Otwórz menu główne

Rozmaitość topologiczna

Sfera (powierzchnia kuli) – to dwuwymiarowa rozmaitość: a). w dużej skali mamy geometrię nieeuklidesową – suma kątów dużego trójkąta jest > 180°, b). lokalnie mamy geometrię euklidesową – suma kątów małego trójkąta = 180°, niewielkie fragmenty sfery można odwzorować wzajemnie jednoznacznie na dwuwymiarową płaszczyznę.

Rozmaitość topologiczna – obiekt geometryczny, który lokalnie ma strukturę (w sensie topologicznym, różniczkowym, homologicznym itp.) przestrzeni lub innej przestrzeni wektorowej. Pojęcie to uogólnia na dowolną liczbę wymiarów pojęcia krzywej i powierzchni. Wprowadzenie go było spowodowane różnorodnymi potrzebami zarówno samej matematyki, jak i innych nauk[1].

W matematyce rozmaitości topologiczne funkcjonują przede wszystkim jako zbiory rozwiązań układów równań, a także jako rodziny obiektów geometrycznych i innych, które dają się parametryzować. Np. rodzina k-wymiarowych podprzestrzeni przestrzeni

Rozmaitości topologiczne pojawiają się także jako rozwiązania wielowymiarowych problemów wariacyjnych (np. bańki mydlane). Znane są też rozmaitości całkowe układów dynamicznych, grup odwzorowań geometrycznych i ich przestrzenie jednorodne itp.

W fizyce rozmaitości topologiczne służą jako modele czasoprzestrzeni szczególnej i ogólnej teorii względności; w mechanice klasycznej modelują przestrzenie fazowe, poziomy energii itp.

W ekonomii rozmaitości topologiczne są powierzchniami obojętności, w psychologii przestrzeniami percepcji (np. kolorów) itd.[1]

Definicja formalnaEdytuj

Przestrzeń topologiczna   nazywana jest lokalnie euklidesową, jeśli istnieje nieujemna liczba całkowita   taka, że każdy punkt w   ma otoczenie, które jest homeomorficzne z przestrzenią euklidesową   Ponieważ kula otwarta w   jest homeomorficzna z   w definicji tej wystarczy zakładać, że każdy punkt przestrzeni ma otoczenie homeomorficzne z ustaloną kulą otwartą w  [2].

Inaczej mówiąc, przestrzeń topologiczna jest lokalnie euklidesowa, gdy otoczenie każdego jej punktu można przekształcić w jakiś podzbiór przestrzeni euklidesowej (n-tego wymiaru) przez rozciąganie, ściskanie, skręcanie, ale bez cięcia i sklejania. Np. fragment sfery można przekształcić we fragment płaszczyzny za pomocą odpowiedniej deformacji.

Rozmaitość topologiczna to lokalnie euklidesowa przestrzeń Hausdorffa spełniająca drugi aksjomat przeliczalności[3].

Definicję tę można rozszerzyć o przypadek   Wtedy jeżeli przyjąć   to jedyną rozmaitością lokalnie homeomorficzną z tą przestrzenią euklidesową będzie zbiór pusty[4].

Rozmaitość z brzegiemEdytuj

Rozmaitość topologiczna z brzegiem to przestrzeń Hausdorffa spełniająca drugi aksjomat przeliczalności, która dla ustalonego   w każdym swoim punkcie posiada otoczenie homeomorficzne (tzn. lokalnie homeomorficzna) z   lub półprzestrzenią euklidesową   to znaczy zbiorem:

 [5]

Niech   będzie  -wymiarową rozmaitością z brzegiem. Wnętrzem   nazywa się zbiór punktów   mających otoczenia homeomorficzne z podzbiorem otwartym   i oznacza   Brzeg   oznaczany   to dopełnienie wnętrza   w   Punkty brzegowe mogą być scharakteryzowane jako te, które leżą na hyperpłaszczyźnie brzegowej   półpłaszczyzny   w pewnym układzie współrzędnych.

