Homomorfizm grup

Homomorfizm grup – funkcja odwzorowująca grupę w grupę, czyli przekształcenie zachowujące strukturę tych algebr.

Zapoznanie się ze strukturą wewnętrzną grupy możliwe jest przede wszystkim poprzez obserwację sposobu, w jaki oddziałuje ona z innymi grupami albo sama z sobą; oddziaływanie to odbywa się właśnie za pomocą homomorfizmów, dlatego aby zrozumieć budowę danej grupy, należy zgłębić związane z nią homomorfizmy. Przykładem mogą być homomorfizmy danej grupy w grupę jej wzajemnie jednoznacznych homomorfizmów (automorfizmów), w grupę jej bijekcji (grupę symetryczną), czy ogólniej: w grupę bijekcji ustalonego zbioru – są to odpowiednio działanie grupy na zbiorze swoich elementów poprzez automorfizmy bądź bijekcje oraz działanie grupy na dowolnym zbiorze. Ważnym wynikiem jest twierdzenie Cayleya mówiące, że elementy dowolnej grupy można utożsamiać z pewną podgrupą bijekcji danej grupy (grupy symetrycznej; wszystkie grupy można więc traktować jako grupy przekształceń). Przedstawienie grupy w postaci (wewnętrznego) iloczynu prostego dwóch jej podgrup można scharakteryzować za pomocą pary homomorfizmów wspomnianej grupy w siebie (mianowicie endomorfizmów ortogonalnych); homomorfizmy grupy w grupę wzajemnie jednoznacznych homomorfizmów (automorfizmów) innej grupy pojawiają się m.in. w definicji zewnętrznego iloczynu półprostego (zob. iloczyny grup).

Definicja

W dalszej części artykułu grupy zapisywane będą w notacji multiplikatywnej, o ile wprost nie zostanie zaznaczone inaczej.

Niech $G,G'$ będą grupami, w których działanie grupowe oznaczane będzie odpowiednio za pomocą zestawienia oraz kropki. Przekształcenie $\varphi \colon G\to G'$ nazywa się homomorfizmem grupy $G$ w grupę $G',$ jeżeli dla każdego $a,b\in G$ zachodzi

$\varphi (ab)=\varphi (a)\cdot \varphi (b).$

Działanie homomorfizmu $\varphi$ na elemencie $a,$ zwyczajowo zapisywane $\varphi (a)$ lub po prostu $\varphi a,$ bywa w niektórych monografiach odwracane: $a\varphi ;$ można również spotkać się z oznaczeniem $a^{\varphi }.$ Wówczas własności charakteryzujące homomorfizm zapisuje się $(ab)\varphi =a\varphi \cdot b\varphi$ lub $ab^{\varphi }=a^{\varphi }\cdot b^{\varphi },$ przy czym notacja „potęgowa” stosowana jest przede wszystkim dla grup w zapisie multiplikatywnym, a „iloczynowa” (prosta i odwrócona) zwykle dla grup w zapisie addytywnym, tzn. $(a+b)\varphi =a\varphi +b\varphi$ zamiast $\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$.

Własności

Homomorfizmy

Od homomorfizmów ogólnych struktur algebraicznych wymaga się, by zachowywały każdy jej element składowy; w przypadku grup oprócz działania grupowego zachowywane powinny być więc element neutralny i odwracanie elementów. Dla homomorfizmów grup oba te warunki wynikają z powyższego; niech $a\in G,$ wtedy zachodzą następujące własności:

• zachowywanie elementu neutralnego

  $\varphi (1)=1',$

• zachowywanie elementu odwrotnego

  $\varphi \left(a^{-1}\right)=\varphi (a)^{-1}.$

Homomorfizmy zachowują również potęgę elementu,

$\varphi \left(a^{n}\right)=\varphi (a)^{n},$

jednakże nie zachowują rzędu, a jedynie podzielność (zob. Przykłady i twierdzenie Lagrange’a)

$\mathrm {ord} (\varphi (a)){\big |}\mathrm {ord} (a).$

Inne morfizmy

Endomorfizmem nazywa się dowolny homomorfizm $\varphi \colon G\to G.$ Homomorfizm odwracalny, tzn. homomorfizm $\varphi \colon G\to G',$ dla którego istnieje homomorfizm odwrotny $\psi \colon G'\to G,$ czyli spełniający tożsamość $\psi \circ \varphi =\varphi \circ \psi =\imath ,$ gdzie $\imath$ jest homomorfizmem tożsamościowym odpowiedniej grupy, nazywa się izomorfizmem. Grupy $G,G'$ dla których istnieje izomorfizm, nazywa się izomorficznymi i oznacza $G\simeq G';$ relacja izomorficzności grup jest relacją równoważności w klasie wszystkich grup

