Otwórz menu główne

Homomorfizm grupfunkcja odwzorowująca grupę w grupę, czyli przekształcenie zachowujące strukturę tych algebr[1][2].

Zapoznanie się ze strukturą wewnętrzną grupy możliwe jest przede wszystkim poprzez obserwację sposobu, w jaki oddziałuje ona z innymi grupami albo sama z sobą; oddziaływanie to odbywa się właśnie za pomocą homomorfizmów, dlatego aby zrozumieć budowę danej grupy, należy zgłębić związane z nią homomorfizmy. Przykładem mogą być homomorfizmy danej grupy w grupę jej wzajemnie jednoznacznych homomorfizmów (automorfizmów), w grupę jej bijekcji (grupę symetryczną), czy ogólniej: w grupę bijekcji ustalonego zbioru – są to odpowiednio działanie grupy na zbiorze swoich elementów poprzez automorfizmy bądź bijekcje oraz działanie grupy na dowolnym zbiorze[3]. Ważnym wynikiem jest twierdzenie Cayleya mówiące, że elementy dowolnej grupy można utożsamiać z pewną podgrupą bijekcji danej grupy (grupy symetrycznej; wszystkie grupy można więc traktować jako grupy przekształceń). Przedstawienie grupy w postaci (wewnętrznego) iloczynu prostego dwóch jej podgrup można scharakteryzować za pomocą pary homomorfizmów wspomnianej grupy w siebie (mianowicie endomorfizmów ortogonalnych); homomorfizmy grupy w grupę wzajemnie jednoznacznych homomorfizmów (automorfizmów) innej grupy[4] pojawiają się m.in. w definicji zewnętrznego iloczynu półprostego (zob. iloczyny grup).

DefinicjaEdytuj

W dalszej części artykułu grupy zapisywane będą w notacji multiplikatywnej, o ile wprost nie zostanie zaznaczone inaczej.

Niech   będą grupami, w których działanie grupowe oznaczane będzie odpowiednio za pomocą zestawienia oraz kropki[5]. Przekształcenie   nazywa się homomorfizmem grupy   w grupę   jeżeli dla każdego   zachodzi

 

Działanie homomorfizmu   na elemencie   zwyczajowo zapisywane   lub po prostu   bywa w niektórych monografiach odwracane:   można również spotkać się z oznaczeniem   Wówczas własności charakteryzujące homomorfizm zapisuje się   lub   przy czym notacja „potęgowa” stosowana jest przede wszystkim dla grup w zapisie multiplikatywnym, a „iloczynowa” (prosta i odwrócona) zwykle dla grup w zapisie addytywnym, tzn.   zamiast  [6].

WłasnościEdytuj

HomomorfizmyEdytuj

Od homomorfizmów ogólnych struktur algebraicznych wymaga się, by zachowywały każdy jej element składowy; w przypadku grup oprócz działania grupowego zachowywane powinny być więc element neutralny i odwracanie elementów. Dla homomorfizmów grup oba te warunki wynikają z powyższego; niech   wtedy zachodzą następujące własności:

  • zachowywanie elementu neutralnego[7]
     
  • zachowywanie elementu odwrotnego[8]
     

Homomorfizmy zachowują również potęgę elementu[9][10][11],

 

jednakże nie zachowują rzędu, a jedynie podzielność[12] (zob. Przykłady i twierdzenie Lagrange’a)

 

Inne morfizmyEdytuj

Endomorfizmem nazywa się dowolny homomorfizm   Homomorfizm odwracalny, tzn. homomorfizm   dla którego istnieje homomorfizm odwrotny   czyli spełniający tożsamość   gdzie   jest homomorfizmem tożsamościowym odpowiedniej grupy[13], nazywa się izomorfizmem. Grupy   dla których istnieje izomorfizm, nazywa się izomorficznymi i oznacza   relacja izomorficzności grup jest relacją równoważności w klasie wszystkich grup[14]

Endomorfizmy będące zarazem izomorfizmami nazywa się automorfizmami – można je uważać za uogólnienia symetrii grupy. Ponieważ izomorfizm   odwrotny do izomorfizmu   również jest izomorfizmem, to automorfizmy danej grupy   tworzą grupę, w której działaniem jest ich składanie   a elementem neutralnym jest izomorfizm tożsamościowy  

Monomorfizmy i epimorfizmy to homomorfizmy mające odpowiednio lewo- i prawostronną własność skracania; z kolei bimorfizm to homomorfizm będący jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem; dowolny izomorfizm jest bimorfizmem, lecz niekoniecznie odwrotnie.