Jeżeli   jest rozmaitością z brzegiem wymiaru   to   jest rozmaitością (bez brzegu) wymiaru   a   jest rozmaitością (bez brzegu) wymiaru   lub zbiorem pustym.

Dalej rozmaitości o pustym brzegu będą nazywane po prostu rozmaitościami, choć mogą być dla zaznaczenia nazywane rozmaitościami bez brzegu.

Uwaga: Wnętrze i brzeg rozmaitości należy wyraźnie odróżnić od wnętrza i brzegu zbioru w topologii ogólnej.

Rys historycznyEdytuj

Początkowy okres badania rozmaitości jest związany z analizą parametryzacji wielowymiarowej i z badaniami geometrii fizycznego Świata. Dwa sposoby zdefiniowania rozmaitości w   przez lokalną parametryzację i przez równania, rozpatrywał Gauss[6] w przypadku powierzchni w   a w przypadku dowolnego wymiaru Poincare[7]. J. Pluecker badał lokalne współrzędne na rozmaitościach utworzonych z krzywych, powierzchni itp.[8]

Proste operacjeEdytuj

1) Suma topologiczna, czyli topologiczna suma rozłączna niepustej, przeliczalnej rodziny  -rozmaitości jest  -rozmaitością. Jeżeli wszystkie dodawane rozmaitości były bez brzegu, to suma także jest bez brzegu. Rozmaitość pusta stanowi element neutralny (zerowy) względem operacji sumy topologicznej.

2) Iloczyn kartezjański  -rozmaitości   z  -rozmaitością   jest  -rozmaitością. Zachodzi przy tym wzór (podobny do wzoru Leibniza):

 

W szczególności iloczyn kartezjański dwóch rozmaitości bez brzegu jest rozmaitością bez brzegu.

Rozmaitość 1-punktowa stanowi element jednostkowy (neutralny) względem operacji iloczynu kartezjańskiego.

3) Homeomorficzna klasa wyniku operacji sumy topologicznej lub iloczynu kartezjańskiego zależy wyłącznie od homeomorficznej klasy dwóch argumentów. Możemy więc rozpatrywać sumę topologiczną i iloczyn kartezjański jako operacje dwuargumentowe na klasach homeomorficznych przestrzeni. Wtedy rozmaitości z brzegiem tworzą półpierścień przemienny, a rozmaitości bez brzegu – podpółpierścień tego półpierścienia. Jest tak dlatego, że iloczyn kartezjański jest rozdzielny względem sumy topologicznej.

Rozmaitości 0- i 1-wymiaroweEdytuj

1) Rozmaitości 0-wymiarowe

Jedyną, z dokładnością do homeomorfizmu, 0-wymiarową rozmaitością spójną (z brzegiem lub bez) jest przestrzeń 1-punktowa. 0-wymiarowe rozmaitości (z brzegiem lub bez) to przeliczalne, skończone (ale niepuste) lub nieskończone przestrzenie dyskretne. Rozmaitości 0-wymiarowe nigdy nie mają brzegu.

2) Rozmaitości 1-wymiarowe

Jedyną, z dokładnością do homeomorfizmu, niezwartą 1-wymiarową rozmaitością spójną, bez brzegu, jest prosta rzeczywista   a zwartą – okrąg   Jedynymi 1-wymiarowymi rozmaitościami spójnymi z niepustym brzegiem są półprosta domknięta i odcinek domknięty (z oboma końcami). Pierwsza jest niezwarta, a druga z nich jest zwarta. Ich końce, i tylko one, są punktami brzegowymi.

PrzykładEdytuj

Zbiory   oraz   są rozmaitościami z brzegiem (w obu jest nim  ). Funkcje

 
 

ciągłe i rosnące, a stąd różnowartościowe, a przy tym wzajemnie do siebie odwrotne. Obie są zatem homeomorfizmami jednej rozmaitości na drugą. Jest to zarazem dowód równoliczności tych zbiorów. Każda z tych funkcji jest różniczkowalna w dowolnym punkcie, dlatego są one w rzeczywistości dyfeomorfizmami (Przekształcenia te są gładkie, tzn. różniczkowalne w każdym punkcie nieskończenie wiele razy; co więcej – funkcje f g są analityczne).

