Homomorfizm grup
Homomorfizm grup – funkcja odwzorowująca grupę w grupę, czyli przekształcenie zachowujące strukturę tych algebr[1][2].
Zapoznanie się ze strukturą wewnętrzną grupy możliwe jest przede wszystkim poprzez obserwację sposobu, w jaki oddziałuje ona z innymi grupami albo sama z sobą; oddziaływanie to odbywa się właśnie za pomocą homomorfizmów, dlatego aby zrozumieć budowę danej grupy, należy zgłębić związane z nią homomorfizmy. Przykładem mogą być homomorfizmy danej grupy w grupę jej wzajemnie jednoznacznych homomorfizmów (automorfizmów), w grupę jej bijekcji (grupę symetryczną), czy ogólniej: w grupę bijekcji ustalonego zbioru – są to odpowiednio działanie grupy na zbiorze swoich elementów poprzez automorfizmy bądź bijekcje oraz działanie grupy na dowolnym zbiorze[3]. Ważnym wynikiem jest twierdzenie Cayleya mówiące, że elementy dowolnej grupy można utożsamiać z pewną podgrupą bijekcji danej grupy (grupy symetrycznej; wszystkie grupy można więc traktować jako grupy przekształceń). Przedstawienie grupy w postaci (wewnętrznego) iloczynu prostego dwóch jej podgrup można scharakteryzować za pomocą pary homomorfizmów wspomnianej grupy w siebie (mianowicie endomorfizmów ortogonalnych); homomorfizmy grupy w grupę wzajemnie jednoznacznych homomorfizmów (automorfizmów) innej grupy[4] pojawiają się m.in. w definicji zewnętrznego iloczynu półprostego (zob. iloczyny grup).
DefinicjaEdytuj
- W dalszej części artykułu grupy zapisywane będą w notacji multiplikatywnej, o ile wprost nie zostanie zaznaczone inaczej.
Niech będą grupami, w których działanie grupowe oznaczane będzie odpowiednio za pomocą zestawienia oraz kropki[5]. Przekształcenie nazywa się homomorfizmem grupy w grupę jeżeli dla każdego zachodzi
Działanie homomorfizmu na elemencie zwyczajowo zapisywane lub po prostu bywa w niektórych monografiach odwracane: można również spotkać się z oznaczeniem Wówczas własności charakteryzujące homomorfizm zapisuje się lub przy czym notacja „potęgowa” stosowana jest przede wszystkim dla grup w zapisie multiplikatywnym, a „iloczynowa” (prosta i odwrócona) zwykle dla grup w zapisie addytywnym, tzn. zamiast [6].
WłasnościEdytuj
HomomorfizmyEdytuj
Od homomorfizmów ogólnych struktur algebraicznych wymaga się, by zachowywały każdy jej element składowy; w przypadku grup oprócz działania grupowego zachowywane powinny być więc element neutralny i odwracanie elementów. Dla homomorfizmów grup oba te warunki wynikają z powyższego; niech wtedy zachodzą następujące własności:
Homomorfizmy zachowują również potęgę elementu[9][10][11],
jednakże nie zachowują rzędu, a jedynie podzielność[12] (zob. Przykłady i twierdzenie Lagrange’a)
Inne morfizmyEdytuj
Endomorfizmem nazywa się dowolny homomorfizm Homomorfizm odwracalny, tzn. homomorfizm dla którego istnieje homomorfizm odwrotny czyli spełniający tożsamość gdzie jest homomorfizmem tożsamościowym odpowiedniej grupy[13], nazywa się izomorfizmem. Grupy dla których istnieje izomorfizm, nazywa się izomorficznymi i oznacza relacja izomorficzności grup jest relacją równoważności w klasie wszystkich grup[14]
Endomorfizmy będące zarazem izomorfizmami nazywa się automorfizmami – można je uważać za uogólnienia symetrii grupy. Ponieważ izomorfizm odwrotny do izomorfizmu również jest izomorfizmem, to automorfizmy danej grupy tworzą grupę, w której działaniem jest ich składanie a elementem neutralnym jest izomorfizm tożsamościowy
Monomorfizmy i epimorfizmy to homomorfizmy mające odpowiednio lewo- i prawostronną własność skracania; z kolei bimorfizm to homomorfizm będący jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem; dowolny izomorfizm jest bimorfizmem, lecz niekoniecznie odwrotnie.
