Obraz (matematyka)
Obraz – zbiór wszystkich wartości (należących do przeciwdziedziny) przyjmowanych przez funkcję dla każdego elementu danego podzbioru jej dziedziny[1].
Obraz funkcji to obraz jej całej dziedziny; dla funkcji oznacza się go (ang. image – obraz)[potrzebny przypis] lub [2]:
Zbiór ten jest też znany jako zbiór wartości[2][3][4] lub przeciwdziedzina, przy czym dwie dalsze nazwy bywają stosowane wymiennie[5][6]. Inne źródła definiują te dwa terminy inaczej niż obraz funkcji[potrzebny przypis][a].
Obraz można zdefiniować nie tylko dla funkcji, ale ogólnie dla wszystkich relacji dwuargumentowych.
Definicja
edytujSłowo „obraz” może oznaczać jedno z trzech poniższych, powiązanych ze sobą, pojęć. Dalej oznacza funkcję (w szczególności, np. w algebrze liniowej, operator) ze zbioru w zbiór
Obraz elementu
edytuj- Jeżeli jest elementem to czyli wartość funkcji na elemencie nazywa się obrazem poprzez
Obraz zbioru
edytuj- Obrazem zbioru w funkcji nazywa się podzbiór wszystkich obrazów elementów tego zbioru, tzn. zbiór
- Jeżeli nie istnieje ryzyko pomyłki, to zamiast pisze się Zapis ten pozwala na interpretację obrazu poprzez jako funkcji, której dziedziną jest zbiór potęgowy (wszystkie podzbiory) zbioru a przeciwdziedziną zbiór potęgowy zbioru
Notacja
edytujTradycyjne sposoby zapisu przedstawione w wyżej mogą prowadzić do nieścisłości. Alternatywą[7] może być wyodrębnienie oddzielnych nazw dla obrazu i przeciwobrazu jako funkcji między zbiorami potęgowymi:
- Notacja strzałkowa
- gdzie
- Notacja gwiazdkowa
- zamiast
- Inne
- Alternatywną notacją wykorzystywaną m.in. w logice matematycznej i teorii mnogości jest [potrzebny przypis].
Przykłady
edytuj- określona wzorem
- Obrazem zbioru poprzez jest Obrazem funkcji jest
- dana wzorem
- Obrazem w jest a obrazem jest
- Jeżeli jest rozmaitością, a jest rzutem kanonicznym wiązki stycznej na to przestrzenie styczne dla Jest to przykład wiązki włóknistej.
Własności
edytujNiech dana będzie funkcja Dla wszystkich podzbiorów oraz zachodzą następujące własności:
- obraz jest podzbiorem przeciwdziedziny:
- operacja obrazu jest monotoniczna, tzn.
- oraz
- prawdziwe są także poniższe związki z działaniami brania sumy i przekroju zbiorów:
- (jeśli funkcja jest różnowartościowa, to jest równość),
- z powyższych wynikają w szczególności te oto relacje z różnicą zbiorów:
Wyżej przedstawione stosunki łączące obrazy i przeciwobrazy z algebrą (Boole’a) przekrojów i sum zachodzą nie tylko dla par zbiorów (a przez indukcję – skończonej ich liczby), ale także dla dowolnej rodziny podzbiorów (także nieprzeliczalnej). Niech będzie rodziną indeksowaną podzbiorów a będzie rodziną indeksowaną podzbiorów Wówczas
W języku algebry podzbiorów powyższe obserwacje oznaczają, że funkcja brania obrazu jest homomorfizmem półkrat, lecz nie krat, ponieważ nie zawsze zachowuje przekroje.
Obraz w ogólności nie zachowuje mocy podzbiorów. a równość zachodzi tylko dla iniekcji (funkcji różnowartościowych)[potrzebny przypis].
Związki z przeciwobrazem
edytujDziałania brania obrazu i przeciwobrazu związane są ze sobą następującymi relacjami:
- (równość dla funkcji „na”),
- (równość dla funkcji różnowartościowej),
Zobacz też
edytuj- obraz w teorii kategorii
Uwagi
edytuj- ↑ Podobny problem istnieje w języku angielskim, z którego zapożyczono oznaczenia obrazu funkcji postaci bądź (ang. range – zbiór wartości, przeciwdziedzina; dosł. zakres)[potrzebny przypis].
Przypisy
edytuj- ↑ obraz zbioru, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-10-14] .
- ↑ a b Dziedzina, przeciwdziedzina i zbiór wartości funkcji, Matematyka z ZUT-em, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, matematyka.zut.edu.pl [dostęp 2023-12-22].
- ↑ Anna Jeżewska, Zbiór wartości funkcji. Przeczytaj, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-12-21].
- ↑ Piotr Stachura, Odczytywanie dziedziny i zbioru wartości funkcji z wykresu, kanał Khan Academy na YouTube, 8 października 2014 [dostęp 2023-12-21].
- ↑ przeciwdziedzina, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-21] .
- ↑ Anna Barbaszewska-Wiśniowska, Pojęcie funkcji. Dziedzina i przeciwdziedzina, pre-epodreczniki.open.agh.edu.pl, 19 października 2015 [dostęp 2023-12-22].
- ↑ Blyth 2005 ↓, s. 5.
Bibliografia
edytuj- Thomas Scott Blyth , Lattices and Ordered Algebraic Structures, London: Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5, OCLC 262677746 .
Literatura dodatkowa
edytuj- Michael Artin: Algebra. Prentice Hall, 1991. ISBN 81-203-0871-9.
Linki zewnętrzne
edytuj- Eric W. Weisstein , Image, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-10-10].
- Eric W. Weisstein , Range, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-10-10].
- Range of values (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-12-21].