Rozmaitości n-wymiaroweEdytuj

Najprostszym przykładem rozmaitości niezwartej jest przestrzeń   Wśród zwartych najprostsze są kula domknięta:

 

oraz sfera:

 

Brzegiem kuli jest sfera, której wymiar jest zawsze o jeden mniejszy

 

Sfera jest rozmaitością bez brzegu.

Uwaga: Sfera 0-wymiarowa   jest 2-punktową przestrzenią dyskretną, a więc jest rozmaitością niespójną.

 -wymiarową rozmaitością (bez brzegu) jest także torus, czyli  -ta potęga kartezjańska okręgu:

 

Ogólnie, iloczyn kartezjański skończonego ciągu rozmaitości niepustych, których suma wymiarów jest   jest rozmaitością  -wymiarową.

Zachodzą klasyczne twierdzenia:

Twierdzenie (Brouwer) Kula   ma własność punktu stałego: dla dowolnego odwzorowania ciągłego

 

istnieje   takie, że  

Twierdzenie (o retrakcji) Nie istnieje retrakcja (ciągła) kuli na jej brzeg, to znaczy: nie istnieje odwzorowanie ciągłe

 

takie, że   dla każdego  

Uwaga: Ogólniej, żadna niepusta rozmaitość zwarta z brzegiem (być może pustym) nie dopuszcza retrakcji na swój brzeg.

Niech   gdzie   oraz   Dla dowolnej liczby rzeczywistej s zdefiniujmy:

 

gdzie operacja   oznacza iloczyn skalarny. Wtedy każde   jest homeomorficzne z   Dowodzi się homeomorfizmu metodami elementarnej algebry liniowej. Tak otrzymane przestrzenie (n-1)-wymiarowe są parami rozłączne i pokrywają całe   W szczególności  

Sfera bez punktuEdytuj

Niech   więc   Niech ponadto:

 
 

Pokażemy, że

Sfera bez punktu,   jest homeomorficzna z  

na przykład z  

Dowód Zacznijmy od odwzorowania ciągłego   danego wzorem:

 

Mianownik nie jest 0 dla   Łatwo też sprawdzić, że rzeczywiście   czyli że  

Jeżeli   to:

 

skąd   więc   Możemy więc rozpatrywać obcięcie

 

Jest to tak zwany rzut stereograficzny; pokażemy że jest homeomorfizmem – homeomorfizmem odwrotnym jest funkcja   dana wzorem:

 

(łatwo policzyć, że naprawdę   czyli  ). Sprawdźmy, że   i   są wzajemnie odwrotnymi funkcjami. Najpierw niech   dla pewnego   Wtedy ze wzoru na   otrzymujemy:

 

oraz

 

krótko:

 

Zatem:

 

czyli   co kończy pierwszą połowę dowodu homeomorficzności rzutu stereograficznego.

Niech z kolei   gdzie   czyli   Wtedy

 

Policzmy licznik i mianownik ułamka   najpierw licznik:

 

A teraz mianownik:

 

Zatem   czyli   co kończy dowód tego, że rzut stereograficzny jest homeomorfizmem.

Koniec dowodu.

Uwaga Rzut stereograficzny i jego odwrotność można oznaczać bardziej specyficznie przez   oraz   Na przykład:   oraz   gdzie  

Twierdzenie Niech   będzie dowolnym odwzorowaniem ciągłym, zdefiniowanym na dowolnej przestrzeni topologicznej   Jeżeli   nie jest na, to   jest homotopijnie trywialne.

