Homomorfizm grup

Homomorfizm grup – funkcja odwzorowująca grupę w grupę, czyli przekształcenie zachowujące strukturę tych algebr[1][2].

Zapoznanie się ze strukturą wewnętrzną grupy możliwe jest przede wszystkim poprzez obserwację sposobu, w jaki oddziałuje ona z innymi grupami albo sama z sobą; oddziaływanie to odbywa się właśnie za pomocą homomorfizmów, dlatego aby zrozumieć budowę danej grupy, należy zgłębić związane z nią homomorfizmy. Przykładem mogą być homomorfizmy danej grupy w grupę jej wzajemnie jednoznacznych homomorfizmów (automorfizmów), w grupę jej bijekcji (grupę symetryczną), czy ogólniej: w grupę bijekcji ustalonego zbioru – są to odpowiednio działanie grupy na zbiorze swoich elementów poprzez automorfizmy bądź bijekcje oraz działanie grupy na dowolnym zbiorze[3]. Ważnym wynikiem jest twierdzenie Cayleya mówiące, że elementy dowolnej grupy można utożsamiać z pewną podgrupą bijekcji danej grupy (grupy symetrycznej; wszystkie grupy można więc traktować jako grupy przekształceń). Przedstawienie grupy w postaci (wewnętrznego) iloczynu prostego dwóch jej podgrup można scharakteryzować za pomocą pary homomorfizmów wspomnianej grupy w siebie (mianowicie endomorfizmów ortogonalnych); homomorfizmy grupy w grupę wzajemnie jednoznacznych homomorfizmów (automorfizmów) innej grupy[4] pojawiają się m.in. w definicji zewnętrznego iloczynu półprostego (zob. iloczyny grup).

DefinicjaEdytuj

W dalszej części artykułu grupy zapisywane będą w notacji multiplikatywnej, o ile wprost nie zostanie zaznaczone inaczej.

Niech   będą grupami, w których działanie grupowe oznaczane będzie odpowiednio za pomocą zestawienia oraz kropki[5]. Przekształcenie   nazywa się homomorfizmem grupy   w grupę   jeżeli dla każdego   zachodzi

 

Działanie homomorfizmu   na elemencie   zwyczajowo zapisywane   lub po prostu   bywa w niektórych monografiach odwracane:   można również spotkać się z oznaczeniem   Wówczas własności charakteryzujące homomorfizm zapisuje się   lub   przy czym notacja „potęgowa” stosowana jest przede wszystkim dla grup w zapisie multiplikatywnym, a „iloczynowa” (prosta i odwrócona) zwykle dla grup w zapisie addytywnym, tzn.   zamiast  [6].

WłasnościEdytuj

HomomorfizmyEdytuj

Zobacz też: homomorfizm, element neutralny, element odwrotny i rząd.

Od homomorfizmów ogólnych struktur algebraicznych wymaga się, by zachowywały każdy jej element składowy; w przypadku grup oprócz działania grupowego zachowywane powinny być więc element neutralny i odwracanie elementów. Dla homomorfizmów grup oba te warunki wynikają z powyższego; niech   wtedy zachodzą następujące własności:

  • zachowywanie elementu neutralnego[7]
     
  • zachowywanie elementu odwrotnego[8]
     

Homomorfizmy zachowują również potęgę elementu[9][10][11],

 

jednakże nie zachowują rzędu, a jedynie podzielność[12] (zob. Przykłady i twierdzenie Lagrange’a)

 

Inne morfizmyEdytuj

Zobacz też: endomorfizm, izomorfizm, automorfizm, monomorfizm i epimorfizm.

Endomorfizmem nazywa się dowolny homomorfizm   Homomorfizm odwracalny, tzn. homomorfizm   dla którego istnieje homomorfizm odwrotny   czyli spełniający tożsamość   gdzie   jest homomorfizmem tożsamościowym odpowiedniej grupy[13], nazywa się izomorfizmem. Grupy   dla których istnieje izomorfizm, nazywa się izomorficznymi i oznacza   relacja izomorficzności grup jest relacją równoważności w klasie wszystkich grup[14]

Endomorfizmy będące zarazem izomorfizmami nazywa się automorfizmami – można je uważać za uogólnienia symetrii grupy. Ponieważ izomorfizm   odwrotny do izomorfizmu   również jest izomorfizmem, to automorfizmy danej grupy   tworzą grupę, w której działaniem jest ich składanie   a elementem neutralnym jest izomorfizm tożsamościowy  

Monomorfizmy i epimorfizmy to homomorfizmy mające odpowiednio lewo- i prawostronną własność skracania; z kolei bimorfizm to homomorfizm będący jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem; dowolny izomorfizm jest bimorfizmem, lecz niekoniecznie odwrotnie.