Powyższe definicje zaczerpnięte są wprost z teorii kategorii. Choć pojęcia endomorfizmu nie sposób sformułować w inny sposób, to izomorfizmy grup są w istocie ich bimorfizmami, przez co w teorii grup termin „bimorfizm” jest zupełnie nieznany i nieużywany. Na gruncie teorii mnogości monomorfizmy i epimorfizmy to homomorfizmy odpowiednio iniektywne (różnowartościowe) i suriektywne („na”), co oznacza, że izomorfizmy (bimorfizmy) są homomorfizmami bijektywnymi (wzajemnie jednoznacznymi). Do scharakteryzowania iniekcji i suriekcji wykorzystać można odpowiednio pojęcia jądra i obrazu funkcji – dzięki temu dla monomorfizmów jądro homomorfizmu będące relacją równoważności musi być równością (tzn. homomorfizm musi „odróżniać” wszystkie elementy dziedziny), a dla epimorfizmów obraz homomorfizmu musi być całą przeciwdziedziną.
Jądro i obrazEdytuj
W algebrze jądro i obraz homomorfizmu definiuje się odpowiednio jako zbiory
oraz
gdzie i oznaczają odpowiednio obraz i przeciwobraz elementu bądź zbioru w przekształceniu Obraz jest podgrupą w a jądro jest podgrupą normalną[15] w odwrotnie: każda podgrupa normalna jest jądrem pewnego homomorfizmu (zob. dalej).
Monomorfizm można wówczas zdefiniować jako homomorfizm który ma trywialne jądro, z kolei epimorfizm to homomorfizm którego obraz jest całą przeciwdziedziną, Izomorfizm definiuje się jako homomorfizm spełniający oba powyższe warunki; definicje endomorfizmu i automorfizmu pozostają bez zmian (zob. wyżej).
FaktoryzacjaEdytuj
Podgrupa normalna wyznacza jednoznacznie podział na warstwy, w których zbiorze można wprowadzić wtedy strukturę grupy nazywanej grupą ilorazową grupy przez przekształcenie rzutowe grupy w zbiór warstw jest wtedy homomorfizmem; z tego powodu nazywany jest też homomorfizmem kanonicznym lub epimorfizmem kanonicznym (gdyż jako rzut jest suriekcją); określenia „kanoniczny” używa się zamiennie z „naturalny” (zob. transformacja naturalna).
Twierdzenie o homomorfizmie mówi, że istnieje jeden i tylko jeden monomorfizm spełniający z kolei twierdzenie o izomorfizmie zapewnia o izomorfizmie między a Grupę nazywa się niekiedy koobrazem z kolei jeżeli jest podgrupą normalną w to nazywa się kojądrem
DziałaniaEdytuj
Niech oznacza zbiór wszystkich przekształceń Dla dwóch przekształceń można określić punktowo działanie ich dodawania wzorem[16]
dla wszystkich które jest łączne (własność odziedziczona z grupy ). Homomorfizm zerowy (zob. Przykłady) jest elementem neutralnym tego działania. Ponadto dla każdego istnieje element przeciwny dany wzorem[17] [18]. Innymi słowy tworzy grupę względem wyżej opisanego dodawania przekształceń (nie tworzy jej z działaniem ich składania); jest ona przemienna, jeżeli jest przemienna[19].