Dowód Niech punkt sfery   nie należy do obrazu funkcji   Homotopia łącząca   z funkcją stałą (o wartości  ), dana jest następująco:

 

dla   oraz  

Koniec dowodu.

Częściowa jednorodność topologiczna BnEdytuj

Niech   będzie homeomorfizmem (patrz wyżej) danym wzorem:

 

Wówczas odwzorowanie   dane wzorem

 

jest również homeomorfizmem.

Homeomorfizm, odwrotny do  :   można opisać przy pomocy wzoru:

 

gdzie   jest homeomorfizmem odwrotnym do   (patrz wyżej).

Następujące twierdzenie pokazuje częściową jednorodność topologiczną  :

Twierdzenie: Dla dowolnych   istnieje homeomorfizm   kuli domkniętej na siebie, taki że   oraz   dla każdego  

Dowód: Homeomorfizm   definiuje się wzorem:

 

Koniec dowodu.

Uwaga: Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla   Dowód jest wtedy trywialny, gdyż zbiór   jest pusty.

Powyższa konstrukcja daje więcej, gdyż określa działanie (topologiczne) addytywnej grupy topologicznej   na przestrzeń  :

 

które jest tożsamością na   oraz działa jednobieżnie (1-tranzytywnie) we wnętrzu     dane jest wzorem:

 

Wtedy   oraz

 

co pokazuje, że   jest rzeczywiście grupą transformacji. Jednobieżność   we wnętrzu kuli jest oczywista: dla dowolnych   istnieje dokładnie jedno   dla którego   mianowicie  

Jednorodność i spójność rozmaitości spójnychEdytuj

Powyższy tytuł ma sugerować, że rozmaitości spójne są spójne w pewien szczególnie mocny sposób, a nie tak słabo, jak na przykład suma mnogościowa   dwóch domkniętych kul w przestrzeni stuwymiarowej, które mają dokładnie jeden punkt wspólny   wtedy usunięcie tego punktu powoduje, że powstała przestrzeń   nie jest spójna.

Niech   będzie dowolnym punktem n-wymiarowej rozmaitości spójnej   Niech   będzie zbiorem wszystkich punktów   dla których istnieje zbiór otwarty   homeomorficzny z   który zawiera oba punkty   i   Pokażemy poniżej, że  

Jest oczywistym, że zbiór   jest otwarty. Pozostało dowieść, że jest także domknięty:

Niech   należy do domknięcia zbioru  

Istnieje homeomorfizm   przestrzeni   na pewne otoczenie punktu   w rozmaitości   spełniający warunki

  •  
  •  

Niech   będzie obrazem   Istnieje punkt   należący do wnętrza zbioru   (a więc do obrazu wnętrza  ), który należy do   (jako że   należy do domknięcia  ). Częściowa jednorodność kuli (patrz wyżej) mówi, że istnieje homeomorfizm   taki, że

  •  
  •   dla każdego  

(Oczywiście   jest brzegiem topologicznym zbioru  ). Zatem odwzorowanie   dane wzorami:

  •   dla  
  •   dla  

jest homeomorfizmem.

Ponieważ   nie należy do   więc   Zatem   zawiera, zarówno punkt   jak i punkt   Pokazaliśmy więc, że   należy do   czyli udowodniliśmy domkniętość zbioru   Ponieważ nasza rozmaitość jest spójna, to  

Wynikają stąd natychmiast następujące twierdzenia:

  • Dla dowolnych dwóch punktów n-rozmaitości spójnej (bez brzegu) istnieje w niej zbiór otwarty, homeomorficzny z   zawierający te dwa punkty;
  • Każda rozmaitość spójna (bez brzegu) jest topologicznie jednorodna, tzn. dla dowolnej, uporządkowanej pary jej dwóch punktów istnieje homeomorfizm tej rozmaitości na siebie, który pierwszy punkt przeprowadza na drugi;
  • Każda rozmaitość spójna (bez brzegu) jest łukowo spójna (to wynika też z ogólnego twierdzenia Hahna-Mazurkiewicza, i to dla wszystkich spójnych rozmaitości, także tych z brzegiem).

