Grupa Liego

struktura algebraiczna, grupa opisana parametrami rzeczywistymi

Grupa Liegogrupa ciągła, tzn. taka że jej elementy można jednoznacznie opisać za pomocą jednego lub większej liczby parametrów rzeczywistych; grupa Liego jest zarazem rozmaitością różniczkową[1] – można w niej wprowadzić np. różniczkowanie po parametrach czy też całkowanie. Z tego względu grupę Liego można traktować jako zbiór z dodatkowymi strukturami rozmaitości różniczkowej i grupy.

Przykład grupy Liego: zbiór liczb zespolonych o module 1, z mnożeniem zespolonym jako działaniem grupowym (grupie odpowiada okrąg o środku 0 i promieniu 1 w płaszczyźnie zespolonej)

Grupy Liego są często spotykane w analizie matematycznej, fizyce i geometrii. Zostały po raz pierwszy wprowadzone przez Norwega Sophusa Liego w 1870 roku do badania równań różniczkowych. Badania te dały podwaliny pod rozwój teorii ciągłych grup.

Przykłady edytuj

(1) Na rysunku obok przedstawiono grupę Liego o 1 parametrze, której elementami są liczby zespolone postaci   liczby te mają moduł równy 1 – tworzą więc jednocześnie zbiór punktów – okrąg w płaszczyźnie zespolonej.

Z punktu widzenia geometrii zbiór ten jest rozmaitością różniczkową, gdyż można dokonywać operacji różniczkowania; np. definiuje się wektory styczne   do punktów   okręgu za pomocą pochodnych względem parametru  

 

gdzie   to wartości parametru   wyznaczająca punkt   czyli:

 

(2) Grupą Liego jest grupa obrotów w przestrzeni trójwymiarowej, które opisują 3 ciągłe parametry (np. kąty Eulera).

(3) Grupą Liego jest grupa transformacji Lorentza, którą opisuje 6 ciągłych parametrów.

(4) Grupą Liego jest grupa transformacji Poincarégo, którą opisuje 10 ciągłych parametrów.

Definicja grupy Liego edytuj

Grupa Liego to gładka rozmaitość (klasy  ) skończonego wymiaru, która jest grupą, tj. punkty rozmaitości tworzą grupę, a działanie grupowe (np. mnożenie) i branie elementu odwrotnego są odwzorowaniami gładkimi.

Grupa Liego ma strukturę rozmaitości (np. snop funkcji gładkich lub atlas) i strukturę grupy (czyli działanie, wyróżniony element neutralny itd.)

Zazwyczaj określa się, że grupa Liego musi być rozmaitością rzeczywistą skończonego wymiaru. Istnieje kilka podobnych pojęć.

  • Zespolona grupa Liego jest zdefiniowana w ten sam sposób, tyle że zamiast rozmaitości rzeczywistej jest rozmaitość zespolona (przykład: SL(2,C)).
  • Nieskończeniewymiarowa grupa Liego to grupa Liego, która jest rozmaitością o nieskończonym wymiarze.

Algebra Liego powiązana z grupą Liego edytuj

Z każdą grupą Liego G możemy powiązać algebrę Liego nad przestrzenią wektorową styczną do przestrzeni G w jedynce (tj. w elemencie neutralnym działania grupowego). Bazę przestrzeni stycznej nazywa się generatorami grupy Liego: każdy element grupy Liego można otrzymać jako exponens odpowiednio dobranej kombinacji linowej generatorów, przy czym generatory danej algebry Liego spełniają dodatkowo nawias Liego.

Przykłady:

  • Algebra Liego przestrzeni wektorowej Rn to po prostu Rn z nawiasem Liego zdefiniowanym jako: [A,B]=  (A, B,   – wektory n-wymiarowe o współrzędnych rzeczywistych)

W ogólności nawias Liego jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy grupa Liego jest abelowa.

Zobacz też edytuj

Przypisy edytuj

  1. Grupa Liego, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-07-24].

Linki zewnętrzne edytuj

  •   Lie group (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].