Otoczenie i sąsiedztwo

typy podzbiorów osi rzeczywistej lub niektórych innych przestrzeni

Otoczenie – wieloznaczne pojęcie matematyczne, różnie definiowane w analizie i topologii. W każdym wypadku jest to pewien typ zbioru zawierającego dany punkt lub ustalony zbiór. Czasem wymaga się, by otoczenie było zbiorem otwartym[1].

Blisko powiązanym pojęciem jest sąsiedztwo punktu – otoczenie punktu z wyłączeniem jego samego[2]. Jeśli jest otoczeniem punktu to jego sąsiedztwem nazywa się różnicę zbiorów[2][3]:

Za pomocą otoczeń i sąsiedztw definiuje się inne pojęcia matematyczne, np. część przedmiotów analizy jak ekstremum funkcji[4] i granice funkcji w punkcie[5][3].

Otoczenia i sąsiedztwa liczb rzeczywistych

edytuj
 
Pokazany przedział na osi rzeczywistej to otoczenie otwarte punktu   z promieniem   (epsilon).

Na prostej rzeczywistej   otoczenie punktu   definiuje się jako pewien typ przedziału otwartego; dokładne znaczenie zależy od kontekstu:

  • otoczenie w sensie wąskim (sensu stricto) to każdy przedział otwarty złożony ze wszystkich liczb odległych od   o mniej niż ustalona wartość, zwana promieniem otoczenia[2]:
 
  • otoczenie w sensie szerokim (sensu largo) to dowolny przedział otwarty zawierający punkt  [1][3]; punkt ten nie musi być pośrodku tego przedziału, a przedział nie musi być ograniczony – może nim być cała oś rzeczywista[2]:
 

Oprócz tego dla każdego punktu   definiuje się[2][6]:

  • sąsiedztwo, czyli różnicę odpowiedniego przedziału i tego punktu, tj. sumę mnogościową przedziałów:  
  • sąsiedztwo lewostronne, czyli przedział otwarty, którego prawym końcem (kresem górnym) jest ten punkt:  
  • sąsiedztwo prawostronne, czyli przedział otwarty, którego lewym końcem (kresem dolnym) jest ten punkt:  

Za pomocą sąsiedztw jednostronnych definiuje się granice jednostronne funkcji w punkcie[6].

Otoczenia w przestrzeniach metrycznych

edytuj
 
Zbiór   na płaszczyźnie jest otoczeniem punktu   jeżeli istnieje koło bez brzegu (czyli otwarta kula w przestrzeni dwuwymiarowej) zawierające   i zawarte w  

W przestrzeni metrycznej   z metryką   otoczenie punktu można określić za pomocą kul otwartych.

Otoczenia punktu

edytuj

  jest otoczeniem punktu   jeśli istnieje kula otwarta o środku w punkcie   i promieniu   tj.

 

która jest zawarta w zbiorze  

Przykłady otoczeń otwartych

edytuj
  • Na płaszczyźnie euklidesowej   otoczeniem otwartym punktu   jest np. dowolne koło bez brzegu zawierające ten punkt (niekoniecznie umieszczony w środku koła), zaś jego sąsiedztwem jest to koło bez tego punktu.
  • W przestrzeni euklidesowej   otoczeniem otwartym punktu   jest np. dowolna kula bez brzegu zawierająca ten punkt (niekoniecznie umieszczony w środku kuli), zaś jego sąsiedztwem jest kula bez tego punktu.

Otoczenia jednostajne zbioru

edytuj
 
Zbiór   na płaszczyźnie i jednostajne otoczenie   zbioru  

Otoczeniem jednostajnym zbioru   w przestrzeni metrycznej nazwiemy zbiór   o tej własności, że istnieje taka liczba   że dla każdego   kula otwarta o środku w punkcie   i promieniu   tj.