Endomorfizmy będące zarazem izomorfizmami nazywa się automorfizmami – można je uważać za uogólnienia symetrii grupy. Ponieważ izomorfizm $\varphi ^{-1}$ odwrotny do izomorfizmu $\varphi$ również jest izomorfizmem, to automorfizmy danej grupy $G$ tworzą grupę, w której działaniem jest ich składanie $\circ ,$ a elementem neutralnym jest izomorfizm tożsamościowy $\imath .$

Monomorfizmy i epimorfizmy to homomorfizmy mające odpowiednio lewo- i prawostronną własność skracania; z kolei bimorfizm to homomorfizm będący jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem; dowolny izomorfizm jest bimorfizmem, lecz niekoniecznie odwrotnie.

Powyższe definicje zaczerpnięte są wprost z teorii kategorii. Choć pojęcia endomorfizmu nie sposób sformułować w inny sposób, to izomorfizmy grup są w istocie ich bimorfizmami, przez co w teorii grup termin „bimorfizm” jest zupełnie nieznany i nieużywany. Na gruncie teorii mnogości monomorfizmy i epimorfizmy to homomorfizmy odpowiednio iniektywne (różnowartościowe) i suriektywne („na”), co oznacza, że izomorfizmy (bimorfizmy) są homomorfizmami bijektywnymi (wzajemnie jednoznacznymi). Do scharakteryzowania iniekcji i suriekcji wykorzystać można odpowiednio pojęcia jądra i obrazu funkcji – dzięki temu dla monomorfizmów jądro homomorfizmu będące relacją równoważności musi być równością (tzn. homomorfizm musi „odróżniać” wszystkie elementy dziedziny), a dla epimorfizmów obraz homomorfizmu musi być całą przeciwdziedziną.

Jądro i obraz

W algebrze jądro i obraz homomorfizmu $\varphi$ definiuje się odpowiednio jako zbiory

$\ker \varphi ={\big \{}a\in G\colon \varphi (a)=1'{\big \}}=\varphi ^{-1}{\big [}1'{\big ]}$

oraz

$\mathrm {im} \;\varphi ={\big \{}\varphi (a)\in G'\colon a\in G{\big \}}=\varphi [G],$

gdzie $\varphi [\ ]$ i $\varphi ^{-1}[\ ]$ oznaczają odpowiednio obraz i przeciwobraz elementu bądź zbioru w przekształceniu $\varphi .$ Obraz $\mathrm {im} \;\varphi$ jest podgrupą w $G',$ a jądro $\ker \varphi$ jest podgrupą normalną w $G;$ odwrotnie: każda podgrupa normalna jest jądrem pewnego homomorfizmu (zob. dalej).

Monomorfizm można wówczas zdefiniować jako homomorfizm $\varphi ,$ który ma trywialne jądro, $\ker \varphi =\{1'\};$ z kolei epimorfizm to homomorfizm $\varphi ,$ którego obraz jest całą przeciwdziedziną, $\operatorname {im} \;\varphi =G'.$ Izomorfizm $\varphi$ definiuje się jako homomorfizm spełniający oba powyższe warunki; definicje endomorfizmu i automorfizmu pozostają bez zmian (zob. wyżej).

Faktoryzacja

Podgrupa normalna $N$ wyznacza jednoznacznie podział $G$ na warstwy, w których zbiorze można wprowadzić wtedy strukturę grupy nazywanej grupą ilorazową $G/N$ grupy $G$ przez $N;$ przekształcenie rzutowe $\pi \colon G\to G/N$ grupy w zbiór warstw jest wtedy homomorfizmem; z tego powodu nazywany jest też homomorfizmem kanonicznym lub epimorfizmem kanonicznym (gdyż jako rzut jest suriekcją); określenia „kanoniczny” używa się zamiennie z „naturalny” (zob. transformacja naturalna).

