Otwórz menu główne

Baza otoczeń w punkcie i system otoczeń to terminy w topologii odnoszące się do specjalnych rodzin podzbiorów przestrzeni topologicznej.

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią topologiczną, a   Powiemy że rodzina   otoczeń punktu   jest bazą otoczeń w punkcie   jeśli każde otoczenie   zawiera element  

Równoważnie, rodzina   otoczeń punktu   jest bazą otoczeń w   jeśli

 

System otoczeń dla przestrzeni   to rodzina   taka, że   jest bazą otoczeń w   dla każdego  

Zauważmy, że w definicji tej nie wymaga się, by otoczenia były zbiorami otwartymi (choć będzie to zakładane w dalszym ciągu).

Dla zaznaczenia, że wszystkie elementy bazy otoczeń są zbiorami otwartymi, używa się zwrotu baza otoczeń otwartych w punkcie   i podobnie dla systemów otoczeń.

PrzykładyEdytuj

  • Zbiór wszystkich otoczeń punktu   jest bazą otoczeń w tym punkcie.
  • Jeśli   jest przestrzenią dyskretną, to   jest bazą otoczeń w   Jeśli   jest przestrzenią antydyskretną, to   jest bazą otoczeń w  
  • Jeśli   jest przestrzenią metryczną z odległością   i dla punktu   oraz liczby dodatniej   położymy   to wtedy rodzina   jest bazą otoczeń w  

Charakteryzacja i własnościEdytuj

  • Załóżmy że   jest systemem otoczeń otwartych w przestrzeni topologicznej   Wówczas następujące warunki (BP1)-(BP3) są spełnione:
(BP1) Dla każdego     i dla każdego   mamy że  
(BP2) Jeśli     to istnieje   takie że  
(BP3) Dla każdych     można znaleźć   takie że  
  • Przypuśćmy że   jest niepustym zbiorem i   jest systemem rodzin podzbiorów zbioru   spełniającym warunki (BP1)-(BP3). Niech   będzie rodziną wszystkich podzbiorów   które mogą być przedstawione jako sumy podrodzin rodziny   Wówczas   jest topologią na   i   jest systemem otoczeń otwartych dla tej topologii. Często mówimy wtedy że   jest topologią generowaną przez  

Powyższa obserwacja służy za podstawę jednej z metod definiowania topologii na danym zbiorze: przez podanie bazy otoczeń w każdym punkcie. Właśnie ta metoda jest przez nas użyta do zdefiniowania płaszczyzny Niemyckiego oraz przykładu przestrzeni T3, ale nie T3 1/2.

Funkcje kardynalneEdytuj

Z pojęciem bazy otoczeń związane są następujące funkcje kardynalne:

  • Charakter punktu   w przestrzeni topologicznej   to najmniejsza możliwa moc bazy otoczeń w tym punkcie. Charakter punktu   oznaczany jest przez  
  • Charakter przestrzeni   jest zdefiniowany jako
 

Zobacz teżEdytuj