Granica jednostronna

Granica jednostronna jest wspólną nazwą dla granicy lewostronnej i prawostronnej. Jeżeli granice lewo- i prawostronna istnieją i są sobie równe, to są one granicą obustronną; twierdzenie odwrotne też jest prawdziwe: jeżeli istnieje granica obustronna to obie granice jednostronne istnieją i są jej równe (o ile punkt, w którym obliczamy granice jest odpowiednio lewostronnym lub prawostronnym punktem skupienia dziedziny funkcji).

Definicje

Liczba $g$ jest granicą lewostronną (odpowiednio: prawostronną) funkcji $f$ w lewostronnym (odpowiednio: prawostronnym) punkcie skupienia $x_{0}$ dziedziny, co zapisuje się

$f(x)\to g$ przy $x\to x_{0}^{-}$ (odpowiednio: $f(x)\to g$ przy $x\to x_{0}^{+}$)

lub

$\lim _{x\to x_{0}^{-}}~f(x)=g$ (odpowiednio: $\lim _{x\to x_{0}^{+}}~f(x)=g$),

gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:

definicja Heinego

dla każdego ciągu $(x_{n})$ takiego, że dla dowolnego $n\in \mathbb {N} \ x_{n}\in A,\ x_{n}<x_{0}$ (odpowiednio: $x_{n}>x_{0}$)   oraz $\lim _{n\to \infty }~x_{n}=x_{0},$ ciąg wartości funkcji $(f(x_{n}))$ dąży do $g$ przy $n\to \infty ;$

definicja Cauchy’ego

$\forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x\in A}\;(x_{0}-\delta <x<x_{0}\implies |f(x)-g|<\varepsilon )$ (odpowiednio: $\forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x\in A}\;(x_{0}<x<x_{0}+\delta \implies |f(x)-g|<\varepsilon )$).

Jeśli w punkcie x₀ funkcja f ma nieskończoną granicę jednostronną, to prosta x = x₀ nazywa się asymptotą pionową funkcji f.