Twierdzenie o homomorfizmie mówi, że istnieje jeden i tylko jeden monomorfizm $\psi \colon G/N\to G'$ spełniający $\psi \circ \pi =\varphi ;$ z kolei twierdzenie o izomorfizmie zapewnia o izomorfizmie między $G/N$ a $\mathrm {im} \;\varphi .$ Grupę $G/\ker \varphi$ nazywa się niekiedy koobrazem $\varphi ,$ z kolei jeżeli $\mathrm {im} \;\varphi$ jest podgrupą normalną w $G',$ to $G'/\mathrm {im} \;\varphi$ nazywa się kojądrem $\varphi .$

Działania

Niech $\mathrm {Map} (G,G')$ oznacza zbiór wszystkich przekształceń $G\to G'.$ Dla dwóch przekształceń $\varphi ,\psi \in \mathrm {Map} (G,G')$ można określić punktowo działanie ich dodawania $\varphi +\psi$ wzorem

$(\varphi +\psi )(a)=\varphi (a)\cdot \psi (a)$

dla wszystkich $a\in G,$ które jest łączne (własność odziedziczona z grupy $G'$). Homomorfizm zerowy $\theta \in \mathrm {Hom} (G,G')$ (zob. Przykłady) jest elementem neutralnym tego działania. Ponadto dla każdego $\varphi \in \mathrm {Hom} (G,G')$ istnieje element przeciwny $-\varphi \in \mathrm {Hom} (G,G')$ dany wzorem $(-\varphi )(a)=\varphi (a)^{-1}$. Innymi słowy $\mathrm {Map} (G,G')$ tworzy grupę względem wyżej opisanego dodawania przekształceń (nie tworzy jej z działaniem ich składania); jest ona przemienna, jeżeli $G'$ jest przemienna.

Niech $\mathrm {Map} (G)=\mathrm {Map} (G,G)$ oznacza zbiór wszystkich przekształceń grupy $G$ w siebie, wówczas $\mathrm {Sym} (G)$ oznacza grupę symetryczną zawierającą bijekcje $G,$ czyli przekształcenia odwracalne należące do $\mathrm {Map} (G).$ Dodawanie przekształceń $G$ w siebie jest rozdzielne prawostronnie względem ich złożenia (wg konwencji wiążącego silniej niż dodawanie): jeżeli $\varphi ,\psi ,\sigma \in \mathrm {Map} (G),$ to

$(\varphi +\psi )\circ \sigma =\varphi \circ \sigma +\psi \circ \sigma ,$

jednak w ogólności nie jest rozdzielne lewostronnie, tzn. $\sigma \circ (\varphi +\psi )=\sigma \circ \varphi +\sigma \circ \psi .$ Strukturę określoną na zbiór $\mathrm {Map} (G)$ z działaniami dodawania (grupa) i składania jako mnożenia (półgrupa) rozdzielnymi (prawostronnie) względem siebie nazywa się quasi-pierścieniem. Wspomniana półgrupa jest w istocie monoidem, gdyż składanie ma element neutralny w postaci przekształcenia tożsamościowego $\imath \in \mathrm {Map} (G).$

Klasę wszystkich homomorfizmów grupowych $G\to G'$ będącą podzbiorem $\mathrm {Map} (G,G')$ oznacza się symbolem $\mathrm {Hom} (G,G');$ z kolei zbiór $\mathrm {Hom} (G,G)$ endomorfizmów grupy $G$ oznacza się $\mathrm {End} (G).$ Ponieważ dla $\varphi ,\psi \in \mathrm {End} (G)$ ich złożenie $\varphi \circ \psi \in \mathrm {End} (G),$ to $\mathrm {End} (G)$ jest podmonoidem monoidu (zbiór z działaniem łącznym i elementem neutralnym) $\mathrm {Map} (G);$ mimo wszystko $\varphi +\psi$ nie musi należeć do $\mathrm {End} (G),$ jeśli jednak tak jest, to o endomorfizmach $\varphi ,\psi$ mówi się, że są addytywne – ma to miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny element $\mathrm {im} \;\varphi$ jest przemienny z dowolnym elementem $\mathrm {im} \;\psi$, co więcej $\varphi +\psi =\psi +\varphi$.

Jeśli $\varphi ,\psi \in \mathrm {Map} (G),$ zaś $\sigma \in \mathrm {End} (G),$ to dodawanie jest rozdzielne lewostronnie względem składania,

$\sigma \circ (\varphi +\psi )=\sigma \circ \varphi +\sigma \circ \psi .$

Gdy $G$ jest grupą abelową (przemienną), to z powyższego wynika, że $\mathrm {End} (G)$ ma strukturę pierścienia nazywanego pierścieniem endomorfizmów grupy $G.$ Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne: jeżeli $\imath +\imath \in \mathrm {End} (G),$ to z powyższego wynika, że $G$ jest abelowa.