Powyższe definicje zaczerpnięte są wprost z teorii kategorii. Choć pojęcia endomorfizmu nie sposób sformułować w inny sposób, to izomorfizmy grup są w istocie ich bimorfizmami, przez co w teorii grup termin „bimorfizm” jest zupełnie nieznany i nieużywany. Na gruncie teorii mnogości monomorfizmy i epimorfizmy to homomorfizmy odpowiednio iniektywne (różnowartościowe) i suriektywne („na”), co oznacza, że izomorfizmy (bimorfizmy) są homomorfizmami bijektywnymi (wzajemnie jednoznacznymi). Do scharakteryzowania iniekcji i suriekcji wykorzystać można odpowiednio pojęcia jądra i obrazu funkcji – dzięki temu dla monomorfizmów jądro homomorfizmu będące relacją równoważności musi być równością (tzn. homomorfizm musi „odróżniać” wszystkie elementy dziedziny), a dla epimorfizmów obraz homomorfizmu musi być całą przeciwdziedziną.

Jądro i obrazEdytuj

W algebrze jądro i obraz homomorfizmu   definiuje się odpowiednio jako zbiory

 

oraz

 

gdzie   i   oznaczają odpowiednio obraz i przeciwobraz elementu bądź zbioru w przekształceniu   Obraz   jest podgrupą w   a jądro   jest podgrupą normalną[15] w   odwrotnie: każda podgrupa normalna jest jądrem pewnego homomorfizmu (zob. dalej).

Monomorfizm można wówczas zdefiniować jako homomorfizm   który ma trywialne jądro,   z kolei epimorfizm to homomorfizm   którego obraz jest całą przeciwdziedziną,   Izomorfizm   definiuje się jako homomorfizm spełniający oba powyższe warunki; definicje endomorfizmu i automorfizmu pozostają bez zmian (zob. wyżej).

FaktoryzacjaEdytuj

Podgrupa normalna   wyznacza jednoznacznie podział   na warstwy, w których zbiorze można wprowadzić wtedy strukturę grupy nazywanej grupą ilorazową   grupy   przez   przekształcenie rzutowe   grupy w zbiór warstw jest wtedy homomorfizmem; z tego powodu nazywany jest też homomorfizmem kanonicznym lub epimorfizmem kanonicznym (gdyż jako rzut jest suriekcją); określenia „kanoniczny” używa się zamiennie z „naturalny” (zob. transformacja naturalna).

Twierdzenie o homomorfizmie mówi, że istnieje jeden i tylko jeden monomorfizm   spełniający   z kolei twierdzenie o izomorfizmie zapewnia o izomorfizmie między   a   Grupę   nazywa się niekiedy koobrazem   z kolei jeżeli   jest podgrupą normalną w   to   nazywa się kojądrem  

DziałaniaEdytuj

Niech   oznacza zbiór wszystkich przekształceń   Dla dwóch przekształceń   można określić punktowo działanie ich dodawania   wzorem[16]

 

dla wszystkich   które jest łączne (własność odziedziczona z grupy  ). Homomorfizm zerowy   (zob. Przykłady) jest elementem neutralnym tego działania. Ponadto dla każdego   istnieje element przeciwny   dany wzorem[17]  [18]. Innymi słowy   tworzy grupę względem wyżej opisanego dodawania przekształceń (nie tworzy jej z działaniem ich składania); jest ona przemienna, jeżeli   jest przemienna[19].