 

jest zawarta w zbiorze  

Innymi słowy, zbiór   jest sumą wszystkich kul o ustalonym promieniu i środkach w punktach zbioru  

Otoczenia w przestrzeniach topologicznych

edytuj

Otoczenia punktu

edytuj

Niech   będzie elementem przestrzeni topologicznej   Zbiór   jest otoczeniem punktu   gdy istnieje zbiór otwarty   dla którego

 

Innymi słowy, zbiór   jest otoczeniem punktu   jeśli   gdzie   oznacza wnętrze zbioru  [7].

Uwaga 1: Otoczenie punktu nie musi być zbiorem otwartym – wystarczy, że zawiera zbiór otwarty zawierający dany punkt. W szczególności, otoczenie może być zbiorem domkniętym, zwartym itd. Otoczenia takie nazywamy odpowiednio otoczeniem otwartym, domkniętym, zwartym itp.

Uwaga 2: Należy zwracać uwagę na konwencje stosowane przez różnych autorów. Niektórzy z nich za otoczenia punktu przyjmują wyłącznie zbiory otwarte zawierające dany punkt[1][8]. W stosowanej tu terminologii otoczenia takie nazywamy otoczeniami otwartymi.

Otoczenia zbioru

edytuj

Niech   jest podzbiorem   Otoczeniem zbioru   jest zbiór zawierający zbiór otwarty, który zawiera   W szczególności, otoczenie zbioru jest otoczeniem każdego punktu tego zbioru

Inaczej mówiąc suma otoczeń wszystkich punktów zbioru jest jego otoczeniem.

System otoczeń a topologia

edytuj

Jeżeli dla każdego punktu   zbioru   dana jest pewna rodzina   podzbiorów   zbioru   spełniająca warunki:

  1. dla każdego   mamy, że  
  2. dla dowolnego   istnieje takie   że   dla wszelkich  

to fakt ten można wykorzystać do określenia topologii w zbiorze   zbiór otwarty definiuje się jako zbiór, który wraz z każdym swoim punktem   zawiera również pewien zbiór z rodziny  

Otoczenie jako pojęcie pierwotne aksjomatyki

edytuj

Pierwsza aksjomatyka przestrzeni topologicznej, podana przez Hausdorffa, była oparta na pojęciu otoczenia.

Definicja. Przestrzenią topologiczną nazywamy parę   złożoną ze zbioru   oraz rodziny

 

zbiorów   których elementami są podzbiory (zwane otoczeniami elementu  ) zbioru   spełniające następujące aksjomaty:

  1. Każde otoczenie   zawiera   oraz zbiór   jest otoczeniem każdego swojego punktu.
  2. Każdy zbiór zawierający jakieś otoczenie   jest także otoczeniem  
  3. Przecięcie dowolnej pary otoczeń   jest także otoczeniem  
  4. W każdym otoczeniu   zawarte jest takie otoczenie   które jest zarazem otoczeniem każdego swojego punktu[9].

Zobacz też

edytuj

Przypisy

edytuj
  1. a b c otoczenie, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2022-10-04].
  2. a b c d e   Mariusz Doliński, Co to jest otoczenie punktu na prostej?, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-01-31].
  3. a b c   Katarzyna Czyżewska, Definicja granicy funkcji w punkcie i w nieskończoności, serwis „Open AGH”, Akademia Górniczo-Hutnicza, pre-epodreczniki.open.agh.edu.pl, 29 czerwca 2022 [dostęp 2024-01-31].
  4. ekstremum funkcji, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2024-01-31].
  5.   Mariusz Doliński, Granica funkcji w punkcie według Cauchy'ego, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-01-31].
  6. a b   Katarzyna Czyżewska, Granice jednostronne i WKW istnienia granicy funkcji, serwis „Open AGH”, Akademia Górniczo-Hutnicza, pre-epodreczniki.open.agh.edu.pl, 19 czerwca 2017 [dostęp 2024-02-01].
  7. Kuratowski 1962 ↓, s. 109.
  8. Kołodziej 2009 ↓, s. 73.
  9. Jänich 1991 ↓, s. 14–15.

Bibliografia

edytuj

Linki zewnętrzne

edytuj
  • Eric W. Weisstein, Neighborhood, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-02-01].
  • Eric W. Weisstein, Open Neighborhood, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-02-01].
  •   Neighbourhood (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-01].