Otwórz menu główne

Warstwa (teoria grup)

Warstwapodzbiór danej grupy będący jednym z równolicznych elementów jej podziału wyznaczonego przez ustaloną podgrupę, czyli klasa równoważności pewnej relacji równoważności związanej ze wspomnianą podgrupą; jako klasy ustalonej równoważności są one rozłączne, niepuste i wyczerpują całą grupę[a].

Każda podgrupa wyznacza dwie relacje równoważności o tej samej liczbie warstw – liczbę tę nazywa się indeksem tej podgrupy względem danej grupy[b]; elementy jednego podziału nazywa się warstwami lewostronnymi, zaś drugiego – prawostronnymi, co ma swoje źródło w charakteryzacji tych zbiorów (zob. Definicja i Własności). Jeżeli obie wspomniane relacje równoważności wprowadzają ten sam podział, to podgrupę wyznaczającą te relacje (ten podział) nazywa się podgrupą normalną.

Pojęcie warstwy umożliwia więc algebraiczną charakteryzację klas tych relacji równoważności, które wprowadzają w grupie podział respektujący jej strukturę; przy założeniu normalności podgrupy wyznaczającej podział zbioru elementów grupy, można na nim (tj. zbiorze ilorazowym) określić strukturę grupy nazywanej grupą ilorazową (zob. Normalność).

MotywacjaEdytuj

 
Graf przedstawia funkcję, która wprowadza podział w zbiorze   mianowicie dzieli ona dziedzinę na dwa zbiory   oraz   będące włóknami odpowiednio nad elementami   tworzącymi obraz zbioru   który można utożsamiać z rzutem kanonicznym   wprowadzanej relacji równoważności. Uwaga: włókna mogą mieć dowolną, niezerową liczbę elementów; analogiczna konstrukcja dla grup wymusza, by włókna (warstwy) były równoliczne.

Podział zbioru   można przeprowadzić, określając na nim relację równoważności   która podzieli go na rozłączne, niepuste i sumujące się do   klasy o wskazanej przez   własności. Każdą relację   na   można z kolei wprowadzić za pomocą pewnej funkcji   dwa elementy   pozostają ze sobą w relacji   wtedy i tylko wtedy, gdy ich obrazy w funkcji   są równe,

 

mówi się też wtedy, że   należą do jądra   funkcji  

Innymi słowy utożsamiane są te elementy dziedziny, które w obrazie przekształcane są na ten sam element   zbiór tych elementów dziedziny, czyli   nazywa się włóknem bądź poziomicą albo warstwicą nad   Obraz   można z kolei utożsamiać ze zbiorem   klas równoważności   czyli funkcja   wyznacza i jest wyznaczana przez odwzorowanie ilorazowe  

Powyższe obserwacje można zastosować do homomorfizmu grup   przy czym w tym przypadku jądro   jest podgrupą w  [c]. Otrzymuje się wtedy relację równoważności (podział) w   której charakterystyczną własnością jest to, iż   jest jedną z jej klas równoważności; w ogólności są one postaci   dla  [d][e], a ponadto są równoliczne (zob. Własności, por. rysunek obok). Bezpośrednio stąd wynika, tak jak w opisanym wyżej przypadku teoriomnogościowym, że elementy   odpowiadają wprost warstwom  [f], tzn. obraz   można utożsamiać ze zbiorem   warstw grupy   względem  [g].

Podział grupy na warstwy względem podgrupy jest więc pojęciem węższym, a przede wszystkim algebraicznie bardziej użytecznym, od dowolnego podziału (zbioru elementów) grupy – tego rodzaju konstrukcję nazywa się kongruencją (przystawaniem). W ogólności przyjmuje się, że   może być dowolną podgrupą w   co sprawia, że wyznacza ona dwie, potencjalnie różne relacje równoważności; podgrupa wyznacza jeden podział wtedy i tylko wtedy, gdy jest jądrem homomorfizmu[h] – do tego zaś potrzeba, a zarazem wystarcza, by była ona normalna (zob. osobna sekcja).

DefinicjaEdytuj

Zobacz też: grupapodgrupa.

Niech   będzie dowolną grupą,   jej dowolną podgrupą. Podzbiory grupy   dane jako

 

dla   nazywa się odpowiednio warstwami lewostronną i prawostronną grupy   względem   wyznaczonymi przez element   jeżeli są one równe, tzn.   to mówi się wtedy po prostu o warstwach (obustronnych).

