Bordyzm

Bordyzm – relacja równoważności w zbiorze zwartych rozmaitości różniczkowych. Na zbiorze klas abstrakcji tej relacji można zdefiniować działania w taki sposób, aby miał on strukturę pierścienia. Badanie relacji bordyzmu jest jednym z głównych nurtów w topologii algebraicznej.

Bordyzm $(W;M,N).$

Dwie n-wymiarowe rozmaitości zwarte $M,N$ nazywamy bordycznymi, jeśli istnieje (n + 1)-wymiarowa rozmaitość różniczkowa z brzegiem $W,$ której brzeg jest dyfeomorficzny z sumą rozłączną $M\sqcup N.$ Fakt ten oznaczamy to przez $(W;M,N).$ Bordyzm jest relacją równoważności między rozmaitościami $M$ i $N$. Zbiór klas abstrakcji tej relacji oznaczamy $\Omega _{n}.$ Zbiór $\Omega _{n}$ jest grupą abelową względem dodawania zdefiniowanego następująco:

$[M]+[N]:=[M\sqcup N],$

gdzie $[M\sqcup N]$ jest sumą rozłączną rozmaitości $M$ i $N$.

W sumie prostej

$\Omega _{\star }=\bigoplus _{n=1}^{\infty }\Omega _{n}$

możemy zdefiniować strukturę pierścienia. Dla dowolnych klas $[M]\in \Omega _{k},[N]\in \Omega _{n}$ definiujemy mnożenie jako iloczyn kartezjański przestrzeni topologicznych:

$[M]\cdot [N]:=[M\times N],$

które można rozszerzyć na cały zbiór $\Omega _{\star }.$ Mnożenie to jest łączne i rozdzielne względem dodawania. Jednością jest klasa bordyzmów jednego punktu. Grupy $\Omega _{n}$ określają gradację pierścienia $\Omega _{\star }$.