Niech oznacza zbiór wszystkich przekształceń grupy w siebie, wówczas oznacza grupę symetryczną zawierającą bijekcje czyli przekształcenia odwracalne należące do Dodawanie przekształceń w siebie jest rozdzielne prawostronnie względem ich złożenia (wg konwencji wiążącego silniej niż dodawanie): jeżeli to
jednak w ogólności nie jest rozdzielne lewostronnie, tzn. Strukturę określoną na zbiór z działaniami dodawania (grupa) i składania jako mnożenia (półgrupa) rozdzielnymi (prawostronnie) względem siebie nazywa się quasi-pierścieniem. Wspomniana półgrupa jest w istocie monoidem, gdyż składanie ma element neutralny w postaci przekształcenia tożsamościowego
Klasę wszystkich homomorfizmów grupowych będącą podzbiorem oznacza się symbolem z kolei zbiór endomorfizmów grupy oznacza się Ponieważ dla ich złożenie to jest podmonoidem monoidu (zbiór z działaniem łącznym i elementem neutralnym) mimo wszystko nie musi należeć do jeśli jednak tak jest, to o endomorfizmach mówi się, że są addytywne – ma to miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny element jest przemienny z dowolnym elementem [20], co więcej [21].
Jeśli zaś to dodawanie jest rozdzielne lewostronnie względem składania[22],
Gdy jest grupą abelową (przemienną), to z powyższego wynika, że ma strukturę pierścienia nazywanego pierścieniem endomorfizmów grupy Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne: jeżeli to z powyższego wynika, że jest abelowa.
Dodawanie homomorfizmów grup abelowych jest rozdzielne względem ich złożenia: jeżeli oraz i są homomorfizmami grup abelowych to oraz Wynika stąd, że kategoria wszystkich grup abelowych z ich homomorfizmami tworzy kategorię preaddytywną[23]; istnienie sum prostych dowolnych grup abelowych pełniących rolę ich biproduktu, czyni z niej kategorię addytywną. Ponieważ dla każdego homomorfizmu istnieje dobrze określone jądro i kojądro, to wspomniana kategoria grup abelowych jest kategorią preabelową, a skoro wszystkie monomorfizmy i epimorfizmy są normalne, to jest kategorią abelową[24]; w istocie kategoria grup abelowych była prototypem dla kategorii abelowych.
NiezmienniczośćEdytuj
Zbiór elementów odwracalnych (ze względu na ich składanie funkcji) w nazywa się grupą automorfizmów grupy [25]. Przekształcenie grupy w grupę jej automorfizmów dane wzorem gdzie automorfizm jest automorfizmem wewnętrznym, tzn. dla dowolnego jest homomorfizmem grup, ponieważ[26]
Jądrem tego homomorfizmu jest zbiór
wszystkich elementów przemiennych z dowolnym elementem grupy, czyli centrum grupy obrazem jest z kolei
czyli zbiór wszystkich automorfizmów wewnętrznych automorfizmy te tworzą podgrupę w która jest normalna (zob. lemat Goursata) – grupę ilorazową nazywa się grupą automorfizmów zewnętrznych pomimo że składa się ona ze zbiorów automorfizmów, które nie są wewnętrzne, a nie tych automorfizmów.
Podgrupę grupy nazywa się w pełni niezmienniczą, jeżeli jest podgrupą w dla dowolnego jeżeli spełnia ten sam warunek dla dowolnego to nazywa się ją charakterystyczną[27], jeśli dla zachodzi to jest ona normalna[28]. Wynika stąd, że każda podgrupa w pełni niezmiennicza jest charakterystyczna, a każda podgrupa charakterystyczna jest normalna (zatem podgrupa w pełni niezmiennicza jest normalna). Wiele z powyższych koncepcji można zunifikować do ogólniejszego pojęcia grupy z operatorami (uogólnia ono również pojęcie modułu).
