Otwórz menu główne
Przykład grupy Liego: zbiór liczb zespolonych o module 1, z mnożeniem zespolonym jako działaniem grupowym (grupie odpowiada okrąg o środku 0 i promieniu 1 w płaszczyźnie zespolonej); jest to grupa cykliczna.

Grupa Liegogrupa ciągła, tzn. taka że jej elementy można jednoznacznie opisać za pomocą jednego lub większej liczby parametrów rzeczywistych; grupa Liego jest zarazem rozmaitością różniczkową - można w niej wprowadzić np. różniczkowanie po parametrach, czy też całkowanie. Z tego względu grupę Liego można traktować jako zbiór z dodatkowymi strukturami rozmaitości różniczkowej i grupy.

Grupy Liego są często spotykane w analizie matematycznej, fizyce i geometrii. Zostały po raz pierwszy wprowadzone przez Norwega Sophusa Liego w 1870 roku do badania równań różniczkowych. Badania te dały podwaliny pod rozwój teorii ciągłych grup.

PrzykładyEdytuj

(1) Na rysunku obok przedstawiono grupę Liego o 1 parametrze, której elementami są liczby zespolone postaci  ; liczby te mają moduł równy 1 - tworzą więc jednocześnie zbiór punktów - okrąg w płaszczyźnie zespolonej.

Z punktu widzenia geometrii zbiór ten jest rozmaitością różniczkową, gdyż można dokonywać operacji różniczkowania; np. definiuje się wektory styczne   do punktów  okręgu za pomocą pochodnych względem parametru  :

 

gdzie   to wartości parametru   wyznaczająca punkt   czyli:

 

(2) Grupą Liego jest grupa obrotów w przestrzeni trójwymiarowej, które opisują 3 ciągłe parametry (np. kąty Eulera).

(3) Grupą Liego jest grupa transformacji Lorentza którą opisuje 6 ciągłych parametrów.

(4) Grupą Liego jest grupa transformacji Poincarégo, którą opisuje 10 ciągłych parametrów.

Definicja grupy LiegoEdytuj

Grupa Liego to gładka rozmaitość (klasy  ) skończonego wymiaru, która jest grupą, tj. punkty rozmaitości tworzą grupę, a działanie grupowe (np. mnożenie) i branie elementu odwrotnego są odwzorowaniami gładkimi.

Grupa Liego ma strukturę rozmaitości (np. snop funkcji gładkich lub atlas) i strukturę grupy (czyli działanie, wyróżniony element neutralny itd. )

Zazwyczaj określa się, że grupa Liego musi być rozmaitością rzeczywistą skończonego wymiaru. Istnieje kilka podobnych pojęć.

  • Zespolona grupa Liego jest zdefiniowana w ten sam sposób, tyle że zamiast rozmaitości rzeczywistej jest rozmaitość zespolona (przykład: SL(2,C)).
  • Nieskończeniewymiarowa grupa Liego to grupa Liego, która jest rozmaitością o nieskończonym wymiarze.

Algebra Liego powiązana z grupą LiegoEdytuj

Z każdą grupą Liego G możemy powiązać algebrę Liego nad przestrzenią wektorową styczną do przestrzeni G w jedynce (tj. w elemencie neutralnym działania grupowego). Bazę przestrzeni stycznej nazywa się generatorami grupy Liego: każdy element grupy Liego można otrzymać jako exponens odpowiednio dobranej kombinacji linowej generatorów, przy czym generatory danej algebry Liego spełniają dodatkowo nawias Liego.

Przykłady:

  • Algebra Liego przestrzeni wektorowej Rn to po prostu Rn z nawiasem Liego zdefiniowanym za pomocą komutatora [A,B]=AB-BA, takiego że [A,B]=0 (A, B - wektory n-wymiarowe o współrzędnych rzeczywistych; ich komutator zawsze zeruje się, gdyż AB oznacza iloczyn skalarny wektorów, a ten jest przemienny w zbiorze Rn , tj. AB=BA.

W ogólności nawias Liego jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy grupa Liego jest abelowa.

Zobacz teżEdytuj