Niech   oznacza zbiór wszystkich przekształceń grupy   w siebie, wówczas   oznacza grupę symetryczną zawierającą bijekcje   czyli przekształcenia odwracalne należące do   Dodawanie przekształceń   w siebie jest rozdzielne prawostronnie względem ich złożenia (wg konwencji wiążącego silniej niż dodawanie): jeżeli   to

 

jednak w ogólności nie jest rozdzielne lewostronnie, tzn.   Strukturę określoną na zbiór   z działaniami dodawania (grupa) i składania jako mnożenia (półgrupa) rozdzielnymi (prawostronnie) względem siebie nazywa się quasi-pierścieniem. Wspomniana półgrupa jest w istocie monoidem, gdyż składanie ma element neutralny w postaci przekształcenia tożsamościowego  

Klasę wszystkich homomorfizmów grupowych   będącą podzbiorem   oznacza się symbolem   z kolei zbiór   endomorfizmów grupy   oznacza się   Ponieważ dla   ich złożenie   to   jest podmonoidem monoidu (zbiór z działaniem łącznym i elementem neutralnym)   mimo wszystko   nie musi należeć do   jeśli jednak tak jest, to o endomorfizmach   mówi się, że są addytywne – ma to miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny element   jest przemienny z dowolnym elementem  [20], co więcej  [21].

Jeśli   zaś   to dodawanie jest rozdzielne lewostronnie względem składania[22],

 

Gdy   jest grupą abelową (przemienną), to z powyższego wynika, że   ma strukturę pierścienia nazywanego pierścieniem endomorfizmów grupy   Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne: jeżeli   to z powyższego wynika, że   jest abelowa.

Dodawanie homomorfizmów grup abelowych jest rozdzielne względem ich złożenia: jeżeli   oraz   i   są homomorfizmami grup abelowych   to   oraz   Wynika stąd, że kategoria   wszystkich grup abelowych z ich homomorfizmami tworzy kategorię preaddytywną[23]; istnienie sum prostych dowolnych grup abelowych pełniących rolę ich biproduktu, czyni z niej kategorię addytywną. Ponieważ dla każdego homomorfizmu istnieje dobrze określone jądro i kojądro, to wspomniana kategoria grup abelowych jest kategorią preabelową, a skoro wszystkie monomorfizmy i epimorfizmy są normalne, to   jest kategorią abelową[24]; w istocie kategoria grup abelowych była prototypem dla kategorii abelowych.

NiezmienniczośćEdytuj

Zbiór elementów odwracalnych (ze względu na ich składanie funkcji) w   nazywa się grupą automorfizmów   grupy  [25]. Przekształcenie   grupy   w grupę jej automorfizmów dane wzorem   gdzie automorfizm   jest automorfizmem wewnętrznym, tzn.   dla dowolnego   jest homomorfizmem grup, ponieważ[26]

 

Jądrem tego homomorfizmu jest zbiór

 

wszystkich elementów przemiennych z dowolnym elementem grupy, czyli centrum   grupy   obrazem jest z kolei

 

czyli zbiór wszystkich automorfizmów wewnętrznych   automorfizmy te tworzą podgrupę w   która jest normalna (zob. lemat Goursata) – grupę ilorazową   nazywa się grupą automorfizmów zewnętrznych pomimo że składa się ona ze zbiorów automorfizmów, które nie są wewnętrzne, a nie tych automorfizmów.

Podgrupę   grupy   nazywa się w pełni niezmienniczą, jeżeli   jest podgrupą w   dla dowolnego   jeżeli   spełnia ten sam warunek dla dowolnego   to nazywa się ją charakterystyczną[27], jeśli dla   zachodzi   to jest ona normalna[28]. Wynika stąd, że każda podgrupa w pełni niezmiennicza jest charakterystyczna, a każda podgrupa charakterystyczna jest normalna (zatem podgrupa w pełni niezmiennicza jest normalna). Wiele z powyższych koncepcji można zunifikować do ogólniejszego pojęcia grupy z operatorami (uogólnia ono również pojęcie modułu).