Powyższe definicje zaczerpnięte są wprost z teorii kategorii. Choć pojęcia endomorfizmu nie sposób sformułować w inny sposób, to izomorfizmy grup są w istocie ich bimorfizmami, przez co w teorii grup termin „bimorfizm” jest zupełnie nieznany i nieużywany. Na gruncie teorii mnogości monomorfizmy i epimorfizmy to homomorfizmy odpowiednio iniektywne (różnowartościowe) i suriektywne („na”), co oznacza, że izomorfizmy (bimorfizmy) są homomorfizmami bijektywnymi (wzajemnie jednoznacznymi). Do scharakteryzowania iniekcji i suriekcji wykorzystać można odpowiednio pojęcia jądra i obrazu funkcji – dzięki temu dla monomorfizmów jądro homomorfizmu będące relacją równoważności musi być równością (tzn. homomorfizm musi „odróżniać” wszystkie elementy dziedziny), a dla epimorfizmów obraz homomorfizmu musi być całą przeciwdziedziną.

Jądro i obrazEdytuj

Zobacz też: jądro i obraz oraz przeciwobraz.

W algebrze jądro i obraz homomorfizmu   definiuje się odpowiednio jako zbiory

 

oraz

 

gdzie   i   oznaczają odpowiednio obraz i przeciwobraz elementu bądź zbioru w przekształceniu   Obraz   jest podgrupą w   a jądro   jest podgrupą normalną[15] w   odwrotnie: każda podgrupa normalna jest jądrem pewnego homomorfizmu (zob. dalej).

Monomorfizm można wówczas zdefiniować jako homomorfizm   który ma trywialne jądro,   z kolei epimorfizm to homomorfizm   którego obraz jest całą przeciwdziedziną,   Izomorfizm   definiuje się jako homomorfizm spełniający oba powyższe warunki; definicje endomorfizmu i automorfizmu pozostają bez zmian (zob. wyżej).

FaktoryzacjaEdytuj

Zobacz też: grupa ilorazowa, twierdzenie o homomorfizmie i twierdzenie o izomorfizmie.

Podgrupa normalna   wyznacza jednoznacznie podział   na warstwy, w których zbiorze można wprowadzić wtedy strukturę grupy nazywanej grupą ilorazową   grupy   przez   przekształcenie rzutowe   grupy w zbiór warstw jest wtedy homomorfizmem; z tego powodu nazywany jest też homomorfizmem kanonicznym lub epimorfizmem kanonicznym (gdyż jako rzut jest suriekcją); określenia „kanoniczny” używa się zamiennie z „naturalny” (zob. transformacja naturalna).

Twierdzenie o homomorfizmie mówi, że istnieje jeden i tylko jeden monomorfizm   spełniający   z kolei twierdzenie o izomorfizmie zapewnia o izomorfizmie między   a   Grupę   nazywa się niekiedy koobrazem   z kolei jeżeli   jest podgrupą normalną w   to   nazywa się kojądrem  

DziałaniaEdytuj

Zobacz też: działanie określone punktowo, złożenie przekształceń i pierścień endomorfizmów grupy abelowej.

Niech   oznacza zbiór wszystkich przekształceń   Dla dwóch przekształceń   można określić punktowo działanie ich dodawania   wzorem[16]

 

dla wszystkich   które jest łączne (własność odziedziczona z grupy  ). Homomorfizm zerowy   (zob. Przykłady) jest elementem neutralnym tego działania. Ponadto dla każdego   istnieje element przeciwny   dany wzorem[17]  [18]. Innymi słowy   tworzy grupę względem wyżej opisanego dodawania przekształceń (nie tworzy jej z działaniem ich składania); jest ona przemienna, jeżeli   jest przemienna[19].