Moc zbioru   oznaczanego też   wszystkich warstw lewostronnych nazywa się indeksem podgrupy   względem grupy   i oznacza jednym z symboli   lub  [1][2]; tak samo oznacza się i nazywa moc zbioru   (nie mylić z różnicą zbiorów  ) wszystkich warstw prawostronnych, gdyż liczby te są równe (zob. dalej). Spotyka się również odwrócone oznaczenie zbioru warstw prawostronnych, mianowicie   (bywa ono stosowane jako element notacji warstw podwójnych); jest ono o tyle „bezpieczniejsze”, iż zawsze   Jeżeli   jest podgrupą normalną, to   (zob. Normalność) i wtedy zbiór warstw[i] oznacza się zwykle wyłącznie za pomocą pierwszego z przytoczonych symboli, tj. jak zbiór warstw lewostronnych[j].

WłasnościEdytuj

Jeżeli   oznacza element neutralny w   to warstwa lewostronna   równa jest podgrupie   a ta jest równa warstwie prawostronnej  [k] (warstwa ta jest jedyną wśród nich podgrupą, gdyż tylko ona zawiera element neutralny); równości   oraz   zachodzą wtedy i tylko wtedy, gdy  [l]. Równość   warstw lewostronnych zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy   dla pewnego  [m], co wprost z definicji warstwy jest równoważne warunkowi   bądź  [n], który można również zastąpić równością  [o]; podobnie dla warstw prawostronnych[p].

Grupa   jest sumą parami rozłącznych warstw lewostronnych[q] i podobnie dla warstw prawostronnych; innymi słowy warstwy lewo- i prawostronne względem   wprowadzają odpowiednio podziały   oraz   w zbiorze elementów grupy   (które nie muszą być identyczne, zob. kolejną sekcję i Przykłady). Ze wzajemnej odpowiedniości podziałów i relacji równoważności wynika, że wspomniane podziały można uzyskać za pomocą relacji równoważności   bądź   utożsamiających elementy z jednej warstwy lewo- bądź prawostronnej, tzn.   albo   (por. wzór Motywacja); opierając się na powyższych własnościach równości warstw, relacje te definiuje się zwykle za pomocą równoważnych wzorów[r]

 

przy czym klasy równoważności   mają postać warstw lewostronych   a klasy równoważności   są warstwami prawostronnymi  [s]. Wynika stąd, że zbiory ilorazowe   oraz   odpowiadają odpowiednio podziałom   oraz   własności warstw można więc wywnioskować z własności klas równoważności: w szczególności dwie warstwy lewostronne (prawostronne) względem   są rozłączne, każdy element grupy   należy do jednej i tylko jednej z nich, a ponadto żadna z nich nie jest pusta (zawiera przynajmniej jeden element)[t].

Sztywność struktury grupy gwarantuje więcej: warstwy lewostronne są równoliczne, podobnie ma się rzecz z warstwami prawostronnymi[u]. Podgrupa   jest równocześnie warstwą lewo- i prawostronną – dlatego równoliczne są wszystkie warstwy (  oraz   dla dowolnego  ) grupy   względem   w szczególności jeżeli rząd   jest skończony, to   dla każdego  [v]. Sytuacja ta jest warta podkreślenia, gdyż klasy abstrakcji dowolnych relacji równoważności określonych na zbiorach, np. elementów grupy, nie muszą być równoliczne (zob. rysunek w sekcji Motywacja). Równoliczne są również same podziały   oraz   złożone odpowiednio z warstw lewo- i prawostronnych[w], a ich wspólna moc   nazywana jest indeksem   w   Wprost stąd wynika, że na skończony rząd   składa się rząd pojedynczej warstwy grupy   względem podgrupy   pomnożony przez ich liczbę, tzn. zachodzi wzór[x]

 

(przy oznaczeniach z sekcji Motywacja jest  [y]). Powyższy wynik, wyrażony zwykle w postaci: rząd podgrupy jest dzielnikiem rzędu grupy, nazywa się zwykle twierdzeniem Lagrange’a, choć niekiedy nazwę tę nosi nieprecyzyjnie bezpośredni z niego wniosek: rząd elementu jest dzielnikiem rzędu grupy[z] (zob. rząd elementu i grupy).

NormalnośćEdytuj

Osobne artykuły: podgrupa normalnagrupa ilorazowa.

