wymienionych w indeksie dolnym zbiorów). Ponieważ nie istnieje grupa będąca sumą mnogościową dwóch podgrup właściwych, to     oraz   są niepuste.
    Należy wykazać, że   Niech   oraz   Wówczas   gdyż w przeciwnym przypadku   sprzeczność. Również   gdyż w przeciwnym przypadku oznaczałoby to   lub   co znowu daje sprzeczność. Stąd   Podobnie,   Ostatecznie  
    Jeżeli   oraz   to   Zatem   skąd   (podobnie   itd.). Odwrotnie, niech   zaś dla dowolnego   będzie   Wtedy   tak, że   Dlatego   Analogicznie dane są równości   wraz z     oraz  
    Rozumując w niemal ten sam sposób   a zarazem, dla dowolnego   jest   Podobnie, dla dowolnych   oraz   zachodzi   oraz  
    Wówczas       oraz   tworzą cztery (lewo- i prawostronne!) warstwy   Wynika stąd, że   jest podgrupą normalną   zaś   ma strukturę grupy izomorficzną grupą czwórkową Kleina  
    Z drugiej strony, jeśli   ma iloraz   izomorficzny z   to   jest sumą (mnogościową) swoich trzech podgrup     i   indeksu 2. Przeciwobrazy     oraz   w odwzorowaniu ilorazowym są więc trzema podgrupami właściwymi indeksu 2 stanowiącymi pokrycie  
  17. Ponadto wspomniana część wspólna jest podgrupą normalną (zob. Ważne podgrupy) w całej grupie, a jej grupa ilorazowa (zob. Ważne podgrupy) jest izomorficzna z grupą czwórkową Kleina.
    Twierdzenie: Jeżeli grupa jest sumą mnogościową trzech właściwych podgrup, to jest zarazem sumą mnogościową trzech właściwych podgrup normalnych.
    Dowód: Wspomniane w twierdzeniu Scorzy     oraz   w odwzorowaniu ilorazowym   są przeciwobrazami podgrup normalnych grupy   (izomorficznych z   ich normalność wynika np. z przemienności, przy czym zachowuje się ona po wzięciu przeciwobrazu homomorficznego).
  18. Twierdzenie: Grupa skończona jest sumą mnogościową podgrup właściwych wtedy i tylko wtedy, gdy ma iloraz izomorficzny z   dla pewnej liczby pierwszej  
    Twierdzenie: Jeżeli   jest sumą mnogościową właściwych podgrup normalnych, to minimalna liczba tych podgrup wynosi   gdzie   jest najmniejszą liczbą pierwszą, dla której   ma iloraz izomorficzny z  
  19. Niech   gdy tylko   jest sumą mnogościową   podgrup właściwych, ale nie jest sumą jakiekolwiek mniejszej liczby podgrup właściwych.
    Twierdzenie Cohna (1994): Niech   będzie grupą. Wówczas
    •   wtedy i tylko wtedy, gdy   zaś   ma iloraz izomorficzny grupą symetryczną   lub  
    •   wtedy i tylko wtedy, gdy   zaś   ma iloraz izomorficzny grupą alternującą  
    •   wtedy i tylko wtedy, gdy   zaś   ma iloraz izomorficzny grupą diedralną   lub   bądź   czyli grupą rzędu 20 o dwóch generatorach   spełniających   (gdzie   jest elementem neutralnym),  
  20. Zgodnie z oznaczeniami użytymi w sformułowaniu twierdzenia Cohna:
    Twierdzenie Scorzy (1926):   wtedy i tylko wtedy, gdy   ma iloraz izomorficzny z  
    Twierdzenie Tomkinsona (1997): Nie istnieje   dla której  
  21. Symbol   oznacza liczbę pokryciową grupy   będącą rozmiarem minimalnego pokrycia   gdzie pokrycie (skończone) oznacza (skończoną) rodzinę podgrup właściwych   dających w sumie   minimalność pokrycia oznacza z kolei, że nie istnieje pokrycie danej grupy o mniejszej liczbie elementów.
    Twierdzenie B. H. Neumanna (1954): grupa jest sumą mnogościową skończenie wielu podgrup właściwych wtedy i tylko wtedy, gdy ma ona skończony niecykliczny obraz homomorficzny.
    Twierdzenie Detomi–Lucchiniego (2008): Nie istnieje   dla której  
    Twierdzenie Garonziego (2013): Nie istnieje   dla której   istnieją grupy   dla których   poza wymienionymi (w tym również w twierdzeniach Tomkinsona oraz Detomi i Lucchiniego).
  22. Na mocy kryterium bycia podgrupą: niech   tzn. zachodzą równości   oraz   wtedy   czyli   do zbadania należenia do   elementu odwrotnego do   wystarczy rozpatrzeć równość   z której wynika   a z niej  
  23. Korzystając z kryterium bycia podgrupą: niech   wtedy dla dowolnych   zachodzą równości   oraz   skąd można w szczególności dla dowolnego   zapisać   czyli   z kolei jeżeli   to   skąd   a więc  
  24. W odróżnieniu od centrum   grupy   w którym każdy element   z osobna jest przemienny z dowolnym elementem grupy   tj.   przemienność   podgrupy normalnej   z dowolnym elementem   grupy   oznacza tylko tyle, iż dla dowolnego elementu   można znaleźć element   dla których zachodzi  
  25. Wspomniane centrum i komutant są w istocie przykładami podgrup normalnych o jeszcze lepszych własnościach, tzw. podgrup charakterystycznych (charakterystyczność, w przeciwieństwie do normalności, jest własnością przechodnią).
  26. Bądź nieco ogólniej: wszystkich automorfizmów ustalonej skończeniewymiarowej przestrzeni liniowej (tj. odwracalnych przekształceń liniowych tej przestrzeni na siebie).