PrzykładyEdytuj

Homomorfizm   dany wzorem   dla dowolnego   nazywa się homomorfizmem trywialnym lub zerowym, gdyż jego obrazem jest podgrupa trywialna w   odwzorowanie to jest monomorfizmem wyłącznie wtedy, gdy   jest grupą trywialną. Jest to zarazem przykład na to, iż rząd obrazu elementu nie musi być równy rzędowi elementu (nie może być z większy, co wynika z zachowania potęgowania): dowolny element   rzędu większego niż   jest przekształcany przez   na element   rzędu   Homomorfizm   zdefiniowany jako   dla każdego   jest endomorfizmem, a nawet automorfizmem grupy   który nazywany jest identycznościowym lub tożsamościowym („identycznością” lub „tożsamością”; ponieważ jest on elementem neutralnym grupy automorfizmów nazywa się go niekiedy automorfizmem trywialnym). W każdej grupie   rzędu większego niż   istnieje różny od   automorfizm: jeśli   jest przemienna (abelowa), to jest nim   dla  [29], w grupie nieprzemiennej można wybrać element   należący do jej centrum, dla którego automorfizm wewnętrzny   jest nietrywialny.

Niech   będzie grupą różnych od zera liczb rzeczywistych z działaniem grupowym mnożenia, odwracaniem liczb i jedynką jako elementem neutralnym. Odwzorowanie wartości bezwzględnej   przypisujące   jest endomorfizmem, którego obraz   jest zbiorem wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych. Przekształcenie   również jest endomorfizmem tej grupy o tym samym obrazie. Jądrem obu homomorfizmów jest podgrupa   (izomorficzna z   z działaniem dodawania modulo   braniem liczby przeciwnej oraz zerem jako elementem neutralnym).

Funkcja wykładnicza   jest homomorfizmem grup addytywnej i multiplikatywnej ciała liczb rzeczywistych, gdyż   którego jądrem jest zbiór   a obrazem jest zbiór   dodatnich liczb rzeczywistych (  jest monomorfizmem, ale nie epimorfizmem; izomorfizmem jest określony tym samym wzorem homomorfizm   w grupę multiplikatywną dodatnich liczb rzeczywistych). Podobnie funkcja   dana wzorem   jest homomorfizmem grupy addytywnej liczb na prostej rzeczywistej z dodawaniem w multiplikatywną grupę liczb z okręgu jednostkowego na płaszczyźnie zespolonej z mnożeniem (zob. grupa okręgu)[30], którego jądrem są liczby całkowite (zatem nie jest on monomorfizmem, tzn. różnowartościowy), z kolei jest epimorfizmem (czyli „na”). Homomorfizmy grupy przemiennej w grupę multiplikatywną ciała liczb zespolonych nazywa się charakterami grupy.