Każda warstwa prawostronna względem podgrupy   może być postrzegana jako warstwa lewostronna względem podgrupy   do niej sprzężonej, gdyż   dla dowolnego   Z tego powodu mylące może być mówienie o warstwach względem danej podgrupy bez wskazywania, czy chodzi o warstwy lewo-, czy prawostronne. Nie mniej uwaga ta podsuwa pomysł na to jak zapewnić, by relacje   oraz   dawały jeden zbiór ilorazowy   tzn. podgrupa   wyznaczała jeden podział   w grupie   Mianowicie   czyli   dla dowolnego   podgrupy   grupy   spełniające podany warunek nazywa się normalnymi; innymi słowy podgrupy normalne to podgrupy, które (jako całość) są przemienne ze wszystkimi elementami grupy  [aa][ab].

Jeżeli podgrupa   nie jest normalna, to mimo ich wspólnego indeksu podziały   na warstwy lewo- i prawostronne względem   są istotnie różne. Mimo to mogą istnieć pojedyncze warstwy   dla pewnego   które są równe, tzn.   sytuacja ta zachodzi np. wtedy, gdy element   jest przemienny z dowolnym elementem grupy, tj. należy do centrum   (w szczególności jest tak dla  ).

Normalność podgrupy   jest równoważna temu, by mogła być ona jądrem homomorfizmu grupy   co z kolei umożliwia określenie na zbiorze warstw   działania ich mnożenia   danego wzorem

 

Zbiór   tworzy wraz z tym działaniem grupę nazywaną grupą ilorazową. W grupach przemiennych, w których korzysta się zwykle z notacji addytywnej, warstwy lewo- i prawostronne grupy   względem podgrupy   wyznaczane przez element   są zawsze równe,   (wprost z ich definicji), czyli każda podgrupa jest normalna; stąd grupa ilorazowa   istnieje dla dowolnej podgrupy   grupy przemiennej  [j].

PrzykładyEdytuj

Dla dowolnej grupy   warstwami (lewo- i prawostronnymi) względem podgrupy trywialnej   są wszystkie jej podzbiory jednoelementowe zbioru   z drugiej strony jedyną warstwą (tak lewo- jak i prawostronną) względem jej podgrupy niewłaściwej (tzn.  ) jest cała grupa   W pierwszym przypadku odpowiednia relacja równoważności utożsamia każdy element grupy sam ze sobą, w drugim tożsame są wszystkie elementy grupy[ac]. Dla obu podgrup podziały wyznaczone są jednoznacznie, co oznacza, że tak podgrupa trywialna, jak i niewłaściwa są normalne w dowolnej grupie.

Niech   będzie grupą liczb całkowitych z dodawaniem, a   będzie zbiorem liczb parzystych. Ponieważ dla dowolnych elementów   zachodzi  [ad], to zbiór   spełnia kryterium bycia podgrupą w   Istnieją dwie warstwy lewostronne   względem   które tworzą odpowiednio zbiory parzystych i nieparzystych liczb całkowitych:

 

istnieją również dokładnie dwie warstwy prawostronne postaci

 

które są równe odpowiadającym im warstwom lewostronnym. Ta sytuacja jest przypadkiem szczególnym dwóch ogólnych reguł mówiących, kiedy warstwy lewostronne są równe prawostronnym (tj. dwóch niezależnych warunków wystarczających na normalność podgrupy):

  • istnieje jeden podział na warstwy względem danej podgrupy, o ile tylko działanie w grupie jest przemienne (grupa jest abelowa)[ae];
  • wszystkie podziały dwuelementowe na warstwy względem danej podgrupy są równe (podgrupa jest indeksu 2)[af].

Wspomniane podziały wyznaczane są przez (tożsame) relacje równoważności

 

które wyrażają tę samą własność: dwa elementy uważane są za równoważne, jeżeli ich różnica jest liczbą parzystą. Analogicznie rozpatrywać można warstwy   dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej   prowadzi to wprost do tzw. arytmetyki modulo   (są to grupy ilorazowe przemiennej grupy   względem ich podgrup   dla  ).

 
Grupa permutacji   ma tę samą strukturę, co grupa symetrii (tj. grupa izometrii) trójkąta równobocznego (zob. grupa euklidesowa):     odpowiadają symetriom osiowym (o osiach przechodzących przez dany wierzchołek i środek przeciwległego do niego boku), zaś   i   odpowiadają obrotom (o 120°, −120°) wokół środka tego trójkąta;   odpowiada przekształceniu tożsamościowemu. (Por. grupa diedralna, działanie grupy na zbiorze).

