Atlas (matematyka)

pojęcie matematyczne

Atlas – kolekcja map, przypisanych pewnej rozmaitości, taka że każdemu podzbiorowi rozmaitości przypisana jest jakaś mapa (zwanej też: mapą współrzędnych lub lokalnym układem współrzędnych). Istnieje wiele możliwych atlasów, jakie można utworzyć dla danej rozmaitości. Atlas opisuje sposób, w jaki rozmaitość jest wyposażona w strukturę różniczkową.

Definicja mapyEdytuj

 
Przedstawienie dwóch zgodnych map na rozmaitości wraz z przekształceniem przejścia. Zbiór   zaznaczono na czerwono,   na niebiesko, a ich część wspólną   na fioletowo; przekształcenie przejścia   (strzałka po prawej) jest zdefiniowane jako złożenie   (  to górna strzałka) oraz   (dolna strzałka).

Niech dana będzie rozmaitość   o wymiarze   Niech   będzie otwartym podzbiorem  

Mapą na rozmaitości   w otoczeniu   nazywa się parę   gdzie

 

jest homeomorfizmem na pewien otwarty podzbiór   przestrzeni  

Sklejanie map (przekształcenie przejścia)Edytuj

Dla dwóch map   i   na   o tej własności, że zbiór

 

jest niepusty, definiuje się przekształcenie przejścia („sklejenie”)

 

dane wzorem:

 

Przekształcenia   i   są homeomorfizmami, więc ich przekształcenia przejścia są również homeomorfizmami. W ten sposób przekształcenia przejścia również są wyposażone w pewien rodzaj zgodności w tym sensie, iż przejście od układu współrzędnych zadanego jedną z map do układu współrzędnych zadanego na drugiej jest ciągłe.

Zgodność gładka mapEdytuj

Dwie nakładające się mapy   oraz   nazywa się zgodnymi w sposób gładki, jeśli przekształcenie przejścia między nimi jest nieskończenie wiele razy różniczkowalne.

Definicja atlasuEdytuj

Zbiór   map na   które stanowią pokrycie zbioru   tj.   nazywany jest atlasem rozmaitości  

Jeśli przeciwdziedziny wszystkich map są  -wymiarowymi przestrzeniami euklidesowymi o tym samym wymiarze   to o rozmaitości   mówimy, że jest rozmaitością  -wymiarową.

Własność atlasuEdytuj

Każdy podzbiór przestrzeni euklidesowej ma atlas przeliczalny (twierdzenie Lindelöfa).

Atlas gładki. Atlasy zgodne. Atlas maksymalny.Edytuj

1) Atlasem gładkim na   nazywa się atlas, dla którego żąda się dodatkowo, by dla dowolnych dwóch nakładających się map na   przekształcenie przejścia między nimi było zgodne w sposób gładki.

2) Atlasy   oraz   na   nazywa się zgodnymi w sposób gładki, jeśli wszystkie mapy z   które nakładają się na mapy z   są zgodne w sposób gładki.

3) Atlas   utworzony z atlasów   oraz   zgodnych w sposób gładki również jest atlasem gładkim na  

4) Atlasem maksymalnym nazywa się relację równoważności atlasów zgodnych w sposób gładki.

5) Rozmaitości   wraz z atlasem maksymalnym nazywa się rozmaitością o gładkiej strukturze.

Istnieją przykłady rozmaitości topologicznych wyższych wymiarów mające wiele różnych struktur gładkich. Jednym z pierwszych przykładów było odkrycie Johna Milnora sfery egzotycznej – 7-rozmaitości homeomorficznej, lecz nie dyfeomorficznej z 7-sferą.

W ogólności działanie na atlasach maksymalnych rozmaitości jest niewygodne; do pracy wystarczy wybrać jeden atlas gładki. Atlasy maksymalne potrzebne są do jednoznacznego zdefiniowania przekształceń gładkich z jednej rozmaitości w drugą.

Struktura niegładka i analitycznaEdytuj

Wymagania różniczkowalności funkcji przejścia można osłabić, wymagając jedynie, by były one różniczkowalne w sposób ciągły tylko  -krotnie; można jest także wzmocnić, aby były analityczne (w sensie rzeczywistym). Daje to odpowiednio strukturę Ck lub strukturę analityczną na rozmaitości zamiast struktury gładkiej.

Podobnie definiuje się struktury różniczkowe na rozmaitości zespolonej, wymagając, by przekształcenia przejścia były holomorficzne.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj

  • Atlas autorstwa Todda Rowlanda