Niech   oznacza zbiór wszystkich przekształceń grupy   w siebie, wówczas   oznacza grupę symetryczną zawierającą bijekcje   czyli przekształcenia odwracalne należące do   Dodawanie przekształceń   w siebie jest rozdzielne prawostronnie względem ich złożenia (wg konwencji wiążącego silniej niż dodawanie): jeżeli   to

 

jednak w ogólności nie jest rozdzielne lewostronnie, tzn.   Strukturę określoną na zbiór   z działaniami dodawania (grupa) i składania jako mnożenia (półgrupa) rozdzielnymi (prawostronnie) względem siebie nazywa się quasi-pierścieniem. Wspomniana półgrupa jest w istocie monoidem, gdyż składanie ma element neutralny w postaci przekształcenia tożsamościowego  

Klasę wszystkich homomorfizmów grupowych   będącą podzbiorem   oznacza się symbolem   z kolei zbiór   endomorfizmów grupy   oznacza się   Ponieważ dla   ich złożenie   to   jest podmonoidem monoidu (zbiór z działaniem łącznym i elementem neutralnym)   mimo wszystko   nie musi należeć do   jeśli jednak tak jest, to o endomorfizmach   mówi się, że są addytywne – ma to miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny element   jest przemienny z dowolnym elementem  [20], co więcej  [21].

Jeśli   zaś   to dodawanie jest rozdzielne lewostronnie względem składania[22],

 

Gdy   jest grupą abelową (przemienną), to z powyższego wynika, że   ma strukturę pierścienia nazywanego pierścieniem endomorfizmów grupy   Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne: jeżeli   to z powyższego wynika, że   jest abelowa.

Dodawanie homomorfizmów grup abelowych jest rozdzielne względem ich złożenia: jeżeli   oraz   i   są homomorfizmami grup abelowych   to   oraz   Wynika stąd, że kategoria   wszystkich grup abelowych z ich homomorfizmami tworzy kategorię preaddytywną[23]; istnienie sum prostych dowolnych grup abelowych pełniących rolę ich biproduktu, czyni z niej kategorię addytywną. Ponieważ dla każdego homomorfizmu istnieje dobrze określone jądro i kojądro, to wspomniana kategoria grup abelowych jest kategorią preabelową, a skoro wszystkie monomorfizmy i epimorfizmy są normalne, to   jest kategorią abelową[24]; w istocie kategoria grup abelowych była prototypem dla kategorii abelowych.

NiezmienniczośćEdytuj

Zobacz też: element odwracalny, podgrupa normalna i podgrupy charakterystyczna oraz w pełni niezmiennicza.

Zbiór elementów odwracalnych (ze względu na ich składanie funkcji) w   nazywa się grupą automorfizmów   grupy  [25]. Przekształcenie   grupy   w grupę jej automorfizmów dane wzorem   gdzie automorfizm   jest automorfizmem wewnętrznym, tzn.   dla dowolnego   jest homomorfizmem grup, ponieważ[26]

 

Jądrem tego homomorfizmu jest zbiór

 

wszystkich elementów przemiennych z dowolnym elementem grupy, czyli centrum   grupy   obrazem jest z kolei

 

czyli zbiór wszystkich automorfizmów wewnętrznych   automorfizmy te tworzą podgrupę w   która jest normalna (zob. lemat Goursata) – grupę ilorazową   nazywa się grupą automorfizmów zewnętrznych pomimo że składa się ona ze zbiorów automorfizmów, które nie są wewnętrzne, a nie tych automorfizmów.

Podgrupę   grupy   nazywa się w pełni niezmienniczą, jeżeli   jest podgrupą w   dla dowolnego   jeżeli   spełnia ten sam warunek dla dowolnego   to nazywa się ją charakterystyczną[27], jeśli dla   zachodzi   to jest ona normalna[28]. Wynika stąd, że każda podgrupa w pełni niezmiennicza jest charakterystyczna, a każda podgrupa charakterystyczna jest normalna (zatem podgrupa w pełni niezmiennicza jest normalna). Wiele z powyższych koncepcji można zunifikować do ogólniejszego pojęcia grupy z operatorami (uogólnia ono również pojęcie modułu).