Dodawanie homomorfizmów grup abelowych jest rozdzielne względem ich złożenia: jeżeli $\alpha \in \mathrm {Hom} (A,B)$ oraz $\beta ,\gamma \in \mathrm {Hom} (B,C)$ i $\delta \in \mathrm {Hom} (C,D)$ są homomorfizmami grup abelowych $A,B,C,D,$ to $(\beta +\gamma )\circ \alpha =\beta \circ \gamma +\gamma \circ \alpha$ oraz $\delta \circ (\beta +\gamma )=\delta \circ \beta +\delta \circ \gamma .$ Wynika stąd, że kategoria $\mathbf {Ab}$ wszystkich grup abelowych z ich homomorfizmami tworzy kategorię preaddytywną; istnienie sum prostych dowolnych grup abelowych pełniących rolę ich biproduktu, czyni z niej kategorię addytywną. Ponieważ dla każdego homomorfizmu istnieje dobrze określone jądro i kojądro, to wspomniana kategoria grup abelowych jest kategorią preabelową, a skoro wszystkie monomorfizmy i epimorfizmy są normalne, to $\mathbf {Ab}$ jest kategorią abelową; w istocie kategoria grup abelowych była prototypem dla kategorii abelowych.

Niezmienniczość

Zbiór elementów odwracalnych (ze względu na ich składanie funkcji) w $\mathrm {End} (G)$ nazywa się grupą automorfizmów $\mathrm {Aut} (G)$ grupy $G$. Przekształcenie $\varphi \colon G\to \mathrm {Aut} (G)$ grupy $G$ w grupę jej automorfizmów dane wzorem $\varphi (a)=\varphi _{a},$ gdzie automorfizm $\varphi _{a}$ jest automorfizmem wewnętrznym, tzn. $\varphi _{a}(g)=aga^{-1}$ dla dowolnego $g\in G,$ jest homomorfizmem grup, ponieważ

$\varphi (ab)=\varphi _{ab}=\varphi _{a}\circ \varphi _{b}=\varphi (a)\circ \varphi (b).$

Jądrem tego homomorfizmu jest zbiór

$\ker \varphi ={\big \{}a\in G\colon \varphi (a)=\imath {\big \}}={\big \{}a\in G\colon \varphi _{a}(g)=aga^{-1}=g{\text{ dla }}g\in G{\big \}}$

wszystkich elementów przemiennych z dowolnym elementem grupy, czyli centrum $\mathrm {Z} (G)=\{a\in G\colon ag=ga\mathrm {\ dla\ } g\in G\}$ grupy $G;$ obrazem jest z kolei

$\mathrm {im} \;\varphi ={\big \{}\varphi (a)\in G'\colon a\in G{\big \}}={\big \{}\varphi _{a}\in G'\colon \varphi _{a}(g)=aga^{-1}{\text{ dla }}a,g\in G{\big \}},$

czyli zbiór wszystkich automorfizmów wewnętrznych $\mathrm {Inn} (G);$ automorfizmy te tworzą podgrupę w $\mathrm {Aut} (G),$ która jest normalna (zob. lemat Goursata) – grupę ilorazową $\mathrm {Out} (G)=\mathrm {Aut} (G)/\mathrm {Inn} (G)$ nazywa się grupą automorfizmów zewnętrznych pomimo że składa się ona ze zbiorów automorfizmów, które nie są wewnętrzne, a nie tych automorfizmów.

Podgrupę $H$ grupy $G$ nazywa się w pełni niezmienniczą, jeżeli $\varphi (H)$ jest podgrupą w $H$ dla dowolnego $\varphi \in \mathrm {End} (G);$ jeżeli $H$ spełnia ten sam warunek dla dowolnego $\varphi \in \mathrm {Aut} (G),$ to nazywa się ją charakterystyczną, jeśli dla $H$ zachodzi $\varphi \in \mathrm {Inn} (G),$ to jest ona normalna. Wynika stąd, że każda podgrupa w pełni niezmiennicza jest charakterystyczna, a każda podgrupa charakterystyczna jest normalna (zatem podgrupa w pełni niezmiennicza jest normalna). Wiele z powyższych koncepcji można zunifikować do ogólniejszego pojęcia grupy z operatorami (uogólnia ono również pojęcie modułu).

