Otwórz menu główne
Ten artykuł dotyczy dwuwymiarowych struktur w przestrzeni. Zobacz też: pole powierzchni.

Powierzchniazbiór punktów (miejsce geometryczne) o tej własności, iż można wokół każdego jej punktu zbudować (niewielką) sferę, która w przecięciu z tym zbiorem daje jedynie obiekty jednowymiarowe (krzywe). Jest to trójwymiarowy odpowiednik pojęcia krzywej. Powierzchnia jest także potocznym określeniem pola powierzchni.

Spis treści

Definicja formalnaEdytuj

Powierzchnia to continuum o wymiarze 2, tj. takie continuum, iż każdy jego punkt posiada pewne otoczenie, którego brzeg nie zawiera żadnego continuum o wymiarze 2 lub wyższym jednak zawiera continuum o wymiarze 1.

Powierzchnia może w szczególności rozgałęziać się.

Klasyfikacja powierzchni w topologii algebraicznejEdytuj

Zwarte domknięte (bez brzegu) powierzchnie (czyli takie dla których otoczenie każdego punktu jest homeomorficzne z  ) można podzielić na klasy równoważności zgodnie z relacją równoważności zadaną przez homeomorfizm. Twierdzenie o klasyfikacji powierzchni mówi wtedy że takich klas równoważności jest przeliczalnie wiele i każda z nich ma reprezentanta jednej z 3 postaci:

  1. Sfrerę  
  2. Sumę spójną (wzdłuż  ) g torusów dla  
  3. Sumę spójną (wzdłuż  ) k kopii   dla  

Pozwala to na klasyfikacje powierzchni na podstawie tylko dwóch informacji: genusu oraz czy przestrzeń jest orientowalna. Dodatkowo przestrzenie orientowalne maja nietrywialna najwyższą grupę homologii   a nieorientowalne nie  .

Przykłady powierzchniEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-79160-X.