PrzykładyEdytuj

Homomorfizm   dany wzorem   dla dowolnego   nazywa się homomorfizmem trywialnym lub zerowym, gdyż jego obrazem jest podgrupa trywialna w   odwzorowanie to jest monomorfizmem wyłącznie wtedy, gdy   jest grupą trywialną. Jest to zarazem przykład na to, iż rząd obrazu elementu nie musi być równy rzędowi elementu (nie może być z większy, co wynika z zachowania potęgowania): dowolny element   rzędu większego niż   jest przekształcany przez   na element   rzędu   Homomorfizm   zdefiniowany jako   dla każdego   jest endomorfizmem, a nawet automorfizmem grupy   który nazywany jest identycznościowym lub tożsamościowym („identycznością” lub „tożsamością”; ponieważ jest on elementem neutralnym grupy automorfizmów nazywa się go niekiedy automorfizmem trywialnym). W każdej grupie   rzędu większego niż   istnieje różny od   automorfizm: jeśli   jest przemienna (abelowa), to jest nim   dla  [29], w grupie nieprzemiennej można wybrać element   należący do jej centrum, dla którego automorfizm wewnętrzny   jest nietrywialny.

Niech   będzie grupą różnych od zera liczb rzeczywistych z działaniem grupowym mnożenia, odwracaniem liczb i jedynką jako elementem neutralnym. Odwzorowanie wartości bezwzględnej   przypisujące   jest endomorfizmem, którego obraz   jest zbiorem wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych. Przekształcenie   również jest endomorfizmem tej grupy o tym samym obrazie. Jądrem obu homomorfizmów jest podgrupa   (izomorficzna z   z działaniem dodawania modulo   braniem liczby przeciwnej oraz zerem jako elementem neutralnym).

Funkcja wykładnicza   jest homomorfizmem grup addytywnej i multiplikatywnej ciała liczb rzeczywistych, gdyż   którego jądrem jest zbiór   a obrazem jest zbiór   dodatnich liczb rzeczywistych (  jest monomorfizmem, ale nie epimorfizmem; izomorfizmem jest określony tym samym wzorem homomorfizm   w grupę multiplikatywną dodatnich liczb rzeczywistych). Podobnie funkcja   dana wzorem   jest homomorfizmem grupy addytywnej liczb na prostej rzeczywistej z dodawaniem w multiplikatywną grupę liczb z okręgu jednostkowego na płaszczyźnie zespolonej z mnożeniem (zob. grupa okręgu)[30], którego jądrem są liczby całkowite (zatem nie jest on monomorfizmem, tzn. różnowartościowy), z kolei jest epimorfizmem (czyli „na”). Homomorfizmy grupy przemiennej w grupę multiplikatywną ciała liczb zespolonych nazywa się charakterami grupy.