Przykłady

Homomorfizm $\theta \colon G\to G'$ dany wzorem $\theta (a)=1'$ dla dowolnego $a\in G$ nazywa się homomorfizmem trywialnym lub zerowym, gdyż jego obrazem jest podgrupa trywialna w $G';$ odwzorowanie to jest monomorfizmem wyłącznie wtedy, gdy $G$ jest grupą trywialną. Jest to zarazem przykład na to, iż rząd obrazu elementu nie musi być równy rzędowi elementu (nie może być z większy, co wynika z zachowania potęgowania): dowolny element $a\neq 1$ rzędu większego niż $1$ jest przekształcany przez $\theta$ na element $1'$ rzędu $1.$ Homomorfizm $\imath \colon G\to G$ zdefiniowany jako $\theta (a)=a$ dla każdego $a\in G$ jest endomorfizmem, a nawet automorfizmem grupy $G,$ który nazywany jest identycznościowym lub tożsamościowym („identycznością” lub „tożsamością”; ponieważ jest on elementem neutralnym grupy automorfizmów nazywa się go niekiedy automorfizmem trywialnym). W każdej grupie $G$ rzędu większego niż $2$ istnieje różny od $\imath$ automorfizm: jeśli $G$ jest przemienna (abelowa), to jest nim $\jmath \colon a\mapsto a^{-1}$ dla $a\in G$, w grupie nieprzemiennej można wybrać element $a\in \mathrm {Z} (G)$ należący do jej centrum, dla którego automorfizm wewnętrzny $\varphi _{a}$ jest nietrywialny.

Niech $\mathbb {R} ^{\times }$ będzie grupą różnych od zera liczb rzeczywistych z działaniem grupowym mnożenia, odwracaniem liczb i jedynką jako elementem neutralnym. Odwzorowanie wartości bezwzględnej $|\ |\colon \mathbb {R} ^{\times }\to \mathbb {R} ^{\times }$ przypisujące $r\mapsto |r|$ jest endomorfizmem, którego obraz $\mathbb {R} _{+}$ jest zbiorem wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych. Przekształcenie $x\mapsto x^{2}$ również jest endomorfizmem tej grupy o tym samym obrazie. Jądrem obu homomorfizmów jest podgrupa $\{-1,1\}$ (izomorficzna z $\mathbb {Z} _{2}=\{0,1\}$ z działaniem dodawania modulo $2,$ braniem liczby przeciwnej oraz zerem jako elementem neutralnym).

Funkcja wykładnicza $\exp \colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{\times }$ jest homomorfizmem grup addytywnej i multiplikatywnej ciała liczb rzeczywistych, gdyż $\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b),$ którego jądrem jest zbiór $\{1\},$ a obrazem jest zbiór $\mathbb {R} _{+}$ dodatnich liczb rzeczywistych ($\exp$ jest monomorfizmem, ale nie epimorfizmem; izomorfizmem jest określony tym samym wzorem homomorfizm $\exp \colon R^{+}\to R_{+}^{\times }$ w grupę multiplikatywną dodatnich liczb rzeczywistych). Podobnie funkcja $f\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathrm {S} ^{1}$ dana wzorem $t\mapsto e^{2\pi it}$ jest homomorfizmem grupy addytywnej liczb na prostej rzeczywistej z dodawaniem w multiplikatywną grupę liczb z okręgu jednostkowego na płaszczyźnie zespolonej z mnożeniem (zob. grupa okręgu), którego jądrem są liczby całkowite (zatem nie jest on monomorfizmem, tzn. różnowartościowy), z kolei jest epimorfizmem (czyli „na”). Homomorfizmy grupy przemiennej w grupę multiplikatywną ciała liczb zespolonych nazywa się charakterami grupy.

Grupa automorfizmów grupy czwórkowej Kleina jest izomorficzna z grupą permutacji zbioru trójelementowego, $\mathrm {Aut} (V_{4})\simeq S_{3}.$ Grupa $V_{4}$ jest jedyną grupą $G$ rzędu większego niż $3,$ dla której $\mathrm {Aut} (G)$ składa się ze wszystkich bijekcji $\varphi _{1}\colon G\to G$ zachowujących jedynkę grupy. Pierścień $\mathrm {End} (V_{4})$ grupy czwórkowej Kleina jest izomorficzny z pierścieniem $\mathrm {Mat} _{2\times 2}(\mathbb {Z} _{2})$ macierzy typu $2\times 2$ nad $\mathbb {Z} _{2}\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .$

Zobacz też

• homomorfizm pierścieni

Bibliografia

• Semadeni Z., Wiweger A.: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Warszawa: PWN, 1978.