Niech dany będzie trójelementowy zbiór; jego elementy można uporządkować w różnorodny sposób, uzyskując   różnych ciągów. Zmiany uporządkowania możliwe są dzięki tzw. permutacjom, czyli przekształceniom zmieniającym porządek elementów danego zbioru; we wspomnianym przypadku wszystkie permutacje zbioru trójelementowego tworzą grupę permutacji   rzędu  [ag] (jest to najmniejsza, w sensie liczby elementów, grupa nieprzemienna). Grupa ta ma cztery nietrywialne podgrupy właściwe[ah] (wszystkie cykliczne): trzy rzędu   i jedną rzędu   ostatnia z nich jest normalna, tj. wyznacza podział w   jednoznacznie (gdyż jest on dwuelementowy), każda z trzech pozostałych – nie jest normalna, czyli rozpatrywanie warstw lewo- i prawostonnych wprowadza dwa istotnie różne podziały. Niech przekształcenie   oznacza zachowanie uporządkowania (element neutralny), a   oznacza zmianę uporządkowania polegające na przestawieniu dwóch pierwszych elementów (zachowaniu wyłącznie trzeciego elementu) – wspomniane dwie permutacje   tworzą podgrupę   grupy   Warstwami lewo- i prawostronnymi   względem   są odpowiednio

 

które są istotnie różne (jedynym wspólnym elementem tych podziałów jest podgrupa  ), gdzie     to przestawienia dwóch elementów zachowujące  -ty, zaś   to cykliczne przestawienia wszystkich elementów odpowiednio „w lewo” i „w prawo”, tzn.   oraz  

Warstwy lewostronne   względem  
ι τ3 σL τ2 σR τ1
ι ι τ3 σL τ2 σR τ1
τ3 τ3 ι τ1 σR τ2 σL
σL σL τ2 σR τ1 ι τ3
τ2 τ2 σL τ3 ι τ1 σR
σR σR τ1 ι τ3 σL τ2
τ1 τ1 σR τ2 σL τ3 ι
Warstwy prawostronne   względem  
ι τ3 σL τ1 σR τ2
ι ι τ3 σL τ1 σR τ2
τ3 τ3 ι τ1 σL τ2 σR
σL σL τ2 σR τ3 ι τ1
τ1 τ1 σR τ2 ι τ3 σL
σR σR τ1 ι τ2 σL τ3
τ2 τ2 σL τ3 σR τ1 ι

UogólnieniaEdytuj

Niech   będzie grupą, a   i   jej dowolnymi podgrupami. Podzbiory grupy   postaci

 

dla   nazywa się warstwami podwójnymi grupy   względem   oraz   wyznaczonymi przez element  

Zbiór   wszystkich warstw podwójnych grupy   względem   oraz   stanowi rozbicie grupy   na rozłączne podzbiory[ai], jak miało to miejsce w przypadku zwykłych warstw, choć w moc tego zbioru nie musi dzielić rzędu grupy, a same warstwy mogą mieć różne moce, które również nie muszą dzielić rzędu grupy (por. przykłady niżej). Istnieje jednak następujący odpowiednik „wzorów indeksowych”   oraz  [aj]:

Twierdzenie Frobeniusa
Niech   będzie grupą skończoną, a   jej podgrupami. Wówczas
 
Przykłady

Zwykłe warstwy są przypadkiem szczególnym warstw podwójnych, w których jedna z podgrup jest trywialna:   oraz   gdzie   zawiera wyłącznie element neutralny   grupy   Podobnie   staje się zbiorem warstw lewo- bądź prawostronnych. Jak odwracanie przekształcało   na   (bijekcja ustalająca równoliczność warstw lewo- i prawostronnych), tak przekształca ono   na  

Jeżeli   jest przemienna, to iloczyn (kompleksowy) zbiorów   tworzy podgrupę w   a warstwy podwójne względem   oraz   są po prostu zwykłymi warstwami względem podgrupy  

Niech dana będzie grupa   z oznaczeniami z sekcji Przykłady. Jeżeli   zaś   to warstwą podwójną względem tych podgrup wyznaczoną przez   jest

 

z kolei   wyznacza warstwę

 

Są to wszystkie warstwy wyznaczane przez te dwie podgrupy. Jeśli   to istnieją tylko dwie warstwy podwójne:   oraz  

Niech   będzie grupą diedralną oraz   gdzie   oznaczają odpowiednio elementy rzędu 4 i 2 (obrót i symetrię). Różnymi warstwami dwustronnymi względem   (oraz  ) są:

 

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Intuicyjnie warstwa to egzemplarz danej podgrupy „przesunięty” w grupie: razem „wypełniają” całą grupę.
  2. Poglądowo indeks to „rozmiar” grupy względem jej ustalonej podgrupy: liczba egzemplarzy danej podgrupy, które „wypełnią” grupę.
  3. Z własności homomorfizmów dla dowolnych   skoro   to   czyli   tj.   Oznacza to, że wraz z dowolnymi   również   (oraz  ) – zob. charakteryzacja podgrupy.
  4. Otóż niech   tzn.   wówczas   czyli   tj.   skąd   co oznacza, że element równoważny do   należy do zbioru   Odwrotnie, dowolny element   zbioru   jest równoważny z   ponieważ wtedy   gdyż   oznacza, że  
  5. Przechodząc w poprzednim dowodzie od   do   uzyskuje się, że klasy równoważności elementu   można również zapisać w postaci   dla   Sytuacja ta jest typowa dla podgrup   będących jądrami homomorfizmów; dla podgrup nie mogącymi być jądrami homomorfizmów istnieją   dla których   por. dalsza część artykułu.
  6. A także   co wskazano wyżej.
  7. Nieco uogólniona, obserwacja ta znana jest jako pierwsze twierdzenie o izomorfizmie.
  8. Tożsamość pojęć „podział ↔ relacja równoważności” jest prawdziwa na gruncie teorii mnogości; jednakże równoważność „relacja równoważności ↔ jądro homomorfizmu” oprócz teorii grup zachodzi tylko w teorii pierścieni; dla części struktur algebraicznych prawdziwa jest zależność „relacja równoważności → jądro homomorfizmu” (np. dla półgrup z jedynką), w ogólności pojęcia te nie muszą wykazywać żadnego związku „relacja równoważności – jądro homomorfizmu” (czyniąc pojęcie jądra nieużytecznym).
  9. A także określoną na nim grupę ilorazową.
  10. a b W przypadku grup w notacji addytywnej (zwykle przemiennych) właściwe jest mówienie o „grupach różnicowych” wraz z oznaczeniem   (por. Scott, 2012); w polskiej tradycji matematycznej oznaczenia te są w gruncie rzeczy niespotykane.
  11. Wprost z definicji warstwy lewostronnej   i podobnie dla warstwy prawostronnej.
  12. Jeśli   to   czyli   Odwrotnie: jeżeli   to również   zatem   oraz   dla wszystkich   (gdyż   jako podgrupa jest zamknięta ze względu na mnożenie), czyli   dla dowolnego   zatem   oraz   a więc   Podobnie dla warstw prawostronnych.
  13. Jeśli   to   czyli   dla pewnego   odwrotnie: jeśli   to   zatem   oraz   dla wszystkich   (z zamkniętości   na mnożenie), skąd   oraz   czyli  
  14. Z pierwszego warunku równości   wtedy i tylko wtedy, gdy   dla pewnego   które można wtedy zapisać jako  
  15. Z poprzedniego warunku   wtedy i tylko wtedy, gdy   co jest równoważne   na mocy poprzedniego stwierdzenia.
  16. Analogicznie   zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy   dla pewnego   co można zastąpić warunkiem   który jest równoważny   bądź  
  17. Skoro   dla każdego   to   ponadto dla dowolnego   jest   zatem   a więc   stąd   Warstwy lewostronne względem   są parami rozłączne, gdyż w przeciwnym przypadku dla pewnych   byłoby   czyli istniałby element   należący do obu tych warstw:   oraz   co z charakteryzacji równości warstw oznaczałoby, iż   oraz   czyli   Stąd nierozłączne warstwy są równe.
  18. Tak określona relacja   (jak i  ) istotnie jest równoważnością. Zwrotność: dla dowolnego   zachodzi   skąd   Symetryczność: jeżeli   tj.   skąd   czyli   tzn.   Przechodniość: jeżeli   oraz   tj.   oraz   to również   skąd   tzn.  
    W istocie zwrotność, symetryczność i przechodniość wynikają z faktu, iż   jest podgrupą: kolejno z   oraz zamkniętości   ze względu na branie odwrotności i mnożenie.
  19. Wprost z określenia relacji równoważności   prawdziwe są równoważności   dla   z obserwacji tej i definicji warstwy lewostronnej wynika wtedy, że   Dowód dla warstw prawostronnych jest analogiczny.