Z pierwszego twierdzenia powyżej wynika natychmiast jego wzmocnieniona wersja:

  • Dla dowolnych dwóch punktów n-rozmaitości spójnej (bez brzegu) istnieje w niej zbiór homeomorficzny z   zawierający te dwa punkty w swoim wnętrzu.

Ta wersja pozwala bezpośrednio tłumaczyć wszelakie twierdzenia o krotnej, częściowej topologicznej jednorodności   na twierdzenia o odpowiedniej krotnej jednorodności dowolnej spójnej n-rozmaitości.

Suma spójna dwóch n-rozmaitościEdytuj

Sumę spójną dwóch n-rozmaitości otrzymuje się przez wycięcie z każdej z nich wnętrza pewnej kuli domkniętej, po czym skleja się tak otrzymane podprzestrzenie wzdłuż brzegu wyciętych kul (wzdłuż sfery (n-1)-wymiarowej).

Nieco formalniej: Niech odwzorowania   oraz   będą zanurzeniami homeomorficznymi, gdzie   oraz  n-rozmaitościami. W sumie topologicznej podprzestrzeni   oraz   zidentyfikujmy pary punktów   oraz   dla każdego   Otrzymana topologiczna przestrzeń ilorazowa nazywa się sumą spójną, i jest oznaczana

 

Okazuje się, że z dokładnością do homeomorfizmu, wynik (suma spójna) nie zależy od wyboru funkcji   i   powyżej. Nie zmieni się też, gdy dane rozmaitości zastąpimy przez homeomorficzne. Otrzymaliśmy więc trzecią, po sumie topologicznej i iloczynie kartezjańskim, operację dwuargumentową na rozmaitościach i ich klasach homeomorficznych – ściślej mówiąc – suma łączna jest ciągiem operacji, z których każda działa wyłącznie w swoim wymiarze n.

Elementem neutralnym sumy spójnej n-rozmaitości jest sfera  :

 

Ponadto suma spójna jest przemienna i łączna.

Twierdzenie: Każda orientowalna 2-rozmaitość zamknięta jest sumą spójną skończonej liczby torusów   (w szczególności sfera   jest sumą spójną zero torusów).

BordyzmEdytuj

Dwie zwarte rozmaitości różniczkowe   nazywamy rozmaitościami bordycznymi, jeśli istnieje rozmaitość z brzegiem   której brzeg jest dyfeomorficzny z topologiczną sumą rozłączną   Bordyzm jest relacją równoważności, a jej klasy abstrakcji nazywane są klasami bordyzmu[9].

W zbiorze klas bordyzmu można zdefiniować działania, odpowiednio, dodawania i mnożenia tak, że będzie on pierścieniem – pierścień ten nazywamy pierścieniem bordyzmu rozmaitości.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. a b И.М. Виноградов: Математическая энциклопедия. T. 3 Koo-Од. Москва: Советская энциклопедия, 1982, s. 742. (ros.)
  2. Roman Duda: Wprowadzenie do topologii. Cz. 1. Topologia ogólna. Warszawa: PWN, 1986, s. 386.
  3. Roman Duda, op. cit., s. 386–387.
  4. Witold Hurewicz, Henry Wallman: Dimension Theory. Princeton University Press, 1996. ISBN 978-0691079479.
  5. Roman Duda, op. cit., s. 392.
  6. Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas, 1827 w А.П. Нoрден: Об основаниях геометрии. Москва: ГИТ-ТЛ, 1956, s. 127. (ros.)
  7. H. Poincaré: Избранные труды. T. 2. Москва: Наука, 1972, s. 459. (ros.)
  8. Julius Plücker: Neue Geometrie des Raumes, gegründet auf die Berachtung der geraden Linie als Raumelement. Leipzig: 1868–1869.
  9. Klaus Jānich: Topologia. Warszawa: PWN, 1991, s. 83.