PrzykładyEdytuj
Homomorfizm dany wzorem dla dowolnego nazywa się homomorfizmem trywialnym lub zerowym, gdyż jego obrazem jest podgrupa trywialna w odwzorowanie to jest monomorfizmem wyłącznie wtedy, gdy jest grupą trywialną. Jest to zarazem przykład na to, iż rząd obrazu elementu nie musi być równy rzędowi elementu (nie może być z większy, co wynika z zachowania potęgowania): dowolny element rzędu większego niż jest przekształcany przez na element rzędu Homomorfizm zdefiniowany jako dla każdego jest endomorfizmem, a nawet automorfizmem grupy który nazywany jest identycznościowym lub tożsamościowym („identycznością” lub „tożsamością”; ponieważ jest on elementem neutralnym grupy automorfizmów nazywa się go niekiedy automorfizmem trywialnym). W każdej grupie rzędu większego niż istnieje różny od automorfizm: jeśli jest przemienna (abelowa), to jest nim dla [29], w grupie nieprzemiennej można wybrać element należący do jej centrum, dla którego automorfizm wewnętrzny jest nietrywialny.
Niech będzie grupą różnych od zera liczb rzeczywistych z działaniem grupowym mnożenia, odwracaniem liczb i jedynką jako elementem neutralnym. Odwzorowanie wartości bezwzględnej przypisujące jest endomorfizmem, którego obraz jest zbiorem wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych. Przekształcenie również jest endomorfizmem tej grupy o tym samym obrazie. Jądrem obu homomorfizmów jest podgrupa (izomorficzna z z działaniem dodawania modulo braniem liczby przeciwnej oraz zerem jako elementem neutralnym).
Funkcja wykładnicza jest homomorfizmem grup addytywnej i multiplikatywnej ciała liczb rzeczywistych, gdyż którego jądrem jest zbiór a obrazem jest zbiór dodatnich liczb rzeczywistych ( jest monomorfizmem, ale nie epimorfizmem; izomorfizmem jest określony tym samym wzorem homomorfizm w grupę multiplikatywną dodatnich liczb rzeczywistych). Podobnie funkcja dana wzorem jest homomorfizmem grupy addytywnej liczb na prostej rzeczywistej z dodawaniem w multiplikatywną grupę liczb z okręgu jednostkowego na płaszczyźnie zespolonej z mnożeniem (zob. grupa okręgu)[30], którego jądrem są liczby całkowite (zatem nie jest on monomorfizmem, tzn. różnowartościowy), z kolei jest epimorfizmem (czyli „na”). Homomorfizmy grupy przemiennej w grupę multiplikatywną ciała liczb zespolonych nazywa się charakterami grupy.
Grupa automorfizmów grupy czwórkowej Kleina jest izomorficzna z grupą permutacji zbioru trójelementowego, Grupa jest jedyną grupą rzędu większego niż dla której składa się ze wszystkich bijekcji zachowujących jedynkę grupy[31]. Pierścień grupy czwórkowej Kleina jest izomorficzny z pierścieniem macierzy typu nad
Zobacz teżEdytuj
PrzypisyEdytuj
- ↑ Z punktu widzenia teorii kategorii homomorfizmy są elementami klasy morfizmów kategorii grup dlatego nazywa się je czasami morfizmami grup.
- ↑ Jeżeli grupa wyposażona jest w dodatkową strukturę, to zwykle wymaga się, by homomorfizmy zachowywały całość struktury – przykładowo od homomorfizmów grup topologicznych wymaga się często, aby były dodatkowo ciągłe, czyli zachowywały określoną na nich strukturę topologiczną.
- ↑ Dla grupy są to odpowiednio homomorfizmy oraz dla pewnego zbioru (zob. Działania). Inną tego rodzaju konstrukcją jest grupa z operatorami definiowana dla danego zbioru i grupy jako homomorfizm (zob. Niezmienniczość).
- ↑ Mają one postać dla grup
- ↑ Zwyczajowo we wszystkich grupach działanie grupowe oznaczane jest w ten sam sposób (choć na danym zbiorze można określić zwykle wiele różnych grup), czyli przez zestawienie dla grup w notacji multiplikatywnej i za pomocą dodawania w notacji addytywnej; zapis addytywny jest standardem w teorii grup abelowych (przemiennych).