  20. Dla ustalonych elementu   oraz (niepustej; zob. grupa trywialna) podgrupy   warstwa   powstaje w wyniku dobrze określonego (wprost z definicji grupy) mnożenia   oraz dowolnego elementu   które dla dowolnych dwóch elementów grupy   daje element tej grupy, skąd   musi zawierać co najmniej jeden element. Analogicznie dla warstw prawostronnych.
  21. Wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość ustalają mnożenia lewo- i prawostronne elementów   przez elementy   mianowicie funkcje   dana wzorem   oraz   określona wzorem   dla dowolnego   Iniektywność: jeżeli   bądź   to   suriektywność: zbiory   oraz   składają się ze wszystkich elementów postaci odpowiednio   lub   (są to w istocie odwzorowania ilorazowe).
  22. Wzór ten jest prawdziwy, jeśli przyjąć, że gdy warstwa   nie jest zbiorem skończonym, to  
  23. Odpowiedniość   jest źle określona (zob. podgrupę   w Przykładach, dla której żadne z warstw lewo- i prawostronnych, poza   nie są równe); odpowiednią bijekcją jest   Odwzorowanie to jest dobrze określone, ponieważ   pociąga   istotnie:   oznacza   skąd też   a więc   czyli   Ponadto jest ono różnowartościowe (wystarczy odwrócić wynikanie w poprzednim rozumowaniu) oraz „na” ze względu na to, że dowolna warstwa prawostronna   jest obrazem warstwy lewostronnej   w przekształceniu   mianowicie  
  24. Jeżeli   lub   nie są skończone, to można przyjąć, iż   bądź   wtedy wzór mówi o tym, że nieskończoność rzędu   pociąga i jest pociągana przez nieskończoność rzędu  
  25. Por. z twierdzeniem o rzędzie   dla przekształcenia liniowego   między przestrzeniami liniowymi.
  26. Wystarczy rozważyć podgrupę (cykliczną)   generowaną przez element   rzędu  
  27. Warunek   dla dowolnego   nie oznacza   dla   oraz   lecz że dla dowolnego   istnieją   dla których  
  28. Podgrupy normalne nazywane były też niegdyś samosprzężonymi, gdyż spełniają one   albo niezmienniczymi (ze względu na sprzężenia); dziś określeń tych, podobnie jak „dzielnik normalny” (nazwa związana z konstrukcją grupy ilorazowej), nie stosuje się jako mylących.
  29. Homomorfizm   z sekcji Motywacja jest odpowiednio przekształceniem stałym w element neutralny (przez co  ) oraz identycznością (dzięki czemu  ).
  30. Elementy   są postaci   oraz   dla pewnych   zatem istotnie   dla pewnego   (różnica liczb parzystych jest liczbą parzystą); ponadto   zatem  
  31. Niech   będzie grupą przemienną, wtedy   dla dowolnego   na mocy przemienności, czyli   dla każdego  
  32. Jeżeli jednym z elementów dwuelementowego podziału jest   gdzie   jest elementem neutralnym (podgrupa ta jest zarazem warstwą lewo- jak i prawostronną), to drugim musi być dopełnienie   podgrupy   w  
  33. Grupa   nazywana również grupą symetryczną rzędu   ma strukturę identyczną z grupą diedralną   będąca grupą izometrii własnych trójkąta równobocznego (zob. grupa euklidesowa).
  34. Pozostałe dwie podgrupy to jednoelementowa podgrupa trywialna zawierająca przekształcenie tożsamościowe oraz cała grupa  
  35. Równoważnie: Każdy element znajduje się w pewnej warstwie podwójnej, a jeśli element należy do dwóch warstw podwójnych, to są one równe.
    Dowód: Ponieważ   gdzie   jest elementem neutralnym grupy, to dowolny element grupy należy do pewnej warstwy podwójnej. Niech warstwy   oraz   mają element wspólny:   gdzie   oraz   należy dowieść, iż warstwy te są równe. Z założonej równości wynika   a więc dla dowolnych   i   zachodzi   zatem   Przeciwne zawieranie dowodzi się analogicznie, skąd  
  36. Wzór upraszcza się do zwykłego wzoru na indeksy, gdy jedna z podgrup jest trywialna.

PrzypisyEdytuj

  1. Białynicki-Birula, 2009: definicja 4.7.
  2. Gleichgewicht, 2004: definicja 13.4.

BibliografiaEdytuj