Grupa automorfizmów grupy czwórkowej Kleina jest izomorficzna z grupą permutacji zbioru trójelementowego,   Grupa   jest jedyną grupą   rzędu większego niż   dla której   składa się ze wszystkich bijekcji   zachowujących jedynkę grupy[31]. Pierścień   grupy czwórkowej Kleina jest izomorficzny z pierścieniem   macierzy typu   nad  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Z punktu widzenia teorii kategorii homomorfizmy są elementami klasy morfizmów kategorii grup   dlatego nazywa się je czasami morfizmami grup.
  2. Jeżeli grupa wyposażona jest w dodatkową strukturę, to zwykle wymaga się, by homomorfizmy zachowywały całość struktury – przykładowo od homomorfizmów grup topologicznych wymaga się często, aby były dodatkowo ciągłe, czyli zachowywały określoną na nich strukturę topologiczną.
  3. Dla grupy   są to odpowiednio homomorfizmy     oraz   dla pewnego zbioru   (zob. Działania). Inną tego rodzaju konstrukcją jest grupa z operatorami definiowana dla danego zbioru   i grupy   jako homomorfizm   (zob. Niezmienniczość).
  4. Mają one postać   dla grup  
  5. Zwyczajowo we wszystkich grupach działanie grupowe oznaczane jest w ten sam sposób (choć na danym zbiorze można określić zwykle wiele różnych grup), czyli przez zestawienie dla grup w notacji multiplikatywnej i za pomocą dodawania w notacji addytywnej; zapis addytywny jest standardem w teorii grup abelowych (przemiennych).
  6. Oznaczenia, w których symbol homomorfizmu znajduje się po prawej stronie argumentu, pozostają wtedy w zgodzie z notacją złożenia funkcji odwracającą porządek przykładania funkcji, czyli   wtedy   oznacza   W tym artykule   oznacza przyłożenie funkcji   a następnie   czyli  
  7. Własność wynika z równości   (pierwsza kropka oznacza działanie w  ), do obu strony której przyłożono element odwrotny do  
  8. Kolejno: z powyższej własności, definicji elementu odwrotnego i homomorfizmu jest   co po lewostronnym przemnożeniu obu stron równania przez element odwrotny do   daje żądaną własność.
  9. Dowodząc indukcyjnie: przypadek   jest trywialny; jeżeli   to  
  10. W połączeniu z powyższymi własnościami można przyjąć, że  
  11. W notacji addytywnej zachowywana jest wielokrotność elementu:   dla   co w przypadku grup przemiennych umożliwia postrzeganie ich jako  -modułów.
  12. Jeżeli   to   jest najmniejszą liczbą naturalną spełniającą   zatem na mocy powyższej własności   co daje tylko podzielność   przez  
  13. Innymi słowy dla dowolnego   musi zachodzić   oraz dla dowolnego   musi zachodzić  
  14. Wyróżnia się również tzw.  -izomorficzność zbiorów zachodzącą, gdy grupa   działa na tych zbiorach w taki sam sposób (zob. porównywanie działań grupy na zbiorze).
  15. Jądro jest w istocie podgrupą charakterystyczną.
  16. Poniższy wzór jest bardziej intuicyjny w notacji potęgowej:  
  17. W notacji potęgowej:  
  18. Tzn. spełnia on   tj.   skąd   dla każdego  
  19. W notacji addytywnej powyższe wzory są jeszcze bardziej sugestywne:   czy   dla  
  20. Równanie   jest równoważne  
  21. Podstawiając   w poprzednim rozumowaniu otrzymuje się   dla każdego  
  22. Dla dowolnego   zachodzi   przy czym w trzeciej równości korzysta się z założenia, iż  
  23. W starszych pozycjach, np. (Semadeni i Wiweger, 1978; s. 251–252), kategorie te nazywa się kategoriami addytywnymi.
  24. (Semadeni i Wiweger, 1978; s. 259–260).
  25. Elementem odwrotnym do   jest  
  26. Pierwsza i trzecia równość zachodzą z definicji   druga jest prawdziwa na mocy równości   dla dowolnego   (dowód drugiej równości, zob. grupa).
  27. W istocie jeżeli   jest charakterystyczna w   to   musi być równa   gdyż   jak i   muszą być podgrupami   przy czym drugi warunek oznacza, że   jest podgrupą  
  28. Podobnie jak w poprzednim przypadku musi być   dla dowolnego automorfizmu wewnętrznego   wyznaczanego przez  
  29. Ponieważ homomorfizmy zachowują jedynkę grupy, to w grupie rzędu   czyli trywialnej, jedynym automorfizmem jest tożsamość; w grupie rzędu   oprócz jedynki przekształcanej na siebie automorfizm musi odwzorowywać pozostały element również na siebie.
  30. W gruncie rzeczy wszystkie homomorfizmy grup addytywnych w multiplikatywne danych ciał są funkcjami wykładniczymi, jednak są one interesujące również z tego względu, iż są rozwiązaniami równań różniczkowych, np. funkcja   jest rozwiązaniem równania   Zależności między tymi własnościami bada się w topologii algebraicznej rozważając tzw. grupy Liego (grup z działaniami ciągłymi na przestrzeniach topologicznych); wówczas powyższe dwie grupy są grupami topologicznymi, homomorfizm   jest ciągły, czyli jest również homomorfizmem grup topologicznych (a więc homomorfizmem grup Liego). W ten sposób badanie homomorfizmów grup topologicznych ma bliski związek z rozwiązywaniem równań różniczkowych.
  31. Jeżeli   ma rząd większy niż   zaś   są różnymi jej elementami   to istnieje bijekcja zbioru   dla której       nie może być ona zawężeniem do   żadnego automorfizmu   Jeżeli   jest rzędu   to   jest cykliczna i ma dwuelementową grupę automorfizmów.

BibliografiaEdytuj

  • Semadeni Z., Wiweger A.: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Warszawa: PWN, 1978.