Grupa automorfizmów grupy czwórkowej Kleina jest izomorficzna z grupą permutacji zbioru trójelementowego,   Grupa   jest jedyną grupą   rzędu większego niż   dla której   składa się ze wszystkich bijekcji   zachowujących jedynkę grupy[31]. Pierścień   grupy czwórkowej Kleina jest izomorficzny z pierścieniem   macierzy typu   nad  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. ↑ Z punktu widzenia teorii kategorii homomorfizmy są elementami klasy morfizmów kategorii grup   dlatego nazywa się je czasami morfizmami grup.
  2. ↑ Jeżeli grupa wyposażona jest w dodatkową strukturę, to zwykle wymaga się, by homomorfizmy zachowywały całość struktury – przykładowo od homomorfizmów grup topologicznych wymaga się często, aby były dodatkowo ciągłe, czyli zachowywały określoną na nich strukturę topologiczną.
  3. ↑ Dla grupy   są to odpowiednio homomorfizmy     oraz   dla pewnego zbioru   (zob. Działania). Inną tego rodzaju konstrukcją jest grupa z operatorami definiowana dla danego zbioru   i grupy   jako homomorfizm   (zob. Niezmienniczość).
  4. ↑ Mają one postać   dla grup  
  5. ↑ Zwyczajowo we wszystkich grupach działanie grupowe oznaczane jest w ten sam sposób (choć na danym zbiorze można określić zwykle wiele różnych grup), czyli przez zestawienie dla grup w notacji multiplikatywnej i za pomocą dodawania w notacji addytywnej; zapis addytywny jest standardem w teorii grup abelowych (przemiennych).
  6. ↑ Oznaczenia, w których symbol homomorfizmu znajduje się po prawej stronie argumentu, pozostają wtedy w zgodzie z notacją złożenia funkcji odwracającą porządek przykładania funkcji, czyli   wtedy   oznacza   W tym artykule   oznacza przyłożenie funkcji   a następnie   czyli  
  7. ↑ Własność wynika z równości   (pierwsza kropka oznacza działanie w  ), do obu strony której przyłożono element odwrotny do  
  8. ↑ Kolejno: z powyższej własności, definicji elementu odwrotnego i homomorfizmu jest   co po lewostronnym przemnożeniu obu stron równania przez element odwrotny do   daje żądaną własność.
  9. ↑ Dowodząc indukcyjnie: przypadek   jest trywialny; jeżeli   to  
  10. ↑ W połączeniu z powyższymi własnościami można przyjąć, że  
  11. ↑ W notacji addytywnej zachowywana jest wielokrotność elementu:   dla   co w przypadku grup przemiennych umożliwia postrzeganie ich jako  -modułów.
  12. ↑ Jeżeli   to   jest najmniejszą liczbą naturalną spełniającą   zatem na mocy powyższej własności   co daje tylko podzielność   przez  
  13. ↑ Innymi słowy dla dowolnego   musi zachodzić   oraz dla dowolnego   musi zachodzić  
  14. ↑ Wyróżnia się również tzw.  -izomorficzność zbiorów zachodzącą, gdy grupa   działa na tych zbiorach w taki sam sposób (zob. porównywanie działań grupy na zbiorze).
  15. ↑ Jądro jest w istocie podgrupą charakterystyczną.
  16. ↑ Poniższy wzór jest bardziej intuicyjny w notacji potęgowej:  
  17. ↑ W notacji potęgowej:  
  18. ↑ Tzn. spełnia on   tj.   skąd   dla każdego  
  19. ↑ W notacji addytywnej powyższe wzory są jeszcze bardziej sugestywne:   czy   dla  
  20. ↑ Równanie   jest równoważne  
  21. ↑ Podstawiając   w poprzednim rozumowaniu otrzymuje się   dla każdego  
  22. ↑ Dla dowolnego   zachodzi   przy czym w trzeciej równości korzysta się z założenia, iż  
  23. ↑ W starszych pozycjach, np. (Semadeni i Wiweger, 1978; s. 251–252), kategorie te nazywa się kategoriami addytywnymi.
  24. ↑ (Semadeni i Wiweger, 1978; s. 259–260).
  25. ↑ Elementem odwrotnym do   jest  
  26. ↑ Pierwsza i trzecia równość zachodzą z definicji   druga jest prawdziwa na mocy równości   dla dowolnego   (dowód drugiej równości, zob. grupa).
  27. ↑ W istocie jeżeli   jest charakterystyczna w   to   musi być równa   gdyż   jak i   muszą być podgrupami   przy czym drugi warunek oznacza, że   jest podgrupą  
  28. ↑ Podobnie jak w poprzednim przypadku musi być   dla dowolnego automorfizmu wewnętrznego   wyznaczanego przez  
  29. ↑ Ponieważ homomorfizmy zachowują jedynkę grupy, to w grupie rzędu   czyli trywialnej, jedynym automorfizmem jest tożsamość; w grupie rzędu   oprócz jedynki przekształcanej na siebie automorfizm musi odwzorowywać pozostały element również na siebie.
  30. ↑ W gruncie rzeczy wszystkie homomorfizmy grup addytywnych w multiplikatywne danych ciał są funkcjami wykładniczymi, jednak są one interesujące również z tego względu, iż są rozwiązaniami równań różniczkowych, np. funkcja   jest rozwiązaniem równania   Zależności między tymi własnościami bada się w topologii algebraicznej rozważając tzw. grupy Liego (grup z działaniami ciągłymi na przestrzeniach topologicznych); wówczas powyższe dwie grupy są grupami topologicznymi, homomorfizm   jest ciągły, czyli jest również homomorfizmem grup topologicznych (a więc homomorfizmem grup Liego). W ten sposób badanie homomorfizmów grup topologicznych ma bliski związek z rozwiązywaniem równań różniczkowych.
  31. ↑ Jeżeli   ma rząd większy niż   zaś   są różnymi jej elementami   to istnieje bijekcja zbioru   dla której       nie może być ona zawężeniem do   żadnego automorfizmu   Jeżeli   jest rzędu   to   jest cykliczna i ma dwuelementową grupę automorfizmów.

BibliografiaEdytuj

  • Semadeni Z., Wiweger A.: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Warszawa: PWN, 1978.
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Homomorfizm_grup&oldid=61270400”