- ↑ Oznaczenia, w których symbol homomorfizmu znajduje się po prawej stronie argumentu, pozostają wtedy w zgodzie z notacją złożenia funkcji odwracającą porządek przykładania funkcji, czyli wtedy oznacza W tym artykule oznacza przyłożenie funkcji a następnie czyli
- ↑ Własność wynika z równości (pierwsza kropka oznacza działanie w ), do obu strony której przyłożono element odwrotny do
- ↑ Kolejno: z powyższej własności, definicji elementu odwrotnego i homomorfizmu jest co po lewostronnym przemnożeniu obu stron równania przez element odwrotny do daje żądaną własność.
- ↑ Dowodząc indukcyjnie: przypadek jest trywialny; jeżeli to
- ↑ W połączeniu z powyższymi własnościami można przyjąć, że
- ↑ W notacji addytywnej zachowywana jest wielokrotność elementu: dla co w przypadku grup przemiennych umożliwia postrzeganie ich jako -modułów.
- ↑ Jeżeli to jest najmniejszą liczbą naturalną spełniającą zatem na mocy powyższej własności co daje tylko podzielność przez
- ↑ Innymi słowy dla dowolnego musi zachodzić oraz dla dowolnego musi zachodzić
- ↑ Wyróżnia się również tzw. -izomorficzność zbiorów zachodzącą, gdy grupa działa na tych zbiorach w taki sam sposób (zob. porównywanie działań grupy na zbiorze).
- ↑ Jądro jest w istocie podgrupą charakterystyczną.
- ↑ Poniższy wzór jest bardziej intuicyjny w notacji potęgowej:
- ↑ W notacji potęgowej:
- ↑ Tzn. spełnia on tj. skąd dla każdego
- ↑ W notacji addytywnej powyższe wzory są jeszcze bardziej sugestywne: czy dla
- ↑ Równanie jest równoważne
- ↑ Podstawiając w poprzednim rozumowaniu otrzymuje się dla każdego
- ↑ Dla dowolnego zachodzi przy czym w trzeciej równości korzysta się z założenia, iż
- ↑ W starszych pozycjach, np. (Semadeni i Wiweger, 1978; s. 251–252), kategorie te nazywa się kategoriami addytywnymi.
- ↑ (Semadeni i Wiweger, 1978; s. 259–260).
- ↑ Elementem odwrotnym do jest
- ↑ Pierwsza i trzecia równość zachodzą z definicji druga jest prawdziwa na mocy równości dla dowolnego (dowód drugiej równości, zob. grupa).
- ↑ W istocie jeżeli jest charakterystyczna w to musi być równa gdyż jak i muszą być podgrupami przy czym drugi warunek oznacza, że jest podgrupą
- ↑ Podobnie jak w poprzednim przypadku musi być dla dowolnego automorfizmu wewnętrznego wyznaczanego przez
- ↑ Ponieważ homomorfizmy zachowują jedynkę grupy, to w grupie rzędu czyli trywialnej, jedynym automorfizmem jest tożsamość; w grupie rzędu oprócz jedynki przekształcanej na siebie automorfizm musi odwzorowywać pozostały element również na siebie.
- ↑ W gruncie rzeczy wszystkie homomorfizmy grup addytywnych w multiplikatywne danych ciał są funkcjami wykładniczymi, jednak są one interesujące również z tego względu, iż są rozwiązaniami równań różniczkowych, np. funkcja jest rozwiązaniem równania Zależności między tymi własnościami bada się w topologii algebraicznej rozważając tzw. grupy Liego (grup z działaniami ciągłymi na przestrzeniach topologicznych); wówczas powyższe dwie grupy są grupami topologicznymi, homomorfizm jest ciągły, czyli jest również homomorfizmem grup topologicznych (a więc homomorfizmem grup Liego). W ten sposób badanie homomorfizmów grup topologicznych ma bliski związek z rozwiązywaniem równań różniczkowych.
- ↑ Jeżeli ma rząd większy niż zaś są różnymi jej elementami to istnieje bijekcja zbioru dla której nie może być ona zawężeniem do żadnego automorfizmu Jeżeli jest rzędu to jest cykliczna i ma dwuelementową grupę automorfizmów.
BibliografiaEdytuj
- Semadeni Z., Wiweger A.: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Warszawa: PWN, 1978.