Twierdzenie o rzędzie

Twierdzenie o rzędzietwierdzenie algebry liniowej opisujące związek między obrazem a jądrem danego przekształcenia liniowego; bywa ono łączone z nazwiskiem Jamesa Josepha Sylvestera, ogólniejszą postacią tego prawidła jest tzw. twierdzenie o izomorfizmie, w ogólności: przekształcenie liniowe przestrzeni na jej obraz rozszczepia się.

Analogiczne twierdzenie zachodzi dla dowolnej macierzy ustalonego typu (jest ona macierzą przekształcenia liniowego między dwoma przestrzeniami liniowymi skończonych wymiarów z wybranymi bazami). W przypadku układów równań liniowych twierdzenie to opisuje postać rozwiązania ogólnego układu jednorodnego: zmienne układu można podzielić na zależne i niezależne (nie są one wyznaczone jednoznacznie, lecz liczba zmiennych danego rodzaju jest zachowana); przypadek niejednorodny opisuje twierdzenie Kroneckera-Capellego.

TwierdzenieEdytuj

Niech   będzie przekształceniem liniowym określonym między ustalonymi przestrzeniami liniowymi   Wówczas zachodzi równość

 

co oznacza się również

 

gdzie   oznacza wymiar przestrzeni (względem jej ciała skalarów), a   oznaczają odpowiednio dziedzinę, jądro i obraz przekształcenia liniowego, zaś   nazywane zerowością i rzędem, symbolizują wymiary jądra i obrazu (są one podprzestrzeniami liniowymi). Innymi słowy: wymiar dziedziny jest sumą wymiarów jądra i obrazu (sumie zerowości i rzędu) tego przekształcenia.

Jeżeli   jest macierzą typu   czyli o   wierszach i   kolumnach, to

 

gdzie   i   oznaczają odpowiednio zerowość (wymiar jądra) oraz rząd (liczbę niezależnych liniowo kolumn) macierzy.

DowódEdytuj

Niech   oznacza podprzestrzeń przestrzeni   spełniającą   a układ   będzie bazą   (tj. wraz z bazą   tworzy ona bazę  ). Wówczas układ   jest bazą  

Generowanie
Niech   wtedy   dla pewnego   który z rozkładu na sumę prostą można jednoznacznie przedstawić w postaci   gdzie   oraz   który można z kolei wyrazić w bazie tej podprzestrzeni jako   dla pewnych skalarów   Stąd
 
co wobec dowolności   oznacza, że układ   rozpina  
Liniowa niezależność
Niech
 
wtedy   czyli   należy równocześnie do   (jako kombinacja liniowa wektorów tej przestrzeni) oraz do   (jako element odwzorowywany w tym przekształceniu w wektor zerowy). Ponieważ jedynym wektorem wspólnym dla tych przestrzeni jest wektor zerowy (z rozkładu na sumę prostą), to   czyli
 
(na mocy liniowej niezależności bazy  ), co dowodzi liniowej niezależności  

Teza twierdzenia wynika wprost z obserwacji, iż   i własności wymiaru dla sumy prostej.

Przypadek nieskończeniewymiarowy
Dowód uogólnia się wprost na przestrzenie nieskończonego wymiaru: jeżeli   to układ   wystarczy zastąpić dowolną bazą   przestrzeni   jeśli   to twierdzenie to mówi, że przestrzenie   oraz   nie mogą mieć jednocześnie skończonego wymiaru.

WnioskiEdytuj

Z twierdzenia tego można wyprowadzić szereg obserwacji:

  • izomorfizm liniowy   przeprowadza dowolną bazę   na bazę   gdyż wtedy  
  • ponieważ z równości wymiarów dziedziny i przeciwdziedziny przekształcenia liniowego wynika, iż jest ono izomorfizmem liniowym, to w połączeniu z powyższym faktem przestrzenie liniowe są izomorficzne, tj. mają identyczną strukturę liniową, gdy są równego wymiaru (wymiar jest niezmiennikiem przestrzeni liniowych);
  • jeśli dla przekształcenia liniowego   jest   to jest ono monomorfizmem oraz epimorfizmem, a przez to izomorfizmem; na mocy założenia i z twierdzenia o rzędzie wynika następujący ciąg równoważności:
     

Zobacz teżEdytuj